2020中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练解直角三角形

2020中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练

解直角三角形

1.在△ABC中,∠C=90°,BC=2,sin A=,则边AC的长是 (　　)

A.   B.3   C.     D.

【解析】A.∵sinA==,BC=2,∴AB=3,

∴AC===.

2.如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB的值为              (　　)

A.   B.    C.    D.3

【解析】选B.由勾股定理可求出:BC=2,AC=2,DF=,DE=,

∴=,=,=,

∴==,∴△FDE∽△CAB,

∴∠DFE=∠ACB,∴tan∠ACB=tan∠DFE=.

3.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置,其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2米,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为________(参考数据:sin 37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75) (　　) 

【解析】选A.如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EH⊥AG于点H,

则∠EHG=∠HEF=90°,

∵∠AEF=143°,

∴∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°,

∠EAH=37°,

在△EAH中,∠EHA=90°,∠EAH=37°,AE=1.2米,

∴EH=AE·sin ∠EAH≈1.2×0.60=0.72(米),

∵AB=1.2米,

∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米.

4.在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tan∠ABM=________. 

【解析】如图,延长MN交BC的延长线于点T,设MB的中点为O,连接TO,则OT⊥BM,

∵∠ABM+∠MBT=90°,

∠OTB+∠MBT=90°,

∴∠ABM=∠OTB,则△BAM∽△TOB,

∴=,即=,

即MB2=2AM·BT　①

由N是DC的中点,四边形ABCD是正方形,

易得△MND≌△TNC,∴MD=CT.

令DN=1,CT=MD=k,则AM=2-k,BM=,BT=2+k,

代入①中得:4+(2-k)2=2(2-k)(2+k),

解方程得:k1=0(舍去),k2=.

∴AM=2-=.

tan∠ABM===.

答案:

5.一艘轮船在小岛A的北偏东60°距小岛80海里的B处,沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为________海里/时. 

【解析】如图所示,设该船行驶的速度为x海里/时,2小时后到达小岛的北偏西45°的C处,由题意得:AB=80海里,BC=2x海里,在直角三角形ABQ中,∠BAQ=

60°,∴∠B=90°-60°=30°,∴AQ=AB=40,BQ=AQ=40,在直角三角形AQC中,∠CAQ=45°,∴CQ=AQ=40,

∴BC=40+40=2x,解得:x=20+20.即该船行驶的速度为(20+20)海里/时.

答案:(20+20)

6.如图,在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A测得船C在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为________km(精确到0.1). 

【解析】在CD上取一点E,使BD=DE,设BD=DE=x.

∵BD=DE,

∴∠EBD=45°,

由题意可得∠CAD=45°,

∴AD=DC,

∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向,

∴∠BCE=∠CBE=22.5°,

∴BE=EC,

∵AB=AD-BD=2 km,

∴EC=BE=DC-DE=2 km,

∵BD=DE=x,∴CE=BE=x,

∴2+x=x+x,解得x=.

∴DC=(2+)≈3.4(km)

答案:3.4

7.校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道L上确定点D,使CD与L垂直,测得CD的长等于24米,在L上点D的同侧取点A,B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.

(1)求AB的长(结果保留根号).

(2)已知本路段对校车限速为45千米/时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?请说明理由.(参考数据:≈1.73,≈1.41)

【解析】(1)由题意得,

在Rt△ADC中,AD===24(米),

在Rt△BDC中,BD===8(米),

则AB=AD-BD=16(米).

(2)超速.理由:∵汽车从A到B用时2秒,

∴速度为16×1.73÷2=13.84(米/秒),13.84×3.6=49.824(千米/时)>45(千米/时).∴此校车在AB路段超速.

8.在一节数学实践课上,老师给出了这样一道题,如图1,在锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,请用a,c,∠B表示b2.

同学们经过思考后,

甲同学说:要将锐角三角形转化为直角三角形来解决,并且不能破坏∠B,因此可以过点A,作AD⊥BC于点D,如图2,大家认同;

乙同学说要想得到b2要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决;

丙同学说那就要先求出AD=________,BD=________;(用含c,∠B的三角函数表示) 

丁同学顺着他们的思路,求出b2=AD2+DC2=____________(其中sin2α+cos2α=1);请利用丁同学的结论解决如下问题: 

如图3,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠BAD=60°,AB=4,AD=5,求AC的长.

