第01讲 变化率与导数、导数的计算（解析版）练习题

第1讲   变化率与导数、导数的计算

 [A级　基础练]

1.（2021•城厢区校级期中）曲线在点处的切线的斜率为　　

A．1 B．2 C． D．0

【分析】可求出导函数，然后即可得出曲线在点处的切线的斜率．

【解答】，，曲线在点处的切线的斜率为．

故选：．

2.（2021•泸州期末）已知函数满足（1），（1），则函数在处的瞬时变化率为　　

A．1 B．2 C． D．

【分析】先对函数求导得，再将代入进行计算即可得解．

【解答】，，当时，（1）（1）．故选：．

3.（2021•泸州期末）已知函数的图象如图，设是的导函数，则与的大小关系正确的是　　

A．          B． 

C．          D．与的大小关系不确定

【分析】由已知结合导数的几何意义即可比较大小．

【解答】由导数的几何意义可得，则与分别为，处的切线斜率，结合图象可知，，故选：．

4.若直线与曲线相切，则（  ）

A．3 B． C．2 D．

解析：设切点为，因为，所以由①得，代入②得，则，.答案：A

5.已知函数的导函数为，且满足，若曲线在处的切线为，则下列直线中与直线垂直的是（   ）

A． B．

C． D．

解析：，令，则，即.，，所以的方程为，所以直线与直线垂直.答案：B

6.（2021•洛阳期中）已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【解答】设曲线的切点为，，又，由题意，所以，故①．又②．由①②得：，所以．当且仅当时取等号．故．故选．

7.（多选）若函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有M性质.下列函数具有M性质的是（  ）

A.       B.      C.     D.

解析：对于A，，若有，则当（）时，结论成立；对于B,，所以不存在，对于C,，也不存在，对于D,，若有，则，不妨取，所以具有性质M.

答案：AD

8.（多选）（2021•潍坊期末）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】分别求出函数的导数，二阶导数，判断符号，求出答案即可．

【解答】对于，，，，在上是凸函数，故正确；对于，，故在上是凸函数，故正确；对于，，故在上是凸函数，故正确；对于，，故在上不是凸函数，故错误；故选：．

9.（2021•沈阳三模）过点作曲线的切线，则切点坐标为　　．

【分析】由已知结合直线的斜率公式及导数的几何意义即可求解．

【解答】因为，所以，设切点为，，，根据题意可得，，即切点坐标．故答案为：．

10.（2021•信阳期末）已知函数，则　　．

【分析】求出函数的导数，代入，求出的值即可．

【解答】，令，得，解得：，故答案为：2019．

11.（2021•潍坊期中）求下列函数的导数：

（1）；

（2）．

【分析】由已知结合基本初等函数的求导公式及函数的求导法则即可分别求解．

【解答】（1）．

（2），

则．

12.(2021·河北卓越联盟月考)已知函数f (x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线方程；

(2)直线l为曲线y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

解　(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1.

所以曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线的斜率

k＝f′(2)＝13，

所以要求的切线方程为y＝13x－32.

(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，

所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.

又直线l过点(0,0)，则(3x＋1)(0－x0)＋x＋x0－16＝0，

整理得x＝－8，解得x0＝－2，

所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，

所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

[B级　综合练]

13．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)

A．f′(1)<f′(2)<a   B．f′(1)<a<f′(2)

C．f′(2)<f′(1)<a   D．a<f′(1)<f′(2)

解析：选B.由题图可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，因为＝a，所以易知f′(1)<a<f′(2)．

14．(多选)(2021·山东青岛三模)已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值可能为(　　)

A.   B．3

C.   D.

解析：选AC.f′(x)＝2x2－2x＋a，因为曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的不同切线，所以f′(x)＝3有两个不相等的实数根，即2x2－2x＋a－3＝0有两个不相等的实数根，

所以Δ＝(－2)2－4×2×(a－3)>0，①

设两切点的横坐标分别为x1，x2.

因为切点的横坐标都大于零，

所以x1>0，x2>0，

所以②

联立①②解得3<a<，

故选AC.

15．已知函数f(x)＝x2－ln x.

(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)在函数f(x)＝x2－ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－，所以f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.

(2)存在．假设存在两点满足题意，设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈，不妨设x1<x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得＝－1，

又函数f′(x)＝2x－在区间上单调递增，函数的值域为[－1，1]，

故－1≤2x1－＜2x2－≤1，

据此有

解得x1＝，x2＝1，

故存在两点，(1，1)满足题意．

[C级　创新练]

16．(多选)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是(　　)

A．f(x)＝x2   B．f(x)＝e－x

C．f(x)＝ln x   D．f(x)＝tan x

解析：选AC.对于A，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，这个方程显然有解，得x＝0或x＝2，故A符合要求；对于B，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，B不符合要求；对于C，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C符合要求；对于D，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令f(x)＝f′(x)，即sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，D不符合要求．

17．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝x，h(x)＝ln x，φ(x)＝cos x的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是(　　)

A．α>β>γ   B．β>γ>α

C．γ>α>β   D．γ>β>α

解析：选D.由题意，得g′(α)＝1＝g(α)，所以α＝1.由h(x)＝ln x，得h′(x)＝.令r(x)＝ln x－，可得r(1)<0，r(2)>0，故1<β<2.由φ(x)＝cos x，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos γ，所以cos γ＋sin γ＝0，且γ∈，所以γ＝.综上可知，γ>β>α.故选D.