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2021届高考物理通用一轮练习：考点46 光的折射、全反射 实验：测定玻璃的折射率
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考点46 光的折射、全反射 实验：测定玻璃的折射率
题组一 基础小题
1．(多选)关于光的传播现象及应用，下列说法正确的是( )
A．一束白光通过三棱镜后形成的彩色光带是光的色散现象
B．光导纤维丝内芯材料的折射率比外套材料的折射率大
C．海面上的海市蜃楼将呈现倒立的像，位置在实物的上方，又称上现蜃景
D．一束色光从空气进入水中，波长将变短，色光的颜色也将发生变化
E．一束白光从空气斜射进入水中，也将发生色散
答案 ABE
解析 一束白光通过三棱镜后形成的彩色光带是光的色散现象，A正确；由全反射的条件可知，光导纤维内芯材料的折射率比外套材料的折射率大，故B正确；海面上的海市蜃楼将呈现正立的像，位置在实物的上方，又称上现蜃景，C错误；色光进入水中，光的频率不变，颜色不变，D错误；白光斜射入水中，由于水对不同色光的折射率不同，各种色光将分开，即发生色散，故E正确。
2．(多选)如图所示，光在真空和介质的界面MN上发生偏折，那么下列说法正确的是( )
A．光是从真空射向介质
B．介质的折射率约为1.73
C．光在介质中的传播速度为1.73×108 m/s
D．反射光线与折射光线成60°角
E．反射光线与折射光线成90°角
答案 BCE
解析 因为折射角大于入射角，所以光是从介质射向真空，A错误；根据折射率公式n＝≈1.73，B正确；由公式n＝，代入数据得光在介质中的传播速度v≈1.73×108 m/s，C正确；结合光的反射定律可知，反射光线与折射光线成90°角，D错误，E正确。
3．(多选)如图所示，有一束平行于等边三棱镜截面ABM的单色光从空气射向E点，并偏折到F点。已知入射方向与AB边的夹角为θ＝30°，E、F分别为边AB、BM的中点，则( )
A．该三棱镜对该单色光的折射率为
B．光在F点发生全反射
C．光从空气进入棱镜，波长变短
D．从F点出射的光束与入射到E点的光束可能平行
E．从F点出射的光束与入射到E点的光束偏向角为60°
答案 ACE
解析 在E点作出法线可知入射角为i＝60°，折射角为r＝30°，由折射定律可知该三棱镜的折射率n＝＝，A正确；由sinC＝可知全反射的临界角大于30°，由光路可知，在边BM上的入射角等于30°，小于全反射的临界角，故光在F点不会发生全反射，B错误；根据公式n＝＝＝，得λ介＝，可知光从空气进入棱镜，波长变短，C正确；三棱镜两次折射使得光线都向AM边偏折，故从F点出射的光束不会与入射到E点的光束平行，D错误；从F点出射的光束与入射到E点的光束偏向角为2(i－r)＝60°，E正确。
4．虹和霓是太阳光在水球内分别经过一次和两次反射后出射形成的，可用白光照射玻璃球来说明。两束平行白光照射到透明玻璃球后，在水平的白色桌面上会形成MN和PQ两条彩色光带，光路如图所示，M、N、P、Q点的颜色分别为( )
A．紫、红、红、紫 B．红、紫、红、紫
C．红、紫、紫、红 D．紫、红、紫、红
答案 A
解析 对同一种介质，红光的折射率最小，偏折程度最小，由图可知，N、P为红色，M、Q为紫色，A正确。
5．实验表明，可见光通过三棱镜时各色光的折射率n随波长λ的变化符合科西经验公式：n＝A＋＋，其中A、B、C是正的常量。太阳光进入三棱镜后发生色散的情形如图所示。则( )
A．屏上c处是紫光 B．屏上d处是红光
C．屏上b处是紫光 D．屏上a处是红光
答案 D
解析 由科西经验公式可知，光的波长越长，折射率越小。太阳光经三棱镜发生色散，从红光到紫光的波长越来越短，即折射率越来越大，所以a处是红光，d处是紫光，A、B、C错误，D正确。
6．(多选)如图所示，实线为空气和水的分界面，一束蓝光从空气中的A点沿AO1方向(O1点在分界面上，图中O1点和入射光线都未画出)射向水中，折射后通过水中的B点。图中O点为A、B连线与分界面的交点。下列说法正确的是( )
A．O1点在O点的右侧
B．蓝光从空气中射入水中时，速度变小
C．若沿AO1方向射向水中的是一束紫光，则折射光线有可能通过B点正下方的C点
D．若沿AO1方向射向水中的是一束红光，则折射光线有可能通过B点正上方的D点
E．若蓝光沿AO方向射向水中，则折射光线有可能通过B点正上方的D点
答案 BCD
解析 根据折射定律，可知光由空气斜射入水中时入射角大于折射角，则画出光路图如图所示，知O1点应在O点的左侧，故A错误；光从光疏介质(空气)进入光密介质(水)中时，速度变小，故B正确；紫光的折射率大于蓝光，所以若沿AO1方向射向水中的是一束紫光，折射角要小于蓝光的折射角，则折射光线可能通过B点正下方的C点，故C正确；红光的折射率小于蓝光，所以若沿AO1方向射向水中的是一束红光，折射角大于蓝光的折射角，则折射光线可能通过B点正上方的D点，故D正确；若蓝光沿AO方向射入，根据折射定律，可知折射光线会从B点下方通过，故E错误。
7．某同学通过实验测定半圆形玻璃砖的折射率n。如图甲所示，O是圆心，MN是法线，AO、BO分别表示某次测量时光线在空气和玻璃砖中的传播路径。该同学测得多组入射角i和折射角r，作出sinisinr图象如图乙所示，则( )
A．光由A经O到B，n＝1.5
B．光由B经O到A，n＝1.5
C．光由A经O到B，n＝0.67
D．光由B经O到A，n＝0.67
答案 B
解析 由sinisinr图象可知，同一光线sinr>sini，即r>i，故r为光线在空气中传播时与法线的夹角，则BO为入射光线，OA为折射光线，即光由B经O到A，折射率n＝＝＝1.5，故B正确，A、C、D错误。
8. 如图所示，一束单色光从空气入射到棱镜的AB面上，经AB和AC两个面折射后从AC面进入空气。当出射角i′和入射角i相等时，出射光线相对于入射光线偏转的角度为θ。已知棱镜的顶角为α，则计算棱镜对该色光的折射率表达式为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设光线在AB面上的折射角为r，由几何关系有θ＝2(i－r)，α＝2r，从而求出i＝，r＝，由折射定律n＝＝，A正确。
9．(多选)如图是不平行玻璃砖的截面，a、b两束单色光从空气垂直玻璃砖上表面射入，在下表面上反射和折射情况如图所示，则a、b两束光( )
A．在同种均匀介质中传播时，b光的传播速度大
B．以相同的入射角从空气斜射入水中，b光的折射角较大
C．在真空中，a光的波长大于b光波长
D．在玻璃中，na
答案 ABE
解析 由图可知，a光发生了全反射，b光没有发生全反射，即a光发生全反射的临界角小于b光发生全反射的临界角，由sinC＝，知b光的折射率小，即na>nb，故D错误；根据n＝，知vanb，则fa>fb，由c＝fλ知λa<λb，C错误；当b光逆时针转动时，b光在玻璃砖下表面的入射角会增大，当该角大于b光的临界角时，b光就会发生全反射，E正确。
10．(多选)国内最长的梅溪湖激光音乐喷泉采用了世界一流的喷泉、灯光和音响设备。假设喷泉的水池中某一彩灯发出的一条光线在水面的入射角为30°，从水面上射出时的折射角是45°。则下列说法正确的是( )
A．光在水面发生全反射的临界角为45°
B．光在水面发生全反射的临界角为60°
C．被水池中 m深处的一彩灯(视为点光源)照亮的水面面积约为25 m2
D．被水池中 m深处的一彩灯(视为点光源)照亮的水面面积约为22 m2
答案 AD
解析 由折射定律有n＝＝，又n＝＝，得该光的全反射临界角C＝45°，故A正确，B错误；作出光路图，由几何关系有R＝htanC，又S＝πR2，解得S≈22 m2，故C错误，D正确。
11. 如图所示，口径较大、充满水的薄壁圆柱形浅玻璃缸底有一发光小球。则( )
A．小球必须位于缸底中心才能从侧面看到小球
B．小球所发的光能从水面任何区域射出
C．小球所发的光从水中进入空气后频率变大
D．小球所发的光从水中进入空气后传播速度变大
答案 D
解析 小球在缸底的其他位置也能从侧面看到小球，A错误；光线由水射向空气时，有可能发生全反射，B错误；光在不同介质中的频率是不变的，C错误；由v＝可知，光在水中的速度小于在空气中的速度，D正确。
12. 如图所示，一条圆柱形的光导纤维，长为L，它的内芯的折射率为n1，内部敷层的折射率为n2，光在空气中的传播速度为c，若光从它的一端射入经全反射后从另一端射出所需的最长时间为t，这时全反射的临界角C，满足sinC＝，则下列说法中正确的是( )
A．n1>n2，t＝ B．n1
解析 欲使光在折射率为n1和n2介质的界面上发生全反射，需有n1>n2。光在内芯中传播的最长路程为s＝，传播速度为v＝，故最长时间t＝＝＝。C正确。
13. 如图所示是一个透明圆柱体的横截面，一束单色光平行于直径AB射向圆柱体，光线经过折射后恰能射到B点。已知入射光线到直径AB的距离为R，R是圆柱体的半径。已知光在真空中的传播速度为c，则( )
A．该透明圆柱体的折射率为
B．该单色光从C点传播到B点的时间为
C．折射光线过B点时可能发生全反射
