高三数学 导数专题复习 二十四 函数与导数综合大题高考真题演练

专题二十四 函数与导数综合答题高考真题演练

【高考真题再现】
例1 【2014江苏高考】（满分16分）已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）证明：是上的偶函数；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，，当时，，当时，．
【解析】
，，∵，∴（时等号成立），即，，所以．
（3）由题意，不等式在上有解，由得，记，，显然，当时，（因为），故函数在上增函数，，于是在上有解，等价于，即．考察函数，，当时，，当时，，当时，即在上是增函数，在上是减函数，又，，，所以当时，，即，，当时，，，即，，因此当时，，当时，，当时，．
例2 【2015江苏高考】已知函数.
（1）试讨论的单调性；
（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a
的取值范围恰好是，求c的值.
【答案】（1）当时， 在上单调递增；
当时， 在，上单调递增，在上单调递减；
当时， 在，上单调递增，在上单调递减．
（2）
【解析】
当时且当时，因此确定，然后再利用函数因式分解验证满足题意
试题解析：（1），令，解得，．
当时，因为（），所以函数在上单调递增；
当时，时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知，函数的两个极值为，，则函数有三个[来源:学科网]
零点等价于，从而或．
又，所以当时，或当时，．
设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是
，则在上，且在上均恒成立，
从而，且，因此．
此时，，
因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，
所以，且，
解得．
综上． 学科@网
例3 【2016江苏高考】已知函数.
（1）设.
①求方程=2的根；
②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；
（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.
【答案】（1）①0 ②4 （2）1
【解析】

试题解析：（1）因为，所以.
①方程，即，亦即，
所以，于是，解得.
②由条件知.
因为对于恒成立，且，
所以对于恒成立.
而，且，
所以，故实数的最大值为4.
（2）因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点.
因为，又由知，
所以有唯一解.
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数，
于是当，；当时，.
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.
下证.
若，则，于是，
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.
若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.
因此，.
于是，故，所以.
【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点
【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.

