专题06：2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈函数的概念及其表示解析版
展开函数的概念及其表示
一、函数的定义
1、下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是( )．
A． B． C． D．
答案： C
解析： 图形C中有“一对多”情形，故选C.
考点：本题考查函数定义。
2、可作为函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
答案： D
解析： A,B,C不可作为函数图像；因为在图像对应的自变量x的取值范围内存在自变量，有两个y值与之对应，不符合函数的概念；D符合函数概念；故选D
3、下列对应关系是到的函数的是( )
A． B．
C． D．
答案： D
解析： 根据函数的定义，即可得出结论．
【详解】
对于A选项:A＝R，B＝{x |x＞0}，按对应关系f：x→y＝|x|，A中的元素0在B中无像，∴f：x→y＝|x|不是从A到B的函数；
对于B选项:A＝Z，B，f：x→y＝x2，A中的元素0在B中无像，∴f：x→y＝|x|不是从A到B的函数；
对于C选项:A＝Z，B＝Z，f：x→y，负数不可以开方，∴f：x→y不是从A到B的函数；
对于D选项:A＝[﹣1，1]，B＝{0}，f：x→y＝0，A中的任意元素在B中有唯一元素对应，∴f：x→y＝0是从A到B的函数．
故选D.
【点睛】
本题考查函数的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解函数的定义是关键．
4、下列各选项中，与表示同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 解：对于定义域为，且
对于A：定义域为，函数解析式不相同，故不是同一函数；
对于B：不满足函数的定义，不是函数；
对于C：定义域为，定义域相同且函数解析式一样，故是同一函数；
对于D：定义域为，定义域不相同，故不是同一函数；
故选：C
5、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
答案： D
解析：
A选项中，，定义域为R，定义域为，不是同一函数；
B选项中，的定义域为，的定义域为R，不是同一函数；
C选项中，，定义域为，，定义域为，解析式不一样，不是同一函数；
D选项中，，定义域为，，定义域为，表示同一函数.
故选：D.
二、函数的定义域
1、函数的定义域为______.
答案：
解析： 要使函数有意义，则有，解得
即定义域为
故答案为：
2、若集合，函数的定义域为B，则（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 由题得，，
所以.故选：C.
3、函数的定义域是_______.
答案：
解析： 由题意可得，，解得.
所以函数的定义域是
故答案为：.
4、的定义域为_______
答案：
解析：
由题设可得，故.
故答案为：.
5、函数的定义域为___________________.
答案：
解析：
因为，
所以，解得且，
即的定义域为.
故答案为：.
6、已知的定义域为[-2，3)，则的定义域是__________.
答案： [1，6)
解析： 由x∈[-2，3)，得x+1∈，
∴y=f（x）的定义域为，
∴y=f（x–2）应满足–1≤x–2<4，解得1≤x<6，
故y=f（x–2）的定义域为[1，6)．
故答案为：[1，6)
7、已知函数的定义域是，则函数的定义域是_________．
答案：
解析：
的定义域是，则，即函数的定义域为，
令，即，解得
则函数的定义域为.
故答案为：
8、若函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是：_____________.
答案：
解析： 若函数f（x）=的定义域为R，
则在R上恒成立，
则，
解得：，
故答案为：.
9、若函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 解：由的定义域是知：恒成立，
即无解，
若，则知方程无解；
若，则，
解得：，
综上所述：.
故选：C.
三、函数的解析式
1、已知，则的值为_____________．
答案： 8．
解析： ，.
故答案为:
2、已知函数，则________．
答案： 0
解析：
，．
故答案为：
3、若函数满足，则________.
答案：
解析： 在函数中，令，可得，
因此，.
故答案为：.
4、已知函数，则__________.
答案： 5
解析： 由题意，函数，
可得.
故答案为：.
5、若对于任意实数x恒有，则的值为______.
答案： 2
解析： 令，得，①，令，得，②，联立①②得.
故答案为：2.
6、求下列函数的解析式
（1）已知，求二次函数的解析式；
（2）已知，求的解析式．
答案： （1）；（2）f（x）＝（x+1）2，x≥﹣1.
试题分析：（1）令x﹣1＝t，可得2f（t）﹣f（﹣t）＝2（t+1）2﹣1，再构造方程组，解出即可求得解析式；
（2）运用换元法求解即可，解题过程中注意函数的定义域．
详解：（1）令x﹣1＝t，则1﹣x＝﹣t，x＝t+1，
∴2f（t）﹣f（﹣t）＝2（t+1）2﹣1，
∴2f（﹣t）﹣f（t）＝2（﹣t+1）2﹣1，
∴，即二次函数f（x）的解析式为；
（2）令，则x＝（t+1）2，
∴f（t）＝（t+1）2，
∴f（x）的解析式为f（x）＝（x+1）2，x≥﹣1.
【点睛】
本题主要考查函数解析式的求法，考查换元思想、方程思想的应用，属于基础题．
7、已知函数，求的解析式______.
答案：
解析： 令，则，
所以，
所以，
故答案为：
8、若，则的解析式为________.
答案：
解析： 解：（换元法）令，则，
∴，，
∵，
∴，
（配凑法）∵，
且，
∴，
故答案为：．
9、设函数满足，则的表达式为____________.
答案：
解析：
令，则，
代入可得，
因此.
四、函数的值域
1、函数的值域为________．
答案：
解析： 当时，；
当时，.
综上所述，函数的值域为.
故答案为：.
2、已知函数，若的值域是，则实数c的取值范围是__________．
答案：
解析： 作出和的图象，当时，，当时或；当时，，由图象可知当的值域为时，需满足
故答案为：
3、函数的值域为，则实数的取值范围是_____________．
答案：
解析：
由题意，
当时，显然单调递减，则；
当时，是开口向，对称轴为的二次函数，则，
又函数的值域为，
所以只需，解得.
故答案为：.
4、设函数若是的最大值，则的取值范围为__________．
答案：
解析： ，
当时，，对称轴为，开口向下，
当时，对称轴为，开口向下，则此时在取得最大值为，
要使是的最大值，则，解得，
则的取值范围为.
5、已知函数的值域是，则实数a的取值范围是________.
答案：
解析： 解：当时，，
图象为开口向下的抛物线，对称轴为，
故函数在，单调递增，，单调递减，
当时，函数取最大值1，当时，函数取最小值，
又函数的值域为，，，的值域为，的子集，
，单调递增，
只需，
解得
故答案为：．
答案为：.
6、已知函数.若的定义域为R，则实数a的取值范围是______________；若的值域为R，则实数a的取值范围是_______________.
答案：
解析： 因为的定义域为R，所以恒成立，
①若，则，解得，不满足题意；
②若，则.
综上所述，a的取值范围是.
若的值域为R，则可取遍所有正数，
①若，可取遍所有正数，满足题意；
②若，则.
综上所述，a的取值范围是.
故答案为：；