D．改变入射光线到直径AB的距离，折射光线仍然能够射到B点
答案 B
解析 如图所示cosθ1＝＝，即θ1＝30°，分析可得：θ2＝30°，r＝30°，i＝60°，折射率n＝＝，故A错误；该单色光从C到B的时间t＝＝＝，故B正确；因为sinθ2＝
14. (多选)如图，一束光沿半径方向射向一块半圆柱形玻璃砖，在玻璃砖底面上的入射角为θ，经折射后射出a、b两束光线。则( )
A．在玻璃中，a光的传播速度小于b光的传播速度
B．在真空中，a光的波长小于b光的波长
C．玻璃砖对a光的折射率小于对b光的折射率
D．若改变光束的入射方向使θ角逐渐变大，则折射光线a首先消失
E．分别用a、b光在同一个双缝干涉实验装置上做实验，a光的干涉条纹间距大于b光的干涉条纹间距
答案 ABD
解析 由题图知，从玻璃砖射出时，入射角相同，a光的折射角大于b光的折射角，玻璃砖对a光的折射率大于对b光的折射率，a光在玻璃中的传播速度比b光的小，a光的频率比b光的大，在真空中，a光的波长较短，a光形成的干涉条纹间距较小，A、B正确，C、E错误；a光的全反射临界角较小，当入射角θ增大时，a光先发生全反射，折射光线先消失，D正确。
15．以往，已知材料的折射率都为正值(n>0)。现已有针对某些电磁波设计制作的人工材料，其折射率可以为负值(n<0)，称为负折射率材料。位于空气中的这类材料，入射角i与折射角r依然满足＝n，但是折射光线与入射光线位于法线的同一侧(此时折射角取负值)。现空气中有一上下表面平行的负折射率材料，一束电磁波从其上表面射入，下表面射出。若该材料对此电磁波的折射率n＝－1，正确反映电磁波穿过该材料的传播路径的示意图是( )
答案 B
解析 折射光线与入射光线应位于法线的同一侧，故A、D错误。因为材料的折射率n＝－1，故在电磁波由空气进入介质时，sini＝－sinr，得i＝－r，则C错误。故选B。
16. 如图，一束白光沿半径方向从A点射入半圆形玻璃砖，在O点发生反射和折射，折射光照在光屏上，a、b为折射光的上下边界，c为反射光。若入射点由A向B缓慢移动，并保持白光沿半径方向入射到O点，可以观察到各色光在光屏上陆续消失，在光带未完全消失之前，下列说法正确的是( )
A．c光逐渐变暗
B．a、b光带逐渐变亮
C．a光与b光相比，a光先消失
D．单色光a通过玻璃砖所需的时间小于单色光b通过玻璃砖所需的时间
答案 D
解析 在光带未完全消失之前，折射光线的强度减弱，反射光线的强度加强，A、B错误；a光与b光相比，b光偏折的程度大，其折射率大，临界角小，故b光先消失，C错误；a光折射率小，由n＝，知单色光a在玻璃砖中的速度大，通过玻璃砖所需的时间短，D正确。
题组二 高考小题
17．(2019·天津高考)右图为a、b、c三种光在同一光电效应装置中测得的光电流和电压的关系。由a、b、c组成的复色光通过三棱镜时，下述光路图中正确的是( )
答案 C
解析 由爱因斯坦光电效应方程Ek＝hν－W0和动能定理－eUc＝0－Ek得ν＝＋，知遏止电压大，则光的频率大，故νb>νc>νa，由于光的频率越大，折射率越大，光的偏折角度越大，故C正确，A、B、D错误。
18．(2017·北京高考)如图所示，一束可见光穿过平行玻璃砖后，变为a、b两束单色光。如果光束b是蓝光，则光束a可能是( )
A．红光 B．黄光
C．绿光 D．紫光
答案 D
解析 解法一：光的偏折程度大，则折射率大；光的频率越大，折射率也越大。题中a光的折射率大于b光的折射率，则a光的频率大于b光的频率，只有选项D正确。
解法二：本题是单项选择，题中A、B、C项光的频率均比蓝光的小，只有D项光的频率比蓝光的大，可以直接判定D项正确。
题组三 模拟小题
19．(2019·天津河东一模)(多选)固定的半圆形玻璃砖的横截面如图，O点为圆心，OO′为直径MN的垂线。足够大的光屏PQ紧靠玻璃砖右侧且垂直于MN。由A、B两种单色光组成的一束光沿半径方向射向O点，入射光线与OO′夹角θ较小时，光屏NQ区域出现两个光斑，逐渐增大θ角，当θ＝α时，光屏NQ区域A光的光斑消失，继续增大θ角，当θ＝β时，光屏NQ区域B光的光斑消失，则( )
A．玻璃砖对A光的折射率比对B光的大
B．A光在玻璃砖中的传播速度比B光的大
C．α<θ<β时，光屏上只有1个光斑
D．β<θ<时，光屏上只有1个光斑
答案 AD
解析 因在θ角增大的过程中A光的光斑先消失，说明A光先发生全反射，所以玻璃砖对A光的折射率大于B光，A正确；由v＝可知折射率越大则在玻璃砖中的速度v越小，B错误；当α<θ<β时，A光发生全反射，光屏上只有反射光斑与B光的折射光斑，共2个光斑，C错误；当β<θ<时，A、B光均发生全反射，光屏上只剩下1个反射光斑，D正确。
20．(2019·武汉联考)(多选)如图所示，两束平行的黄光射向截面为正三角形的玻璃三棱镜ABC，已知该三棱镜对该黄光的折射率为，入射光与AB界面夹角为45°，光经三棱镜后到达与BC界面平行的光屏PQ上，下列说法中正确的是( )
A．两束黄光从BC边射出后仍是平行的
B．黄光经三棱镜折射后偏向角为30°
C．改用红光以相同的角度入射，出射光束仍然平行，但其偏向角大些
D．改用绿光以相同的角度入射，出射光束仍然平行，但其偏向角大些
E．若让入射角增大，则出射光束不平行
答案 ABD
解析 作出光路图如图，由折射率公式n＝可知r＝30°，由几何关系可知折射光在三棱镜内平行于底边AC，由对称性可知其在BC边射出时的出射角也为i＝45°，因此光束的偏向角为30°，则A、B正确；由于同种材料对不同的色光的折射率不同，相对于黄光而言红光的折射率小，绿光的折射率较大，因此折射后绿光的偏向角大些，红光的偏向角小些，C错误，D正确；若让入射角增大，折射角按一定的比例增大，出射光束仍然平行，则E错误。
21．(2019·鞍山模拟)(多选)ABCDE为单反照相机取景器中五棱镜的一个截面示意图，AB⊥BC，由a、b两种单色光组成的细光束从空气垂直于AB射入棱镜，经两次反射后光线垂直于BC射出，且在CD、AE边只有a光射出，光路图如图所示，则a、b两束光( )
A．a光的频率比b光的频率小
B．在真空中，a光的传播速度比b光的大
C．在棱镜内，a光的传播速度比b光的大
D．以相同的入射角从空气斜射入水中，b光的折射角较小
E．分别通过同一双缝干涉装置，a光的相邻亮条纹间距小
答案 ACD
解析 所有光在真空中有相同的速度，B错误；由图知，在CD界面上，以相同的入射角入射的a、b两种光，a光发生了折射，b光发生了全反射，说明b光的折射率比a光的大，折射率越大，频率越大，所以a光的频率比b光的小，A正确；由公式v＝，在棱镜内a光的传播速度比b光的大，C正确；由折射率n＝，可知以相同的入射角从空气斜射入水中，b光的折射角较小，D正确；折射率小的光波长大，通过同一双缝干涉装置，根据公式Δx＝λ，可知a光的相邻亮条纹间距大，E错误。
题组一 基础大题
22．如图所示，某同学用“插针法”测定一块两面不平行的玻璃砖的折射率，以下是几个主要操作步骤：
a．在平木板上固定白纸，将玻璃砖放在白纸上；
b．用笔沿玻璃砖的边缘画界面AA′和BB′(如图甲所示)；
c．在AA′上方竖直插针P1、P2；
d．在BB′下方竖直插针P3、P4，使P1、P2、P3、P4在一条直线上，如图甲。
(1)以上步骤有错误的是________(填步骤的字母代号)。
(2)改正了错误操作并进行正确的操作和作图后，该同学作出的光路图如图乙所示，其中P1P2垂直于AA′，测量出了θ、β的角度，则该玻璃砖的折射率n＝________。
答案 (1)b、d (2)
解析 (1)用“插针法”测定玻璃砖的折射率实验中，不能用玻璃砖的光学面边界代替直尺，因为可能会损坏玻璃砖的光学界面，故b步骤错误；确定P3、P4的位置时应透过玻璃砖观察，使P3挡住P1、P2的像，P4挡住P3及P1、P2的像，而不是使P1、P2、P3、P4在一条直线上，d步骤错误。
(2)由题图乙易得，n＝＝＝。
23．如图所示，一束截面为圆形(半径为R)的平行白色光垂直射向一玻璃半球的平面，经折射后在屏幕S上形成一个圆形彩色亮区。已知玻璃半球的半径为R，屏幕S至球心的距离为D(D>3R)，不考虑光的干涉和衍射，试问：
(1)在屏幕S上形成的圆形亮区的最外侧是什么颜色？
(2)若玻璃半球对(1)中色光的折射率为n，请你求出圆形亮区的最大半径。
答案 (1)紫色 (2)D －nR
解析 (1)当平行光从玻璃中射向空气时，由于紫光的折射率最大，则临界角最小，因此紫光的出射光线与屏幕的交点最远，故圆形亮区的最外侧是紫色。
(2)如图所示，紫光刚要发生全反射时的临界光线射在屏幕S上的F点到亮区中心E的距离r就是所求最大半径。设紫光的临界角为C，
由全反射的知识：sinC＝。
所以cosC＝，tanC＝，
OB＝＝，r＝＝D －nR。
24. 如图所示，在注满水的游泳池的池底有一点光源A，它到池边的水平距离为3.0 m。从点光源A射向池边的光线AB与竖直方向的夹角恰好等于全反射的临界角，水的折射率为。
(1)求池内的水深；
(2)一救生员坐在离池边不远处的高凳上，他的眼睛到池面的高度为2.0 m。当他看到正前下方的点光源A时，他的眼睛所接受的光线与竖直方向的夹角恰好为45°。求救生员的眼睛到池边的水平距离(结果保留一位有效数字)。