【热点深度剖析】
1. 从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的性质问题已成为炙手可热的考点，与导数知识相比，导数方法更显重要，它比初等数学的方法刻画更精细、计算更快捷、运用更广泛，所以高考真正重视的是对导数方法的考查．预测2017年高考仍将以利用导数研究函数的性质为主要考向．
2. 在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下
（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.
（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.
（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.
4.预计17年函数依然是考查重点，必考大题，只不过函数题可以有初等方法或导数方法两种思路的区别.也可以在同一解中，初等方法和导数方法交替使用.
【重点知识整合】
导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即.
注意：在定义式中，设，则，当趋近于时，趋近于，因此，导数的定义式可写成
.
导数的几何意义：
导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度. 它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率.因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
注意：“过点的曲线的切线方程”与“在点处的切线方程”是不相同的，后者必为切点，前者未必是切点.
导数的物理意义：
函数在点处的导数就是物体的运动方程在点时刻的瞬时速度，即
4．几种常见函数的导数：(为常数)；()；
； ；； ； ； .
5.求导法则：
法则： ；
法则： , ；
法则： .
6.复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 或
7.导数与函数的单调性
函数在某个区间内有导数，如果，那么函数在这个区间上是增函数,该区间是函数的增区间；若，那么函数在这个区间上是减函数，该区间是函数的减区间.
2.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:
求;确定在内符号;
若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数
8. 导数与函数的极（最）值[来源:Z*xx*k.Com]
1.极大值： 一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.
2.极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.
3.极值：极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值可以不止一个.
（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>.
（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
4.当在点连续时，判别是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.
5.求可导函数的极值的步骤:
确定函数的定义区间，求导数；求方程的根；
用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .
9.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．
注意：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；
函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.
10.利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：
求在内的极值；
将的各极值与、比较得出函数在上的最值p.
【应试技巧点拨】
1.利用导数求切线问题中的“在”与“过”
在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A（x,y）是曲线上的一点，则以A为切点的切线方程为
y－y=f,再根据题意求出切点.
２．函数的导数在其单调性研究的作用：(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究．
(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论．[易错提示]　在利用“若函数单调递增，则”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”．
３．利用导数研究函数的极值与最值：(1)确定定义域．
(2)求导数．
(3)①若求极值，则先求方程的根，再检验在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)
②若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况，从而求解．
４．求函数在上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数在内的极值；[来源:学科网]
(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
５.利用导数处理恒成立问题[来源:Z§xx§k.Com]
不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：①为增函数（为减函数）.②在区间上是增函数≥在上恒成立；在区间上为减函数≤在上恒成立.
６.利用导数，如何解决函数与不等式大题
在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下
（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.
（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.
（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.
【考场经验分享】
1．利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题
(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．
(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．
(3)注意在某一区间内(或)是函数在该区间上为增(或减)函数的充分条件．
2．可导函数的极值
(1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．
(2)若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
3.如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”连接，只能用逗号或“和”字隔开，如把增区间写为“(－∞，－)∪(1，＋∞)”是不正确的，因为“(－∞，－)∪(1，＋∞)”不是一个区间，该函数在(－∞，－)∪(1，＋∞)上不是单调递增的．
４．利用导数解决不等式问题的类型：(1)不等式恒成立：基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题．
(2)比较两个数的大小：一般的解决思路是把两个函数作差后构造一个新函数，通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个函数的大小．
(3)证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决．
５.函数的解答题，一般放在最后一道题的位置，难度较大，尤其是第二问，与不等式联系，是拉开分数的试题，故关于此题，要端正好心态，对于第一问一般不难，是学生必须带分的部分，做题要仔细，特别是与单调区间有关，首先要考虑定义域，另外，求导要准确，这是基础；对于第二问，往往需要通过不等式等价转化，构造函数，通过求导研究函数的单调性最值，然后达到证明不等式的基本模式.
【名题精选练兵篇】
1．已知，其中.
（Ⅰ）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；
（Ⅱ）求的极值；
（Ⅲ）若函数有两个极值点， ，证明.
【答案】（Ⅰ）;
（Ⅱ）当时， 在时取到极小值， 没有极大值；
当时， 在时取到极大值，在时取到极小值；
当时， 没有极大值也没有极小值；当时， 在时取到极小值.
在时取到极大值.
（Ⅲ）见解析.

试卷解析：
（Ⅰ）当时， ， ，
所以切线的斜率，又直线过原点，所以，
由得， .
所以，故切线的方程为，即.
（Ⅱ）由 ，可得，
①当时 ， ， 在上单调递增，在上单调递减，
在时取到极小值，且， 没有极大值；
②当时 或， . 在， 上单调递增，
在上单调递减， 在时取到极大值，
且， 在时取到极小值，且；
③当时恒成立， 在上单调递增， 没有极大值也没有极小值；
④当时 或， ， 在， 上单调递增，
在上单调递减， 在时取到极小值，且. 在时取到极大值，且.
综上可得，当时， 在时取到极小值， 没有极大值；
当时， 在时取到极大值，在时取到极小值；
当时， 没有极大值也没有极小值；当时， 在时取到极小值.
在时取到极大值.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当且时， 有两个极值点， ，
且 .
所以 ，
设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
由且可得，所以 ，
即 .
点睛：本题考查导数的运用，利用导数研究函数的极值 ，利用导数研究曲线上某点切线方程，求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．
2．已知函数
(1)讨论函数的单凋性；
(2)若存在使得对任意的不等式（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）.