【解析】∵sin B=,cos B=,

∴AD=AB·sin B=c·sin B,

BD=AB·cos B=c·cos B,

CD=BC-BD=a-c·cos B,

则b2=AD2+DC2=(c·sin B)2+(a-c·cos B)2

=c2sin2B+a2+c2cos2B-2ac·cos B

=c2(sin2B+cos2B)+a2-2ac·cos B

=a2+c2-2ac·cos B.

答案:c·sin B　c·cos B　a2+c2-2ac·cos B

如图3所示,延长BC,AD交于点E,

∵∠B=90°,∠BAD=60°,AB=4,

∴AE=2AB=8,∠E=30°,∵AD=5,

∴DE=3,

∵∠ADC=∠CDE=90°,∴CE=2,∴AC2=CE2+AE2-2CE·AEcos 30°=12+64-2×2×8×=28,

∴AC=2.

9.如图,某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时,发现在B的北偏东60°方向,相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶,C点在A港口的北偏东30°方向上,海监船向A港口发出指令,执法船立即从A港口沿AC方向驶出,在D处成功拦截可疑船只,此时D点与B点的距离为75海里.

(1)求B点到直线CA的距离.

(2)执法船从A到D航行了多少海里?(≈1.414,≈1.732,结果精确到0.1海里)

【解析】(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H(如图),

∵∠EBC=60°,

∴∠CBA=30°,

∵∠FAD=30°,

∴∠BAC=120°,

∴∠BCA=180°-∠BAC-∠CBA=30°,

∴BH=BC×sin ∠BCA=150×=75(海里).

答:B点到直线CA的距离是75海里.

(2)∵BD=75海里,BH=75海里,

∴DH==75(海里),

∵∠BAH=180°-∠BAC=60°,

在Rt△ABH中,tan∠BAH==,

∴AH=25,

∴AD=DH-AH=75-25≈31.7(海里).

答:执法船从A到D航行了31.7海里

10.如图,CD是一高为4米的平台,AB是与CD底部相平的一棵树,在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得树顶A点的仰角β=60°,求树高AB(结果保留根号)

【解析】作CF⊥AB于点F,设AF=x米,

在Rt△ACF中,tan∠ACF=,

则CF====x,

在直角△ABE中,AB=x+BF=4+x(米),

在直角△ABE中,tan∠AEB=,则BE===(x+4)米.

∵CF-BE=DE,即x-(x+4)=3.

解得:x=,

则AB=+4=(米).

答:树高AB是米.

11. 如图,AB是长为10 m,倾斜角为37°的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65°,求大楼CE的高度(结果保留整数).

(参考数据:sin 37°≈,tan 37°≈,sin 65°≈,tan 65°≈)

【解析】作BF⊥AE于点F.则BF=DE.

在直角△ABF中,sin ∠BAF=,

则BF=AB·sin ∠BAF≈10×=6(m).

在直角△CDB中,tan∠CBD=,

则CD=BD·tan 65°≈10×≈21(m).

则CE=DE+CD=BF+CD=6+21=27(m).

答:大楼CE的高度是27 m.

12. 一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向,距离灯塔20海里的A处,它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处(参考数据:≈1.732,结果精确到0.1).

【解析】如图,作PC⊥AB,交AB的延长线于点C,

在Rt△APC中,

∵AP=20(海里),∠APC=60°,

∴PC=AP·cos60°=20×=10(海里),

AC=AP·sin 60°=20×=10=10×1.732≈17.3(海里).

在Rt△BPC中,∵∠BPC=45°,

∴BC=PC=10(海里).

∴AB=AC-BC=17.3-10=7.3(海里).

答:它向东航行7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处.

13. 如图,是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC是10米,坡面10米处有一建筑物HQ,为了方便使行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°,若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道,问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数).(参考数据:≈1.414,≈1.732)

【解析】由题意得,AH=10米,BC=10米,

在Rt△ABC中,∠CAB=45°,

∴AB=BC=10,

在Rt△DBC中,∠CDB=30°,

∴DB==10,

∴DH=AH-AD=AH-(DB-AB)

=10-10+10=20-10≈2.7(米),

∵2.7米<3米,

∴该建筑物需要拆除.