答案 (1)2.6 m (2)0.7 m
解析 (1)如图所示，设到达池边的光线的入射角为i。依题意，水的折射率n＝，此条光线的折射角θ＝90°。
由折射定律有n＝①
由几何关系有
sini＝②
式中，l＝3.0 m，h是池内水的深度。
联立①②式并代入题给数据得h＝ m≈2.6 m。③
(2)设救生员的眼睛到池边的水平距离为x。依题意，救生员的视线与竖直方向的夹角为θ′＝45°。
由折射定律有n＝④
式中，i′是光线在水面的入射角。设池底点光源A到水面入射点的水平距离为a。由几何关系有
sini′＝⑤
x＋l＝a＋h′⑥
式中h′＝2.0 m。
联立③④⑤⑥式得x＝ m≈0.7 m。
25. 如图，玻璃球冠的折射率为，其底面镀银，底面的半径是球半径的倍；在过球心O且垂直于底面的平面(纸面)内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点。求该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角。
答案 150°
解析 设球半径为R，球冠底面中心为O′，连接OO′，则OO′⊥AB。
令∠OAO′＝α，有cosα＝＝＝①
即α＝30°②
由题意MA⊥AB
所以∠OAM＝60°③
设图中N点为光线在球冠内底面上的反射点，光线的光路图如图所示。设光线在M点的入射角为i、折射角为r，在N点的入射角为i′，反射角为i″，玻璃的折射率为n。由于△OAM为等边三角形，有i＝60°④
由折射定律有sini＝nsinr⑤
代入题给条件n＝得r＝30°⑥
作底面在N点的法线NE，由于NE∥AM，有
i′＝30°⑦
根据反射定律，有i″＝30°⑧
连接ON，由几何关系知△MAN≌△MON，故有∠MNO＝60°⑨
由⑦⑨式得∠ENO＝30°⑩
于是∠ENO为反射角，ON为反射光线，这一反射光线经球面再次折射后不改变方向。所以，经一次反射后射出玻璃球冠的光线相对于入射光线的偏角β为
β＝180°－∠ENO＝150°。
26. 一赛艇停在平静的水面上，赛艇前端有一标记P离水面的高度为h1＝0.6 m，尾部下端Q略高于水面，赛艇正前方离赛艇前端s1＝0.8 m处有一浮标，示意图如图。一潜水员在浮标前方s2＝3.0 m处下潜到深度为h2处时，看到标记P刚好被浮标挡住，此处看不到船尾端Q，继续下潜Δh＝2.0 m，恰好能看见Q(已知水的折射率n＝)。求：
(1)深度h2；
(2)赛艇的长度l。(可用根式表示)
答案 (1)4 m (2)( －3.8 m)
解析 (1)设过P点光线恰好被浮标挡住时，入射角、折射角分别为α、β，如图，则sinα＝①
sinβ＝②
水的折射率为n＝③
联立①②③式，并代入数据解得h2＝4 m。④
(2)潜水员恰好能看见Q时，潜水员和Q点连线与竖直方向的法线夹角刚好为临界角C，则sinC＝＝⑤
又由几何知识得tanC＝⑥
联立④⑤⑥式，并代入数据解得(l＝－3.8) m。
27．如图所示，一半径为R的圆柱形玻璃砖放置在水平地面上，一束由红光和紫光组成的细光束从玻璃砖的A点水平射入，最后在玻璃砖右侧的地面上形成两个光点。已知OA＝，该玻璃砖对红光的折射率为，对紫光的折射率为，求地面上两个光点之间的距离。
答案 R
解析 因为OO′＝R，OA＝，所以∠AO′O＝30°，∠OO′B＝60°
设红光折射后的折射角为β，由折射定律得＝
解得β＝45°，由几何关系得∠BO′D＝75°
设紫光折射后的折射角为α，由折射定律得＝
解得α＝60°
由几何关系得∠BO′C＝60°
由几何知识可得BC＝tan60°＝R，BD＝tan75°＝R
两个光点间的距离为CD＝BD－BC＝R。
28. 如图所示，某种材料制成的扇形透明砖放置在水平桌面上，光源S发出一束平行于桌面的光线从OA的中点垂直射入透明砖，恰好经过两次全反射后，垂直OB射出，并再次经过光源S，已知光在真空中传播的速率为c，求：
(1)材料的折射率n；
(2)该过程中，光在空气中传播的时间与光在材料中传播的时间之比。
答案 (1)2 (2)1∶4
解析 (1)光路如图所示，
O＝，故sinC＝＝
而sinC＝
所以该材料的折射率n＝2。
(2)光在空气中传播的路程s1＝2
由几何关系知∠OSF＝30°
所以s1＝Rcos30°×2＝R×2＝R，
则光在空气中传播的时间为：t1＝＝
光在介质中传播的路程s2＝4＝2s1＝2R，
则光在材料中传播的时间为：t2＝＝＝
则光在空气中传播的时间与在材料中传播的时间之比为：t1∶t2＝1∶4。
题组二 高考大题
29. (2018·全国卷Ⅰ)如图，△ABC为一玻璃三棱镜的横截面，∠A＝30°。一束红光垂直AB边射入，从AC边上的D点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为________。若改用蓝光沿同一路径入射，则光线在D点射出时的折射角________(填“小于”“等于”或“大于”)60°。
答案 大于
解析 由光路可逆性，根据题述和图示可知，i＝60°，r＝30°，由折射定律，玻璃对红光的折射率n＝＝。若改用蓝光沿同一路径入射，由于玻璃对蓝光的折射率大于玻璃对红光的折射率，则光线在D点射出时的折射角大于60°。
30．(2019·天津高考)某小组做测定玻璃的折射率实验，所用器材有：玻璃砖，大头针，刻度尺，圆规，笔，白纸。
(1)下列哪些措施能够提高实验准确程度________。
A．选用两光学表面间距大的玻璃砖
B．选用两光学表面平行的玻璃砖
C．选用粗的大头针完成实验
D．插在玻璃砖同侧的两枚大头针间的距离尽量大些
(2)该小组用同一套器材完成了四次实验，记录的玻璃砖界线和四个大头针扎下的孔洞如下图所示，其中实验操作正确的是________。
(3)该小组选取了操作正确的实验记录，在白纸上画出光线的径迹，以入射点O为圆心作圆，与入射光线、折射光线分别交于A、B点，再过A、B点作法线NN′的垂线，垂足分别为C、D点，如图所示，则玻璃的折射率n＝________。(用图中线段的字母表示)
答案 (1)AD (2)D (3)
解析 (1)测定玻璃折射率的关键是根据入射光线和出射光线确定在玻璃中的传播光线，因此选用光学表面间距大的玻璃砖以及使同侧两枚大头针间的距离尽量大些都有利于提高实验的准确程度，A、D正确；两光学表面是否平行不影响折射率的测量，为减小误差，应选用细长的大头针，故B、C错误。
(2)两光学表面平行的玻璃砖的入射光线与出射光线平行，在空气中的入射角大于玻璃中的折射角，在题图中，根据玻璃砖界线及四个孔洞位置分别作出光路图及法线，如图1所示分析可知实验操作正确的是D。
(3)如图2所示，玻璃的折射率n＝，又sini＝，sinr＝，故n＝。
31．(2019·全国卷Ⅰ)如图，一艘帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m。距水面4 m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53°(取sin53°＝0.8)。已知水的折射率为。
(1)求桅杆到P点的水平距离；
(2)船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，从水面射出后仍照射在桅杆顶端，求船行驶的距离。
答案 (1)7 m (2)5.5 m
解析 (1)设光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1，到P点的水平距离为x2；桅杆高度为h1，P点处水深为h2；激光束在水中与竖直方向的夹角为θ。由几何关系有
＝tan53°①
＝tanθ②
由折射定律有sin53°＝nsinθ③
设桅杆到P点的水平距离为x，则
x＝x1＋x2④
联立①②③④式并代入题给数据得
x＝7 m⑤
(2)设激光束在水中与竖直方向的夹角为45°时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为i′，由折射定律有sini′＝nsin45°⑥
设船向左行驶的距离为x′，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1′，到P点的水平距离为x2′，则x1′＋x2′＝x′＋x⑦
＝tani′⑧
＝tan45°⑨
联立⑤⑥⑦⑧⑨式并代入题给数据得x′＝(6－3) m≈5.5 m。
32．(2019·全国卷Ⅲ)如图，直角三角形ABC为一棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝30°。一束光线平行于底边BC射到AB边上并进入棱镜，然后垂直于AC边射出。
(1)求棱镜的折射率；
(2)保持AB边上的入射点不变，逐渐减小入射角，直到BC边上恰好有光线射出。求此时AB边上入射角的正弦。
答案 (1) (2)
解析 (1)光路图及相关量如图所示。
光束在AB边上折射，由折射定律得
＝n①
式中n是棱镜的折射率。由几何关系可知
α＋β＝60°②
由几何关系和反射定律得
β＝β′＝∠B③