试题解析：
（I） ，记
（i）当时，因为，所以，函数在上单调递增；
（ii）当时，因为，
所以，函数在上单调递增；
（iii）当时，由，解得，
所以函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增．
（II）由（I）知当时，函数在区间上单调递增，
所以当时，函数的最大值是，对任意的，
都存在，使得不等式成立，
等价于对任意的，不等式都成立，
即对任意的，不等式都成立，
记，由，
，
由得或,因为，所以，
①当时， ，且时， ，
时， ，所以，
所以时， 恒成立；
②当时， ，因为，所以，
此时单调递增，且，
所以时， 成立；
③当时， ， ，
所以存在使得，因此不恒成立．
综上， 的取值范围是．
另解（II）由（Ⅰ）知，当时，函数在区间上单调递增，
所以时，函数的最大值是，
对任意的，都存在，
使得不等式成立，
等价于对任意的，不等式都成立，
即对任意的，不等式都成立，
记，
由，且
∴对任意的，不等式都成立的必要条件为
又，
由得或
因为，所以，
当时， ，且时， ，
时， ，所以，
所以时， 恒成立；
②当时， ，因为，所以，
此时单调递增，且，
所以时， 成立．
综上， 的取值范围是．
3．已知函数是自然对数的底数 ）.
（1）当是，求证： ；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）
定义得及极大值再利用导数研究函数单调性，根据单调性解不等式得，进而得到的取值范围.
试题解析：（Ⅰ） ，
.得：
且在上单增，在上单减

（Ⅱ）
故等价于在上有唯一极大值点

得：
故
令
，则[来源:学科网ZXXK]
又在上单增，由，得
综上，
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 学科@网
4．已知函数， ，
（1）当，求的最小值，
（2）当时，若存在，使得对任意， 成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2） .

当时， 在上 ，
当 时， 在上 ， ，
当时， 在上， 上 ，
，
（2）已知等价于 ，
由（1）知时在上 ，
而 ，
当， ，
所以 ，
所以实数的取值范围是 .
点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两个问题，旨在考查导数的知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先对函数的解析式求导，再推断其值的符号，进而分类求出其最小值；解答第二问时，先将问题 转化为： ，然后再借助导数知识及（1）的结论建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解。
5．已知函数.
（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递增区间；
（2）若方程有两个不相等的实数解，证明： .
【答案】（Ⅰ）和（Ⅱ）见解析

试题解析：
（Ⅰ）. 得： ，
，得：
即的单调减区间为和
（Ⅱ）由

，只要证
只需证，不妨设
即证，
只需证，
则在上单调递增， ，即证
6．设函数，其中， 是自然对数的底数.
（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若，证明： .
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

（Ⅰ）， 是上的增函数等价于恒成立.
令，得，令（）.以下只需求的最大值.
求导得，
令， ， 是上的减函数，
又，故1是的唯一零点，
当， ， ， 递增；当， ， ， 递减；
故当时， 取得极大值且为最大值，
所以，即的取值范围是.
（Ⅱ） .
令（），以下证明当时， 的最小值大于0.
求导得 .
①当时， ， ；
②当时， ，令，
则 ，又 ，
取且使，即，则 ，
因为，故存在唯一零点，
即有唯一的极值点且为极小值点，又，
且，即，故，
因为，故是上的减函数.
所以 ，所以.
综上，当时，总有.
点睛：本题主要考查导数与单调性的关系及恒成立问题，考查利用导数证明不等式的方法，考查化归与转化的数学思想方法.第一问由于已知函数在区间上单调递增，故其导函数在这个区间上恒为非负数，若函数在区间上单调递减，则其导函数在这个区间上恒为非正数.分离常数后可求得的取值范围. 学科@网
7．已知函数，其中， ， 是自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设函数，证明： .
【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（2）见解析.
别利用导数研究函数最值： 的最小值为 ， 的最小值为
试题解析：（Ⅰ）

（1）当时， ，当， ；当， ；
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，令，得，
由得，由得或，
所以在， 上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，令， ，故在上递增.
（4）当时，令，得，
由得，由得或，
所以在， 上单调递增，在上单调递减.
综上，当时， 在上单调递减，在上单调递增.
当时， 在， 上单调递增，在上单调递减.
当时， 在上递增.
当时， 在， 上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ） ①且②
先证①：令，则，
当， ， 单调递减；当， ， 单调递增；
所以 ，故①成立！
再证②：由（Ⅰ），当时， 在上单调递减，在上单调递增，
所以 ，故②成立！
综上， 恒成立.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
8．已知函数．
（Ⅰ）证明曲线上任意一点处的切线斜率不小于2；
（Ⅱ）设，若有两个极值点，且，证明： ．
【答案】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)见解析
单调性，可证结论.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以切线斜率，当且仅当时取得等号；
（Ⅱ） ，
，
当时， ，
函数在上递增，无极值．
当时， ，
由得， ，设两根为，则，
其中，
在上递增，在上递减，在上递增，
从而有两个极值点，且，

