专题05 圆的标准方程与一般方程（重难点突破）解析版-高二上（新教材人教A版）
展开专题05 圆的标准方程与一般方程（重难点突破）
一、知识结构思维导图
二、学法指导与考点梳理
知识点一 圆的定义及方程
定义 | 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 | |
标准 方程 | (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r＞0) | 圆心C：(a，b) |
半径：r | ||
一般 方程 | x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) | 圆心： |
半径：r＝ | ||
知识点二 点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2⇔点在圆上；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2⇔点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0 －b)2<r2⇔点在圆内．
三、重难点题型突破
重难点突破01 求圆的方程
例1．（1）（云南省昭通一中2019届期末）圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1
【答案】A
【解析】依题意，设圆心坐标为(0，a)，则＝1，所以a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
（2）．（江西省南昌二中2019届模拟）圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5
C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5
【答案】C
【解析】由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5，故选C.
【变式训练1】．（多选题）（2020江苏省如皋中学高二月考）以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】令，则；令，则.所以设直线与两坐标轴的交点分别为.,以为圆心，过点的圆的方程为：.以为圆心，过点的圆的方程为：.故选：AD.
【变式训练2】．（2020·陕西渭南高二期末）已知直线在轴上的截距为，且垂直于直线．
（1）求直线的方程；
（2）设直线与两坐标轴分别交于、两点，内接于圆，求圆的一般方程．
【解析】（1）设直线的方程为．
∵直线的斜率为，所以直线的斜率．则直线的方程为．
（2）设圆的一般方程为．由于是直角三角形，
所以圆的圆心是线段的中点，半径为；
由，得，；
故，解得，，．
则圆的一般方程为：．
重难点突破02 圆的最值问题（几何关系）
例2．（1）（山东省日照一中2019届期末）若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为( )
A. B．10 C．9 D．5＋2
【答案】B
【解析】原方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，为半径的圆．设x－2y＝b，则x－2y可看作直线x－2y＝b在x轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，所以b＝10或b＝0，所以x－2y的最大值是10.
（2）（四川树德中学2019届模拟）已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝，又|AB|＝＝5，所以△ABP的面积的最小值为×5×＝.
【变式训练1】．（广西南宁三中2019届模拟）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求y－x的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
【解析】方程x2＋y2－4x＋1＝0可变形为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4.
(3)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.
重难点突破03 有关圆的综合问题
例3．(1)（山东省青岛二中2019届质检）已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是( )
A．(－2，4) B.[－2，4]
C．[－4,4] D．[－4,2]
【答案】B
【解析】x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m.当直线x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－2.设圆心(0,0)到直线x＋y－m＝0的距离为d，则即解得m∈[－2，4]．
(2)．（江西省赣州一中2019届期中）若过点P(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－3)∪
【解析】圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a.因为过点P(a，a)能作圆的两条切线，所以点P在圆的外部，即解得a<－3或1<a<.故a的取值范围为(－∞，－3)∪.
【变式训练1】．（2020江苏海安高级中学高二月考）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________．
【答案】或
【解析】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为
与直线的交点为，，①
由，，重心为，代入欧拉线方程，得，②，由 ①②可得或 .
【变式训练2】．（2020山东菏泽四中高二月考）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
【解析】（1）设，.
由 可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，
圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
四、课堂定时训练（45分钟）
1．（2020邢台市第八中学高二期末）方程表示以为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，2，3，4，解得D＝4，E＝﹣6，F＝﹣3．
2.（2020全国高二课时练）已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( )
A.x2+y2+4x-2y-5=0 B.x2+y2-4x+2y-5=0
C.x2+y2+4x-2y=0 D.x2+y2-4x+2y=0
【答案】C
【解析】设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得=-2,=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.
3．（多选题）（2020·南京市秦淮中学高二月考）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为 B．圆被轴截得的弦长为8
C．圆的半径为5 D．圆被轴截得的弦长为6
【答案】ABCD
【解析】由圆的一般方程为，则圆，
故圆心为，半径为，则AC正确；令，得或，弦长为6，故D正确；
令，得或，弦长为8，故B正确.故选：ABCD.
4．（2020全国高二课时练）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】设圆心，则，化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.
5.（2020山西师大附中高二月考）已知三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.10 B.4 C.5 D.
【答案】D
【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆M过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),
可得解得
即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,即为(x-1)2+(y+2)2=25,圆心(1,-2)到原点的距离为.故选D.
6．（2020江苏海安高级中学高二月考）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________．
【答案】或
【解析】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为
与直线的交点为，，①
由，，重心为，代入欧拉线方程，得，②，由 ①②可得或 .
7．（2020·浙江温岭中学高二月考）已知，，动点满足，则点的轨迹方程是___________；又若，此时的面积为___________.
【答案】； .
【解析】，，设，由，得，
整理得：；以为直径的圆的方程为，
联立，解得.即点的纵坐标的绝对值为.
此时的面积为.
8．（2020·陕西渭南高二期末）已知直线在轴上的截距为，且垂直于直线．
（1）求直线的方程；
（2）设直线与两坐标轴分别交于、两点，内接于圆，求圆的一般方程．
【解析】（1）设直线的方程为．
∵直线的斜率为，所以直线的斜率．
则直线的方程为．
（2）设圆的一般方程为．
由于是直角三角形，
所以圆的圆心是线段的中点，半径为；
由，得，；
故，解得，，．
则圆的一般方程为：．
9．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考）设三角形的顶点坐标是A（0，a），B（，0），C（，0），其中a>0，圆M为的外接圆．
（1）求圆M的方程；
（2）当a变化时，圆M是否过某一定点?请说明理由．
【解析】 (1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),
∴解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.
(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由
解得x=0,y=-3.
∴圆M过定点(0,-3).
10．（2020山东菏泽四中高二月考）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
【解析】（1）设，.
由 可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，
圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