联立①②③式，并代入i＝60°得
n＝④
(2)设改变后的入射角为i′，折射角为α′，由折射定律得
＝n⑤
依题意，光束在BC边上的入射角为全反射的临界角θc，且sinθc＝⑥
由几何关系得
θc＝α′＋30°⑦
由④⑤⑥⑦式得此时AB边上入射角的正弦为
sini′＝。
33．(2019·江苏高考)如图所示，某L形透明材料的折射率n＝2。现沿AB方向切去一角，AB与水平方向的夹角为θ。为使水平方向的光线射到AB面时不会射入空气，求θ的最大值。
答案 60°
解析 光线射到AB面时不射入空气中，则在AB面发生全反射。当恰好发生全反射时，入射角为临界角C，此时θ最大，sinC＝，由几何关系得C＋θm＝90°，解得θm＝60°。
34. (2018·全国卷Ⅱ)如图，△ABC是一直角三棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝60°，一细光束从BC边的D点折射后，射到AC边的E点，发生全反射后经AB边的F点射出。EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中点。不计多次反射。
(1)求出射光相对于D点的入射光的偏角；
(2)为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？
答案 (1)60° (2)≤n<2
解析 (1)光线在BC面上折射，由折射定律有
sini1＝nsinr1①
式中，n为棱镜的折射率，i1和r1分别是该光线在BC面上的入射角和折射角。
光线在AC面上发生全反射，由反射定律有i2＝r2②
式中i2和r2分别是该光线在AC面上的入射角和反射角。
光线在AB面上发生折射，由折射定律有nsini3＝sinr3③
式中i3和r3分别是该光线在AB面上的入射角和折射角。由几何关系得
i2＝r2＝60°，r1＝i3＝30°④
F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为
δ＝(r1－i1)＋(180°－i2－r2)＋(r3－i3)⑤
由①②③④⑤式得δ＝60°⑥
(2)光线在AC面上发生全反射，光线在AB面上不发生全反射，有
nsini2≥nsinC>nsini3⑦
式中C是全反射临界角，满足nsinC＝1⑧
由④⑦⑧式知，棱镜的折射率n的取值范围应为
≤n<2。
35．(2018·全国卷Ⅲ)如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O点)，然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC边上。D位于AB边上，过D点作AC边的垂线交AC于F。该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察，恰好可以看到小标记的像；过O点作AB边的垂线交直线DF于E；DE＝2 cm，EF＝1 cm。求三棱镜的折射率。(不考虑光线在三棱镜中的反射)
答案
解析 过D点作AB边的垂线NN′，连接OD，则∠ODN＝α为来自O点的光线在D点的入射角；设该光线在D点的折射角为β，如图所示。
根据折射定律有nsinα＝sinβ①
式中n为三棱镜的折射率
由几何关系可知β＝60°②
∠EOF＝30°③
在△OEF中有EF＝OEsin∠EOF④
由③④式和题给条件得OE＝2 cm⑤
根据题给条件可知，△OED为等腰三角形，有α＝30°⑥
由①②⑥式得n＝。
36．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0.6R。已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)。求该玻璃的折射率。
答案 1.43
解析 如图所示，根据光路的对称性和光路可逆性，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C点反射。
设光线在半球面的入射角为i，折射角为r。由折射定律有
sini＝nsinr①
由正弦定理有
＝②
由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i。由题设条件和几何关系有
sini＝③
式中L是入射光线与OC的距离。由②③式和题给数据得
sinr＝④
由①③④式和题给数据得
n＝≈1.43⑤
37．(2017·全国卷Ⅱ)一只桶状容器的高为2l，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示。容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料。在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率。
答案 1.55
解析 设从光源发出直接射到D点的光线的入射角为i1，折射角为r1。在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C，连接C、D，交反光壁于E点，由光源射向E点的光线，反射后沿ED射向D点。光线在D点的入射角为i2，折射角为r2，如图所示。
设液体的折射率为n，由折射定律有nsini1＝sinr1①
nsini2＝sinr2②
由题意知r1＋r2＝90°③
联立①②③式得n2＝④
由几何关系可知sini1＝＝⑤
sini2＝＝⑥
联立④⑤⑥式得n≈1.55⑦
38. (2017·全国卷Ⅲ)如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴(过球心O与半球底面垂直的直线)。已知玻璃的折射率为1.5。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线)。求：
(1)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；
(2)距光轴的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离。
答案 (1)R (2)2.74R
解析 (1)如图，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角ic时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l。
i＝ic①
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有nsinic＝1②
由几何关系有
sini＝③
联立①②③式并利用题给条件，得
l＝R④
(2)设与光轴相距的光线在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i1和r1，由折射定律有
nsini1＝sinr1⑤
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有＝⑥
由几何关系有
∠C＝r1－i1⑦
sini1＝⑧
联立⑤⑥⑦⑧式及题给条件得
OC＝R≈2.74R⑨
题组三 模拟大题
39．(2019·四川乐山调研)如图所示，在MN的下方足够大的空间是玻璃介质，其折射率n＝，玻璃介质的上边界MN是屏幕，玻璃中有一个正三棱柱形空气泡，其横截面边长l＝40 cm，顶点与屏幕接触于C点，底边AB与屏幕平行，一束激光a垂直于AB边射向AC边的中点O，结果在屏幕MN上出现两个光斑。
(1)求两个光斑之间的距离x；
(2)若任意两束相同的激光同时垂直于AB边向上射入空气泡，求屏幕上相距最远的两个光斑之间的距离L。
答案 (1)40 cm (2)80 cm
解析 (1)画出光路图如图1所示。在界面AC，入射角i＝60°，n＝，由折射定律有n＝
解得折射角r＝30°
由光的反射定律得反射角θ＝60°
由几何关系得，△ODC是边长为的正三角形，△OEC为等腰三角形，且CE＝OC＝，则两个光斑之间的距离x＝DC＋CE＝l＝40 cm。
(2)作出入射点在A、B两点时的光线的光路图如图2所示，由图可得屏幕上相距最远的两个光斑之间的距离L＝PQ＝2l＝80 cm。
40．(2019·山东淄博一模)某种透明材料制成的空心球体外径是内径的2倍，其过球心的某截面(纸面内)如图所示。一束单色光(在纸面内)从外球面上的A点入射，入射角为45°时，光束经折射后恰好与内球面相切。
(1)求该透明材料的折射率；
(2)欲使光束从A点入射后，恰好在内球面上发生全反射，则应将入射角变为多少度？
答案 (1) (2)30°
解析 (1)作光路图如图甲，设光束经折射后到达内球面上的B点，由题意知，入射角i＝45°，折射角r＝∠BAO
由几何关系有：sinr＝＝0.5
由折射定律有：n＝
代入数据解得：n＝。
(2)作光路图如图乙，设在A点的入射角为i′时，光束经折射后到达内球面上的C点，并在C点恰好发生全反射，则光束在内球面上的入射角∠ACD等于临界角C。
由sinC＝
代入数据得：∠ACD＝C＝45°