，
即，
构造函数， ，
所以在上单调递减， 且．故．
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
9．已知函数， .
（1）证明： ，直线都不是曲线的切线；
（2）若，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）若直线与曲线相切，因直线过定点，若设切点则可得①，又， 上单调递增，当且仅当时，①成立，这与矛盾,结论得证.
若直线与曲线相切于点（且），则，即①，设， ，则，所以在上单调递增，又，从而当且仅当时，①成立，这与矛盾.
所以， ，直线都不是曲线的切线；
（2）即，令， ，
则，使成立，
.
（i）当时， ， 在上为减函数，于是，由得，满足，所以符合题意；
（ii）当时，由及的单调性知在上为增函数，所以，即.
①若，即，则，所以在为增函数，于是，不合题意；
②若，即，则由， 及的单调性知存在唯一，使，且当时， ， 为减函数；当时， ， 为增函数；
所以，由得，这与矛盾，不合题意.
综上可知， 的取值范围是.
10．已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时， 恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）当 时，研究函数的零点个数；
（Ⅲ）求证： (参考数据： )．
【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)当时无零点；当时有一个公共点. (Ⅲ)见解析.

(Ⅰ)令则
①若，则， ， 在递增， ，即在 恒成立，满足，所以；
②若， 在递增， 且
且时， ，则使进而在递减，在递增，
所以当时，即当时， ，不满足题意，舍去；
综合①，②知的取值范围为.
(Ⅱ)依题意得，则，
则在上恒成立，故在递增，
所以，且时， ；
若，即，则，故在递减，所以，
在无零点；②若，即，则使，进而在递减，在递增， 且时， ， 在上有一个零点，在无零点，故在有一个零点.
综合①②，当时无零点；当时有一个公共点.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当时， 对恒成立，
令，则 即；
由(Ⅱ)知，当时， 对恒成立，
令，则，所以；
故有.
点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了三个问题，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先构造函数借助导数知识运用分类整合思想分析探求出参数的取值范围；解答第二问时，构造函数运用导数求导法则对函数求导，再结合导数与函数的单调性的关系研究函数的图像变化情况，进而确定函数的零点的个数；解答第三问时充分借助（1）、（2）的结论，巧妙地运用缩放的方法进行分析推证，从而使得问题获解。 学科@网
11．已知函数在处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）

试题解析：
（1），
所以且， 解得，
（2）由（1）与题意知对任意的恒成立，
设，则，
令，则，
所以函数为上的增函数.
因为，

所以函数在上有唯一零点，即有成立，
所以
故当时， ，即；当时， ，即
所以函数在上单调递减，在上单调递增
所以
所以，因为，所以，又因
所以最大值为
点睛：本题主要考查导数与切线的对应关系，考查利用函数导数求解不等式恒成立问题，考查分离常数法和二阶导数的应用.第一问考查与切线有关的问题，关键在于切点和斜率，利用切点和斜率建立方程组，解方程组可求得的值.在第二问在分离常数且求导后，发现无法写出单调区间，故需要利用二阶导数来解决.
12．已知函数的图象的一条切线为轴．　
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）令，若不相等的两个实数， 满足，求证： ．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