由正弦定理有＝
AO＝2R，CO＝R，∠ACO＝180°－∠ACD，
解得：sin∠CAO＝＝
由折射定律有：n＝
解得：sini′＝0.5，即此时的入射角i′＝30°。
考点46 光的折射、全反射 实验：测定玻璃的折射率
题组一 基础小题
1．(多选)关于光的传播现象及应用，下列说法正确的是( )
A．一束白光通过三棱镜后形成的彩色光带是光的色散现象
B．光导纤维丝内芯材料的折射率比外套材料的折射率大
C．海面上的海市蜃楼将呈现倒立的像，位置在实物的上方，又称上现蜃景
D．一束色光从空气进入水中，波长将变短，色光的颜色也将发生变化
E．一束白光从空气斜射进入水中，也将发生色散
答案 ABE
解析 一束白光通过三棱镜后形成的彩色光带是光的色散现象，A正确；由全反射的条件可知，光导纤维内芯材料的折射率比外套材料的折射率大，故B正确；海面上的海市蜃楼将呈现正立的像，位置在实物的上方，又称上现蜃景，C错误；色光进入水中，光的频率不变，颜色不变，D错误；白光斜射入水中，由于水对不同色光的折射率不同，各种色光将分开，即发生色散，故E正确。
2．(多选)如图所示，光在真空和介质的界面MN上发生偏折，那么下列说法正确的是( )
A．光是从真空射向介质
B．介质的折射率约为1.73
C．光在介质中的传播速度为1.73×108 m/s
D．反射光线与折射光线成60°角
E．反射光线与折射光线成90°角
答案 BCE
解析 因为折射角大于入射角，所以光是从介质射向真空，A错误；根据折射率公式n＝≈1.73，B正确；由公式n＝，代入数据得光在介质中的传播速度v≈1.73×108 m/s，C正确；结合光的反射定律可知，反射光线与折射光线成90°角，D错误，E正确。
3．(多选)如图所示，有一束平行于等边三棱镜截面ABM的单色光从空气射向E点，并偏折到F点。已知入射方向与AB边的夹角为θ＝30°，E、F分别为边AB、BM的中点，则( )
A．该三棱镜对该单色光的折射率为
B．光在F点发生全反射
C．光从空气进入棱镜，波长变短
D．从F点出射的光束与入射到E点的光束可能平行
E．从F点出射的光束与入射到E点的光束偏向角为60°
答案 ACE
解析 在E点作出法线可知入射角为i＝60°，折射角为r＝30°，由折射定律可知该三棱镜的折射率n＝＝，A正确；由sinC＝可知全反射的临界角大于30°，由光路可知，在边BM上的入射角等于30°，小于全反射的临界角，故光在F点不会发生全反射，B错误；根据公式n＝＝＝，得λ介＝，可知光从空气进入棱镜，波长变短，C正确；三棱镜两次折射使得光线都向AM边偏折，故从F点出射的光束不会与入射到E点的光束平行，D错误；从F点出射的光束与入射到E点的光束偏向角为2(i－r)＝60°，E正确。
4．虹和霓是太阳光在水球内分别经过一次和两次反射后出射形成的，可用白光照射玻璃球来说明。两束平行白光照射到透明玻璃球后，在水平的白色桌面上会形成MN和PQ两条彩色光带，光路如图所示，M、N、P、Q点的颜色分别为( )
A．紫、红、红、紫 B．红、紫、红、紫
C．红、紫、紫、红 D．紫、红、紫、红
答案 A
解析 对同一种介质，红光的折射率最小，偏折程度最小，由图可知，N、P为红色，M、Q为紫色，A正确。
5．实验表明，可见光通过三棱镜时各色光的折射率n随波长λ的变化符合科西经验公式：n＝A＋＋，其中A、B、C是正的常量。太阳光进入三棱镜后发生色散的情形如图所示。则( )
A．屏上c处是紫光 B．屏上d处是红光
C．屏上b处是紫光 D．屏上a处是红光
答案 D
解析 由科西经验公式可知，光的波长越长，折射率越小。太阳光经三棱镜发生色散，从红光到紫光的波长越来越短，即折射率越来越大，所以a处是红光，d处是紫光，A、B、C错误，D正确。
6．(多选)如图所示，实线为空气和水的分界面，一束蓝光从空气中的A点沿AO1方向(O1点在分界面上，图中O1点和入射光线都未画出)射向水中，折射后通过水中的B点。图中O点为A、B连线与分界面的交点。下列说法正确的是( )
A．O1点在O点的右侧
B．蓝光从空气中射入水中时，速度变小
C．若沿AO1方向射向水中的是一束紫光，则折射光线有可能通过B点正下方的C点
D．若沿AO1方向射向水中的是一束红光，则折射光线有可能通过B点正上方的D点
E．若蓝光沿AO方向射向水中，则折射光线有可能通过B点正上方的D点
答案 BCD
解析 根据折射定律，可知光由空气斜射入水中时入射角大于折射角，则画出光路图如图所示，知O1点应在O点的左侧，故A错误；光从光疏介质(空气)进入光密介质(水)中时，速度变小，故B正确；紫光的折射率大于蓝光，所以若沿AO1方向射向水中的是一束紫光，折射角要小于蓝光的折射角，则折射光线可能通过B点正下方的C点，故C正确；红光的折射率小于蓝光，所以若沿AO1方向射向水中的是一束红光，折射角大于蓝光的折射角，则折射光线可能通过B点正上方的D点，故D正确；若蓝光沿AO方向射入，根据折射定律，可知折射光线会从B点下方通过，故E错误。
7．某同学通过实验测定半圆形玻璃砖的折射率n。如图甲所示，O是圆心，MN是法线，AO、BO分别表示某次测量时光线在空气和玻璃砖中的传播路径。该同学测得多组入射角i和折射角r，作出sinisinr图象如图乙所示，则( )
A．光由A经O到B，n＝1.5
B．光由B经O到A，n＝1.5
C．光由A经O到B，n＝0.67
D．光由B经O到A，n＝0.67
答案 B
解析 由sinisinr图象可知，同一光线sinr>sini，即r>i，故r为光线在空气中传播时与法线的夹角，则BO为入射光线，OA为折射光线，即光由B经O到A，折射率n＝＝＝1.5，故B正确，A、C、D错误。
8. 如图所示，一束单色光从空气入射到棱镜的AB面上，经AB和AC两个面折射后从AC面进入空气。当出射角i′和入射角i相等时，出射光线相对于入射光线偏转的角度为θ。已知棱镜的顶角为α，则计算棱镜对该色光的折射率表达式为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设光线在AB面上的折射角为r，由几何关系有θ＝2(i－r)，α＝2r，从而求出i＝，r＝，由折射定律n＝＝，A正确。
9．(多选)如图是不平行玻璃砖的截面，a、b两束单色光从空气垂直玻璃砖上表面射入，在下表面上反射和折射情况如图所示，则a、b两束光( )
A．在同种均匀介质中传播时，b光的传播速度大
B．以相同的入射角从空气斜射入水中，b光的折射角较大
C．在真空中，a光的波长大于b光波长
D．在玻璃中，na
答案 ABE
解析 由图可知，a光发生了全反射，b光没有发生全反射，即a光发生全反射的临界角小于b光发生全反射的临界角，由sinC＝，知b光的折射率小，即na>nb，故D错误；根据n＝，知va
10．(多选)国内最长的梅溪湖激光音乐喷泉采用了世界一流的喷泉、灯光和音响设备。假设喷泉的水池中某一彩灯发出的一条光线在水面的入射角为30°，从水面上射出时的折射角是45°。则下列说法正确的是( )
A．光在水面发生全反射的临界角为45°
B．光在水面发生全反射的临界角为60°
C．被水池中 m深处的一彩灯(视为点光源)照亮的水面面积约为25 m2
D．被水池中 m深处的一彩灯(视为点光源)照亮的水面面积约为22 m2
答案 AD
解析 由折射定律有n＝＝，又n＝＝，得该光的全反射临界角C＝45°，故A正确，B错误；作出光路图，由几何关系有R＝htanC，又S＝πR2，解得S≈22 m2，故C错误，D正确。
11. 如图所示，口径较大、充满水的薄壁圆柱形浅玻璃缸底有一发光小球。则( )
A．小球必须位于缸底中心才能从侧面看到小球
B．小球所发的光能从水面任何区域射出
C．小球所发的光从水中进入空气后频率变大
D．小球所发的光从水中进入空气后传播速度变大
答案 D
解析 小球在缸底的其他位置也能从侧面看到小球，A错误；光线由水射向空气时，有可能发生全反射，B错误；光在不同介质中的频率是不变的，C错误；由v＝可知，光在水中的速度小于在空气中的速度，D正确。
12. 如图所示，一条圆柱形的光导纤维，长为L，它的内芯的折射率为n1，内部敷层的折射率为n2，光在空气中的传播速度为c，若光从它的一端射入经全反射后从另一端射出所需的最长时间为t，这时全反射的临界角C，满足sinC＝，则下列说法中正确的是( )
A．n1>n2，t＝ B．n1
解析 欲使光在折射率为n1和n2介质的界面上发生全反射，需有n1>n2。光在内芯中传播的最长路程为s＝，传播速度为v＝，故最长时间t＝＝＝。C正确。
13. 如图所示是一个透明圆柱体的横截面，一束单色光平行于直径AB射向圆柱体，光线经过折射后恰能射到B点。已知入射光线到直径AB的距离为R，R是圆柱体的半径。已知光在真空中的传播速度为c，则( )
A．该透明圆柱体的折射率为
B．该单色光从C点传播到B点的时间为
C．折射光线过B点时可能发生全反射
D．改变入射光线到直径AB的距离，折射光线仍然能够射到B点
答案 B
解析 如图所示cosθ1＝＝，即θ1＝30°，分析可得：θ2＝30°，r＝30°，i＝60°，折射率n＝＝，故A错误；该单色光从C到B的时间t＝＝＝，故B正确；因为sinθ2＝
14. (多选)如图，一束光沿半径方向射向一块半圆柱形玻璃砖，在玻璃砖底面上的入射角为θ，经折射后射出a、b两束光线。则( )
A．在玻璃中，a光的传播速度小于b光的传播速度
B．在真空中，a光的波长小于b光的波长
C．玻璃砖对a光的折射率小于对b光的折射率
D．若改变光束的入射方向使θ角逐渐变大，则折射光线a首先消失
E．分别用a、b光在同一个双缝干涉实验装置上做实验，a光的干涉条纹间距大于b光的干涉条纹间距
答案 ABD
解析 由题图知，从玻璃砖射出时，入射角相同，a光的折射角大于b光的折射角，玻璃砖对a光的折射率大于对b光的折射率，a光在玻璃中的传播速度比b光的小，a光的频率比b光的大，在真空中，a光的波长较短，a光形成的干涉条纹间距较小，A、B正确，C、E错误；a光的全反射临界角较小，当入射角θ增大时，a光先发生全反射，折射光线先消失，D正确。
15．以往，已知材料的折射率都为正值(n>0)。现已有针对某些电磁波设计制作的人工材料，其折射率可以为负值(n<0)，称为负折射率材料。位于空气中的这类材料，入射角i与折射角r依然满足＝n，但是折射光线与入射光线位于法线的同一侧(此时折射角取负值)。现空气中有一上下表面平行的负折射率材料，一束电磁波从其上表面射入，下表面射出。若该材料对此电磁波的折射率n＝－1，正确反映电磁波穿过该材料的传播路径的示意图是( )
答案 B
解析 折射光线与入射光线应位于法线的同一侧，故A、D错误。因为材料的折射率n＝－1，故在电磁波由空气进入介质时，sini＝－sinr，得i＝－r，则C错误。故选B。
16. 如图，一束白光沿半径方向从A点射入半圆形玻璃砖，在O点发生反射和折射，折射光照在光屏上，a、b为折射光的上下边界，c为反射光。若入射点由A向B缓慢移动，并保持白光沿半径方向入射到O点，可以观察到各色光在光屏上陆续消失，在光带未完全消失之前，下列说法正确的是( )
A．c光逐渐变暗
B．a、b光带逐渐变亮
C．a光与b光相比，a光先消失
D．单色光a通过玻璃砖所需的时间小于单色光b通过玻璃砖所需的时间
答案 D
解析 在光带未完全消失之前，折射光线的强度减弱，反射光线的强度加强，A、B错误；a光与b光相比，b光偏折的程度大，其折射率大，临界角小，故b光先消失，C错误；a光折射率小，由n＝，知单色光a在玻璃砖中的速度大，通过玻璃砖所需的时间短，D正确。
题组二 高考小题
17．(2019·天津高考)右图为a、b、c三种光在同一光电效应装置中测得的光电流和电压的关系。由a、b、c组成的复色光通过三棱镜时，下述光路图中正确的是( )
答案 C
解析 由爱因斯坦光电效应方程Ek＝hν－W0和动能定理－eUc＝0－Ek得ν＝＋，知遏止电压大，则光的频率大，故νb>νc>νa，由于光的频率越大，折射率越大，光的偏折角度越大，故C正确，A、B、D错误。
18．(2017·北京高考)如图所示，一束可见光穿过平行玻璃砖后，变为a、b两束单色光。如果光束b是蓝光，则光束a可能是( )
A．红光 B．黄光
C．绿光 D．紫光
答案 D
解析 解法一：光的偏折程度大，则折射率大；光的频率越大，折射率也越大。题中a光的折射率大于b光的折射率，则a光的频率大于b光的频率，只有选项D正确。
解法二：本题是单项选择，题中A、B、C项光的频率均比蓝光的小，只有D项光的频率比蓝光的大，可以直接判定D项正确。
题组三 模拟小题
19．(2019·天津河东一模)(多选)固定的半圆形玻璃砖的横截面如图，O点为圆心，OO′为直径MN的垂线。足够大的光屏PQ紧靠玻璃砖右侧且垂直于MN。由A、B两种单色光组成的一束光沿半径方向射向O点，入射光线与OO′夹角θ较小时，光屏NQ区域出现两个光斑，逐渐增大θ角，当θ＝α时，光屏NQ区域A光的光斑消失，继续增大θ角，当θ＝β时，光屏NQ区域B光的光斑消失，则( )
A．玻璃砖对A光的折射率比对B光的大
B．A光在玻璃砖中的传播速度比B光的大
C．α<θ<β时，光屏上只有1个光斑
D．β<θ<时，光屏上只有1个光斑
答案 AD
解析 因在θ角增大的过程中A光的光斑先消失，说明A光先发生全反射，所以玻璃砖对A光的折射率大于B光，A正确；由v＝可知折射率越大则在玻璃砖中的速度v越小，B错误；当α<θ<β时，A光发生全反射，光屏上只有反射光斑与B光的折射光斑，共2个光斑，C错误；当β<θ<时，A、B光均发生全反射，光屏上只剩下1个反射光斑，D正确。
20．(2019·武汉联考)(多选)如图所示，两束平行的黄光射向截面为正三角形的玻璃三棱镜ABC，已知该三棱镜对该黄光的折射率为，入射光与AB界面夹角为45°，光经三棱镜后到达与BC界面平行的光屏PQ上，下列说法中正确的是( )
A．两束黄光从BC边射出后仍是平行的
B．黄光经三棱镜折射后偏向角为30°
C．改用红光以相同的角度入射，出射光束仍然平行，但其偏向角大些
D．改用绿光以相同的角度入射，出射光束仍然平行，但其偏向角大些
E．若让入射角增大，则出射光束不平行
答案 ABD
解析 作出光路图如图，由折射率公式n＝可知r＝30°，由几何关系可知折射光在三棱镜内平行于底边AC，由对称性可知其在BC边射出时的出射角也为i＝45°，因此光束的偏向角为30°，则A、B正确；由于同种材料对不同的色光的折射率不同，相对于黄光而言红光的折射率小，绿光的折射率较大，因此折射后绿光的偏向角大些，红光的偏向角小些，C错误，D正确；若让入射角增大，折射角按一定的比例增大，出射光束仍然平行，则E错误。
21．(2019·鞍山模拟)(多选)ABCDE为单反照相机取景器中五棱镜的一个截面示意图，AB⊥BC，由a、b两种单色光组成的细光束从空气垂直于AB射入棱镜，经两次反射后光线垂直于BC射出，且在CD、AE边只有a光射出，光路图如图所示，则a、b两束光( )
A．a光的频率比b光的频率小
B．在真空中，a光的传播速度比b光的大
C．在棱镜内，a光的传播速度比b光的大
D．以相同的入射角从空气斜射入水中，b光的折射角较小
E．分别通过同一双缝干涉装置，a光的相邻亮条纹间距小
答案 ACD
解析 所有光在真空中有相同的速度，B错误；由图知，在CD界面上，以相同的入射角入射的a、b两种光，a光发生了折射，b光发生了全反射，说明b光的折射率比a光的大，折射率越大，频率越大，所以a光的频率比b光的小，A正确；由公式v＝，在棱镜内a光的传播速度比b光的大，C正确；由折射率n＝，可知以相同的入射角从空气斜射入水中，b光的折射角较小，D正确；折射率小的光波长大，通过同一双缝干涉装置，根据公式Δx＝λ，可知a光的相邻亮条纹间距大，E错误。
题组一 基础大题
22．如图所示，某同学用“插针法”测定一块两面不平行的玻璃砖的折射率，以下是几个主要操作步骤：
a．在平木板上固定白纸，将玻璃砖放在白纸上；
b．用笔沿玻璃砖的边缘画界面AA′和BB′(如图甲所示)；
c．在AA′上方竖直插针P1、P2；
d．在BB′下方竖直插针P3、P4，使P1、P2、P3、P4在一条直线上，如图甲。
(1)以上步骤有错误的是________(填步骤的字母代号)。
(2)改正了错误操作并进行正确的操作和作图后，该同学作出的光路图如图乙所示，其中P1P2垂直于AA′，测量出了θ、β的角度，则该玻璃砖的折射率n＝________。
答案 (1)b、d (2)
解析 (1)用“插针法”测定玻璃砖的折射率实验中，不能用玻璃砖的光学面边界代替直尺，因为可能会损坏玻璃砖的光学界面，故b步骤错误；确定P3、P4的位置时应透过玻璃砖观察，使P3挡住P1、P2的像，P4挡住P3及P1、P2的像，而不是使P1、P2、P3、P4在一条直线上，d步骤错误。
(2)由题图乙易得，n＝＝＝。
23．如图所示，一束截面为圆形(半径为R)的平行白色光垂直射向一玻璃半球的平面，经折射后在屏幕S上形成一个圆形彩色亮区。已知玻璃半球的半径为R，屏幕S至球心的距离为D(D>3R)，不考虑光的干涉和衍射，试问：
(1)在屏幕S上形成的圆形亮区的最外侧是什么颜色？
(2)若玻璃半球对(1)中色光的折射率为n，请你求出圆形亮区的最大半径。
答案 (1)紫色 (2)D －nR
解析 (1)当平行光从玻璃中射向空气时，由于紫光的折射率最大，则临界角最小，因此紫光的出射光线与屏幕的交点最远，故圆形亮区的最外侧是紫色。
(2)如图所示，紫光刚要发生全反射时的临界光线射在屏幕S上的F点到亮区中心E的距离r就是所求最大半径。设紫光的临界角为C，
由全反射的知识：sinC＝。
所以cosC＝，tanC＝，
OB＝＝，r＝＝D －nR。
24. 如图所示，在注满水的游泳池的池底有一点光源A，它到池边的水平距离为3.0 m。从点光源A射向池边的光线AB与竖直方向的夹角恰好等于全反射的临界角，水的折射率为。
(1)求池内的水深；
(2)一救生员坐在离池边不远处的高凳上，他的眼睛到池面的高度为2.0 m。当他看到正前下方的点光源A时，他的眼睛所接受的光线与竖直方向的夹角恰好为45°。求救生员的眼睛到池边的水平距离(结果保留一位有效数字)。
答案 (1)2.6 m (2)0.7 m
解析 (1)如图所示，设到达池边的光线的入射角为i。依题意，水的折射率n＝，此条光线的折射角θ＝90°。
由折射定律有n＝①
由几何关系有
sini＝②