设切点坐标为，由题意得
解得
（Ⅱ），令，
则，当时， ， ，
又可以写成，当时， ， ．
因此在上大于0， 在上单调递增，又，
因此在上小于0，在上大于0，
且在上单调递减，在上单调递增， ．
当时， ，
记，
记函数的导函数为，则
，
故在上单调递增，
所以，所以，
不妨设，则，
而， ，有单调性知，即．
点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两道问题，旨在考查导数工具在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。解答本题的第一问时，先对函数求导，再借助导数的几何意义建立方程组，通过解方程组使得问题获解；求解第二问时，先将问题进行转化，再构造函数，然后运用导数的求导法则对其进行求导，再借助导数与函数的单调性之间的关系分析推证，最终使得问题获证。学科#网
13．已知函数，其中实数．
（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）是函数的极值点；（Ⅱ） .[来源:学科网]
上单调递增，所以，所以不等式不能恒成立.
试题解析:（Ⅰ）由可得函数定义域为．
，
令，经验证，
因为，所以的判别式，
由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，
所以是的异号零点，
所以是函数的极值点．
（Ⅱ）已知，
因为，
又因为，所以，
所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；
当时，在区间上，所以函数单调递增，
所以，所以不等式不能恒成立；
所以时，有在区间恒成立．
点睛:本题考查学生的是导数在单调性以及恒成立问题的应用,属于中档题目. 导数与极值点的关系：(1)定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；(2)函数f(x)在点x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y＝|x|，结合图象，知它在x＝0处有极小值，但它在x＝0处的导数不存在；(3)f′(x0)＝0既不是函数f(x)在x＝x0处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后提醒学生一定要注意对极值点进行检验．
14．已知函数．　
（Ⅰ）若在定义域与内单调递增，求实数的值；
（Ⅱ）若的极小值大于0，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

试题解析:（Ⅰ）依题意可知，令，可得， ．
若，则在， 之间存在一个区间，使得，不满足题意．
因此，即．
（Ⅱ）当时，若，则在上小于0，在上大于0，
若，则在上小于0，在上大于0，
因此是极小值点， ，解得．
当时， 在上小于0，在上大于0，
因此是极小值点， ，解得．
当时， 没有极小值点，不符合题意．
综上可得．[来源:学|科|网]
15．已知函数.
（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
，最后解不等式可得实数的取值范围.
试题解析：（1）因为，
由或,由，
所以在上单调递增，在上单调递减，
欲使在上为单调函数，则.
（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
故当或时，方程在上不可能有三个不等实根，
所以,且.
当,且时，方程在上有三个不等实根，
只需满足即可.
因为，且，
因而，
所以，即，
综上所述，当,且时，满足题意，此时实数的取值范围是.
16．设函数， = .
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数有两个零点.
(1)求满足条件的最小正整数的值；
(2)求证： .
【答案】（Ⅰ）的单调增区间为，单调减区间为；
（Ⅱ）（1）3；（2）见解析.
【解析】试题分析：

（Ⅱ）(1)求得，由有两个零点得， 的最小值为，且， 由此可得，由函数是增函数，通过估值可得最小正整数的值；（2）证明，设，由，可把用表示，不等式中的可替换，然后变形为的不等式，设，则，只要证相应地关于的不等式在上成立，这又可用导数研究相应的函数得出．
试题解析：
（Ⅰ）．
当时， 在上恒成立，所以函数单调递增区间为，
此时 无单调减区间．
当时，由，得， ，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
（Ⅱ）（1）．
因为函数有两个零点，所以，此时函数在单调递增， 在单调递减.
所以的最小值，即.
因为，所以.
令，显然在上为增函数，且
，所以存在.
当时， ；当时， ，所以满足条件的最小正整数.
又当时， ，所以时， 有两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数的值为3.
（2）证明 ：不妨设，于是
即，[来源:Z#xx#k.Com]
．
所以.
因为，当时， ，当时， ，
故只要证＞即可，即证明，
即证，
也就是证.
设．
令，则.
因为，所以，
当且仅当时， ，
所以在上是增函数．
又，所以当总成立,所以原题得证．
点睛：函数（含有参数）有两个零点，证明不等式的基本方法是：第一步，由，把用表示，这样不等式就转化为不含参数的不等式；
第二步，不等式再变形为关于的不等式，然后换元，设， ，上述不等式转化为关于的不等式；
第三步，用导数研究函数的单调性、最值，完成证明．
17．已知函数， 为实常数．
(Ⅰ)设，当时，求函数的单调区间；
(Ⅱ)当时，直线、与函数、的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．
求证： ．
【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间；(2)证明见解析．
若 ，即一个根小于1，一个根大于1，即得结果.
试题解析：(Ⅰ) ，其定义域为
而，
当时， ，
故F(x)的单调递增区间为，无单调递减区间．
(Ⅱ)因为直线与平行，
故该四边形为平行四边形等价于且 ．
当时， ，
则．令
则 ，
故在上单调递增；
而，
故时单调递减； 时单调递增；
而，
故或0 < n <1< m，
所以．
【点睛】导数的第一问经常是求函数的单调区间，首先求导数，如果是分数形式，那一定要通分，一般定义域决定分母对导数的正负没有影响，所以主要分析分子的函数，讨论参数取值求解单调区间.
18．设函数， 的图象在点处的切线与直线平行.
（1）求的值；
（2）若函数（），且在区间上是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .

试题解析：(1)由题意知，曲线在点处的切线斜率为3，所以，又，即，所以. (2)由（1）知，所以，若在上为单调递减函数，则在上恒成立， 即，所以. 令， 则，由，得， ，得，故在上是减函数，在上是增函数，则， 无最大值，在上不恒成立，故在不可能是单调减函数. 若在上为单调递增函数，则在上恒成立，即，所以，由前面推理知， 的最小值为， ∴，故的取值范围是.
点晴:本题主要考查用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题. 在上为单调递减函数，等价于在上恒成立，通过变量分离可转化为在上恒成立，先构造即可.
19．已知函数， （为常数）.
（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；
（2）若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；
（3）若， ，且，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）（3）
原不等式转化为,即在上为增函数,求出实数的范围.
试题解析:（1）因为，所以，因此，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
由得.
由，得.
（还可以通过导数来求）
（2）因为 ，
所以，
由题意知在上有解，
因为，设，因为，
则只要解得，
所以的取值范围是.
（3）不妨设，
因为函数在区间上是增函数，
所以，
函数图象的对称轴为，且.
当时，函数在区间上是减函数，
所以，
所以，
等价于，
即，
等价于 在区间上是增函数，
等价于在区间上恒成立，
等价于在区间上恒成立，所以，又，所以.
点睛: 本题主要考查导数的应用,包括导数的几何意义,导数与单调性,属于中档题.本题在第3问中注意解题思想:等价转换,将原不等式转化为求在上为增函数,等价于在区间上恒成立,分离出,转化为求在上的最小值.
20．已知函数
（1）若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值；
（2）试讨论函数的单调区间；
（3）若时， 恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） (2) 见解析(3)

(2)



(3)
点睛：导数是研究函数单调性、极值（最值）的重要而有效的工具，本题以含参数的函数解析式为背景，设置了三个问题旨在考查导数的几何意义、求导法则、导数与函数的单调性、极值之间的关系等基础知识与思想方法的综合运用。解答第一问时依据题设运用导数的几何意义建立方程求出参数的值；求解第二问时，先对函数求导，再结合题设条件对参数分类分析探求单调区间；解答第三问时，先求函数
的导数，进而探求其最小值0.
21．已知函数， .
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）是否存在实数，对任意， ， 有恒成立，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由；
（3）记，如果是函数的两个零点，且， 是的导函数，证明： .
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

(2) 恒成立，不妨设，即，令，则在上为增函数，只要在恒成立求解即可.
（3）利用，（ ）是函数的两个零点这一条件得，两式推出关于，和a的一个等式，即可利用表示。求出之后，将代入得，构造函数，其中，利用导数求得其最大值为零，又表达式中， ，得证.
试题解析：（1）的定义域为

①若，则， ， 在上单调递增；
②若，则，而，∴，
当时， ；当及时，
所以在上单调递减，在及单调递增；
③若，则，同理可得在上单调递减，在及单调递增.
（2）假设存在，对任意，有恒成立，
不妨设，只要，即，
令，只要在上为增函数，