式中，l＝3.0 m，h是池内水的深度。
联立①②式并代入题给数据得h＝ m≈2.6 m。③
(2)设救生员的眼睛到池边的水平距离为x。依题意，救生员的视线与竖直方向的夹角为θ′＝45°。
由折射定律有n＝④
式中，i′是光线在水面的入射角。设池底点光源A到水面入射点的水平距离为a。由几何关系有
sini′＝⑤
x＋l＝a＋h′⑥
式中h′＝2.0 m。
联立③④⑤⑥式得x＝ m≈0.7 m。
25. 如图，玻璃球冠的折射率为，其底面镀银，底面的半径是球半径的倍；在过球心O且垂直于底面的平面(纸面)内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点。求该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角。
答案 150°
解析 设球半径为R，球冠底面中心为O′，连接OO′，则OO′⊥AB。
令∠OAO′＝α，有cosα＝＝＝①
即α＝30°②
由题意MA⊥AB
所以∠OAM＝60°③
设图中N点为光线在球冠内底面上的反射点，光线的光路图如图所示。设光线在M点的入射角为i、折射角为r，在N点的入射角为i′，反射角为i″，玻璃的折射率为n。由于△OAM为等边三角形，有i＝60°④
由折射定律有sini＝nsinr⑤
代入题给条件n＝得r＝30°⑥
作底面在N点的法线NE，由于NE∥AM，有
i′＝30°⑦
根据反射定律，有i″＝30°⑧
连接ON，由几何关系知△MAN≌△MON，故有∠MNO＝60°⑨
由⑦⑨式得∠ENO＝30°⑩
于是∠ENO为反射角，ON为反射光线，这一反射光线经球面再次折射后不改变方向。所以，经一次反射后射出玻璃球冠的光线相对于入射光线的偏角β为
β＝180°－∠ENO＝150°。
26. 一赛艇停在平静的水面上，赛艇前端有一标记P离水面的高度为h1＝0.6 m，尾部下端Q略高于水面，赛艇正前方离赛艇前端s1＝0.8 m处有一浮标，示意图如图。一潜水员在浮标前方s2＝3.0 m处下潜到深度为h2处时，看到标记P刚好被浮标挡住，此处看不到船尾端Q，继续下潜Δh＝2.0 m，恰好能看见Q(已知水的折射率n＝)。求：
(1)深度h2；
(2)赛艇的长度l。(可用根式表示)
答案 (1)4 m (2)( －3.8 m)
解析 (1)设过P点光线恰好被浮标挡住时，入射角、折射角分别为α、β，如图，则sinα＝①
sinβ＝②
水的折射率为n＝③
联立①②③式，并代入数据解得h2＝4 m。④
(2)潜水员恰好能看见Q时，潜水员和Q点连线与竖直方向的法线夹角刚好为临界角C，则sinC＝＝⑤
又由几何知识得tanC＝⑥
联立④⑤⑥式，并代入数据解得(l＝－3.8) m。
27．如图所示，一半径为R的圆柱形玻璃砖放置在水平地面上，一束由红光和紫光组成的细光束从玻璃砖的A点水平射入，最后在玻璃砖右侧的地面上形成两个光点。已知OA＝，该玻璃砖对红光的折射率为，对紫光的折射率为，求地面上两个光点之间的距离。
答案 R
解析 因为OO′＝R，OA＝，所以∠AO′O＝30°，∠OO′B＝60°
设红光折射后的折射角为β，由折射定律得＝
解得β＝45°，由几何关系得∠BO′D＝75°
设紫光折射后的折射角为α，由折射定律得＝
解得α＝60°
由几何关系得∠BO′C＝60°
由几何知识可得BC＝tan60°＝R，BD＝tan75°＝R
两个光点间的距离为CD＝BD－BC＝R。
28. 如图所示，某种材料制成的扇形透明砖放置在水平桌面上，光源S发出一束平行于桌面的光线从OA的中点垂直射入透明砖，恰好经过两次全反射后，垂直OB射出，并再次经过光源S，已知光在真空中传播的速率为c，求：
(1)材料的折射率n；
(2)该过程中，光在空气中传播的时间与光在材料中传播的时间之比。
答案 (1)2 (2)1∶4
解析 (1)光路如图所示，
O＝，故sinC＝＝
而sinC＝
所以该材料的折射率n＝2。
(2)光在空气中传播的路程s1＝2
由几何关系知∠OSF＝30°
所以s1＝Rcos30°×2＝R×2＝R，
则光在空气中传播的时间为：t1＝＝
光在介质中传播的路程s2＝4＝2s1＝2R，
则光在材料中传播的时间为：t2＝＝＝
则光在空气中传播的时间与在材料中传播的时间之比为：t1∶t2＝1∶4。
题组二 高考大题
29. (2018·全国卷Ⅰ)如图，△ABC为一玻璃三棱镜的横截面，∠A＝30°。一束红光垂直AB边射入，从AC边上的D点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为________。若改用蓝光沿同一路径入射，则光线在D点射出时的折射角________(填“小于”“等于”或“大于”)60°。
答案 大于
解析 由光路可逆性，根据题述和图示可知，i＝60°，r＝30°，由折射定律，玻璃对红光的折射率n＝＝。若改用蓝光沿同一路径入射，由于玻璃对蓝光的折射率大于玻璃对红光的折射率，则光线在D点射出时的折射角大于60°。
30．(2019·天津高考)某小组做测定玻璃的折射率实验，所用器材有：玻璃砖，大头针，刻度尺，圆规，笔，白纸。
(1)下列哪些措施能够提高实验准确程度________。
A．选用两光学表面间距大的玻璃砖
B．选用两光学表面平行的玻璃砖
C．选用粗的大头针完成实验
D．插在玻璃砖同侧的两枚大头针间的距离尽量大些
(2)该小组用同一套器材完成了四次实验，记录的玻璃砖界线和四个大头针扎下的孔洞如下图所示，其中实验操作正确的是________。
(3)该小组选取了操作正确的实验记录，在白纸上画出光线的径迹，以入射点O为圆心作圆，与入射光线、折射光线分别交于A、B点，再过A、B点作法线NN′的垂线，垂足分别为C、D点，如图所示，则玻璃的折射率n＝________。(用图中线段的字母表示)
答案 (1)AD (2)D (3)
解析 (1)测定玻璃折射率的关键是根据入射光线和出射光线确定在玻璃中的传播光线，因此选用光学表面间距大的玻璃砖以及使同侧两枚大头针间的距离尽量大些都有利于提高实验的准确程度，A、D正确；两光学表面是否平行不影响折射率的测量，为减小误差，应选用细长的大头针，故B、C错误。
(2)两光学表面平行的玻璃砖的入射光线与出射光线平行，在空气中的入射角大于玻璃中的折射角，在题图中，根据玻璃砖界线及四个孔洞位置分别作出光路图及法线，如图1所示分析可知实验操作正确的是D。
(3)如图2所示，玻璃的折射率n＝，又sini＝，sinr＝，故n＝。
31．(2019·全国卷Ⅰ)如图，一艘帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m。距水面4 m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53°(取sin53°＝0.8)。已知水的折射率为。
(1)求桅杆到P点的水平距离；
(2)船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，从水面射出后仍照射在桅杆顶端，求船行驶的距离。
答案 (1)7 m (2)5.5 m
解析 (1)设光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1，到P点的水平距离为x2；桅杆高度为h1，P点处水深为h2；激光束在水中与竖直方向的夹角为θ。由几何关系有
＝tan53°①
＝tanθ②
由折射定律有sin53°＝nsinθ③
设桅杆到P点的水平距离为x，则
x＝x1＋x2④
联立①②③④式并代入题给数据得
x＝7 m⑤
(2)设激光束在水中与竖直方向的夹角为45°时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为i′，由折射定律有sini′＝nsin45°⑥
设船向左行驶的距离为x′，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1′，到P点的水平距离为x2′，则x1′＋x2′＝x′＋x⑦
＝tani′⑧
＝tan45°⑨
联立⑤⑥⑦⑧⑨式并代入题给数据得x′＝(6－3) m≈5.5 m。
32．(2019·全国卷Ⅲ)如图，直角三角形ABC为一棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝30°。一束光线平行于底边BC射到AB边上并进入棱镜，然后垂直于AC边射出。
(1)求棱镜的折射率；
(2)保持AB边上的入射点不变，逐渐减小入射角，直到BC边上恰好有光线射出。求此时AB边上入射角的正弦。
答案 (1) (2)
解析 (1)光路图及相关量如图所示。
光束在AB边上折射，由折射定律得
＝n①
式中n是棱镜的折射率。由几何关系可知
α＋β＝60°②
由几何关系和反射定律得
β＝β′＝∠B③
联立①②③式，并代入i＝60°得
n＝④
(2)设改变后的入射角为i′，折射角为α′，由折射定律得
＝n⑤
依题意，光束在BC边上的入射角为全反射的临界角θc，且sinθc＝⑥
由几何关系得
θc＝α′＋30°⑦
由④⑤⑥⑦式得此时AB边上入射角的正弦为
sini′＝。
33．(2019·江苏高考)如图所示，某L形透明材料的折射率n＝2。现沿AB方向切去一角，AB与水平方向的夹角为θ。为使水平方向的光线射到AB面时不会射入空气，求θ的最大值。
答案 60°
解析 光线射到AB面时不射入空气中，则在AB面发生全反射。当恰好发生全反射时，入射角为临界角C，此时θ最大，sinC＝，由几何关系得C＋θm＝90°，解得θm＝60°。
34. (2018·全国卷Ⅱ)如图，△ABC是一直角三棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝60°，一细光束从BC边的D点折射后，射到AC边的E点，发生全反射后经AB边的F点射出。EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中点。不计多次反射。
(1)求出射光相对于D点的入射光的偏角；
(2)为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？
答案 (1)60° (2)≤n<2
解析 (1)光线在BC面上折射，由折射定律有
sini1＝nsinr1①
式中，n为棱镜的折射率，i1和r1分别是该光线在BC面上的入射角和折射角。
光线在AC面上发生全反射，由反射定律有i2＝r2②
式中i2和r2分别是该光线在AC面上的入射角和反射角。
光线在AB面上发生折射，由折射定律有nsini3＝sinr3③
式中i3和r3分别是该光线在AB面上的入射角和折射角。由几何关系得
i2＝r2＝60°，r1＝i3＝30°④
F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为
δ＝(r1－i1)＋(180°－i2－r2)＋(r3－i3)⑤
由①②③④⑤式得δ＝60°⑥
(2)光线在AC面上发生全反射，光线在AB面上不发生全反射，有
nsini2≥nsinC>nsini3⑦
式中C是全反射临界角，满足nsinC＝1⑧
由④⑦⑧式知，棱镜的折射率n的取值范围应为
≤n<2。
35．(2018·全国卷Ⅲ)如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O点)，然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC边上。D位于AB边上，过D点作AC边的垂线交AC于F。该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察，恰好可以看到小标记的像；过O点作AB边的垂线交直线DF于E；DE＝2 cm，EF＝1 cm。求三棱镜的折射率。(不考虑光线在三棱镜中的反射)
答案
解析 过D点作AB边的垂线NN′，连接OD，则∠ODN＝α为来自O点的光线在D点的入射角；设该光线在D点的折射角为β，如图所示。
根据折射定律有nsinα＝sinβ①
式中n为三棱镜的折射率
由几何关系可知β＝60°②
∠EOF＝30°③
在△OEF中有EF＝OEsin∠EOF④
由③④式和题给条件得OE＝2 cm⑤
根据题给条件可知，△OED为等腰三角形，有α＝30°⑥
由①②⑥式得n＝。
36．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0.6R。已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)。求该玻璃的折射率。
答案 1.43
解析 如图所示，根据光路的对称性和光路可逆性，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C点反射。
设光线在半球面的入射角为i，折射角为r。由折射定律有
sini＝nsinr①
由正弦定理有
＝②
由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i。由题设条件和几何关系有
sini＝③
式中L是入射光线与OC的距离。由②③式和题给数据得
sinr＝④
由①③④式和题给数据得
n＝≈1.43⑤
37．(2017·全国卷Ⅱ)一只桶状容器的高为2l，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示。容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料。在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率。
答案 1.55
解析 设从光源发出直接射到D点的光线的入射角为i1，折射角为r1。在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C，连接C、D，交反光壁于E点，由光源射向E点的光线，反射后沿ED射向D点。光线在D点的入射角为i2，折射角为r2，如图所示。
设液体的折射率为n，由折射定律有nsini1＝sinr1①
nsini2＝sinr2②
由题意知r1＋r2＝90°③
联立①②③式得n2＝④
由几何关系可知sini1＝＝⑤
sini2＝＝⑥
联立④⑤⑥式得n≈1.55⑦
38. (2017·全国卷Ⅲ)如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴(过球心O与半球底面垂直的直线)。已知玻璃的折射率为1.5。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线)。求：
(1)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；
(2)距光轴的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离。
答案 (1)R (2)2.74R
解析 (1)如图，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角ic时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l。
i＝ic①
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有nsinic＝1②
由几何关系有
sini＝③
联立①②③式并利用题给条件，得
l＝R④
(2)设与光轴相距的光线在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i1和r1，由折射定律有
nsini1＝sinr1⑤
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有＝⑥
由几何关系有
∠C＝r1－i1⑦
sini1＝⑧
联立⑤⑥⑦⑧式及题给条件得
OC＝R≈2.74R⑨
题组三 模拟大题
39．(2019·四川乐山调研)如图所示，在MN的下方足够大的空间是玻璃介质，其折射率n＝，玻璃介质的上边界MN是屏幕，玻璃中有一个正三棱柱形空气泡，其横截面边长l＝40 cm，顶点与屏幕接触于C点，底边AB与屏幕平行，一束激光a垂直于AB边射向AC边的中点O，结果在屏幕MN上出现两个光斑。
(1)求两个光斑之间的距离x；
(2)若任意两束相同的激光同时垂直于AB边向上射入空气泡，求屏幕上相距最远的两个光斑之间的距离L。
答案 (1)40 cm (2)80 cm
解析 (1)画出光路图如图1所示。在界面AC，入射角i＝60°，n＝，由折射定律有n＝
解得折射角r＝30°
由光的反射定律得反射角θ＝60°
由几何关系得，△ODC是边长为的正三角形，△OEC为等腰三角形，且CE＝OC＝，则两个光斑之间的距离x＝DC＋CE＝l＝40 cm。
(2)作出入射点在A、B两点时的光线的光路图如图2所示，由图可得屏幕上相距最远的两个光斑之间的距离L＝PQ＝2l＝80 cm。
40．(2019·山东淄博一模)某种透明材料制成的空心球体外径是内径的2倍，其过球心的某截面(纸面内)如图所示。一束单色光(在纸面内)从外球面上的A点入射，入射角为45°时，光束经折射后恰好与内球面相切。
(1)求该透明材料的折射率；
(2)欲使光束从A点入射后，恰好在内球面上发生全反射，则应将入射角变为多少度？
答案 (1) (2)30°
解析 (1)作光路图如图甲，设光束经折射后到达内球面上的B点，由题意知，入射角i＝45°，折射角r＝∠BAO
由几何关系有：sinr＝＝0.5
由折射定律有：n＝
代入数据解得：n＝。
(2)作光路图如图乙，设在A点的入射角为i′时，光束经折射后到达内球面上的C点，并在C点恰好发生全反射，则光束在内球面上的入射角∠ACD等于临界角C。
由sinC＝
代入数据得：∠ACD＝C＝45°
由正弦定理有＝
AO＝2R，CO＝R，∠ACO＝180°－∠ACD，
解得：sin∠CAO＝＝
由折射定律有：n＝
解得：sini′＝0.5，即此时的入射角i′＝30°。
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