只要在恒成立，只要，故存在时，对任意，有恒成立.
（3）由题意知，


两式相减，整理得，所以
，又因为，
所以
令，则，
所以在上单调递减，故
又，所以
点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立，及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.
22．已知函数（为常数）的图象在处的切线方程为.
（1）判断函数的单调性；
（2）已知，且，若对任意，任意， 与中恰有一个恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减.（2）
，或对任意恒成立，利用导数求得的最大值，利用二次函数求最值的方法求得的最小值，由此可求得的取值范围.
试题解析：（1）∵函数的定义域为，
∴，由条件得，
把代入得，∴，即， .
∴， .
∵，∴，∴在上单调递减.
（2）由（1）知， 在上单调递减，
∴在上的最小值为，最大值为，
∴只需或，
即或对任意恒成立.
令，则，
令得，而恒成立，
∴当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增.
∴的最大值为.而， ，显然，
∴在上的最大值为，又，
∴或，即或.
∴实数的取值范围是.
点睛：本题主要考查导数与切线问题，考查利用导数解不等式恒成立问题.第一问有关切线的问题，关键点有两个，一个是切点的坐标，切点既在函数的图像上，也在切线的图像上，第二个是斜率，斜率是利用导函数和切点的横坐标求出来的.第二问不等式恒成立问题主要利用分离常数法来解决. 学科@网

【名师原创测试篇】
1.已知曲线.
(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；
(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ， ，(Ⅱ) ．
【解析】
时,由得，不论还是，都是先减后增，即的最小值为，所以.
试题解析：解
（Ⅰ）， -----------------------------------2分
因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，
所以且. ----------------------------------4分
解得， -----------------------------------5分
（Ⅱ）对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于
∀x,，都有，
即∀x,R，恒成立， --------------------------------------6分
令， ----------------------------------------7分
①若a=0，则，
所以实数b的取值范围是； ----------------------------------------8分
②若,，
由得， ----------------------------------------9分
的情况如下：


0



0
+


极小值

-----------------------------------------11分
所以的最小值为， -------------------------------------------12分
所以实数b的取值范围是；
综上，实数b的取值范围是． --------------------------------------13分
2 .已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ) 当时，求证：恒成立..
【答案】(Ⅰ) 单调减区间为，单调增区间为 ，(Ⅱ)详见解析.
【解析】
等式恒成立问题一般化为函数最值问题.可以直接求函数的最小值，也可将与分离，求函数的最小值.两种思路都简洁，实质都一样，就是求最小值.
试题解析：解：
(Ⅰ) 定义域为 ------------------------------------1分
------------------------------------2分
令，得 ------------------------------------3分
与的情况如下：






0


↘
极小值
↗
--------------------------------5分
所以的单调减区间为，单调增区间为--------------------------6分
(Ⅱ) 证明1：
设， ------------------------------------7分
-------------------------------8分
与的情况如下：


1



0


↘
极小值
↗
所以，即
在时恒成立， ----------------------10分
所以，当时，，
所以，即，
所以，当时，有. ------------------------13分
3.设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．
求常数的值；
当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
求证：．
【答案】(1) ；(2) ；(3) 详见解析
知，所以. (3分)
(2) 由(1)得，

.
① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有；
②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有；
③当时，令，当时，，于是. （8分）
(3) 对要证明的不等式等价变形如下：

所以可以考虑证明：对于任意的正整数，不等式恒成立. 并且继续作如下等价变形

对于相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有.
取，当时，成立；
当时，.
从而对于任意正整数都有成立.
对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有. 取，得：对于任意正整数都有成立.
因此对于任意正整数，不等式恒成立.
这样依据不等式，再令利用左边，令 利用右边，即可得到成立. (12分)
考点：1.导数来描述原函数的单调性；2. 导数来描述原函数的极值；3.函数零点
4.已知
（1）若在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）当时，若，，都有成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）.（2）.

∴对。
∴对恒成立，则
而，当且仅当时取等号，所以…………………………（6分）
（2）当时，，
，
∴当， 单调递增；
当时，单调递减
∴在（0，1）上，
而“，都有成立”等价于“上的最大值不小于。而上的最大值为，
所以有，即，
解得.所以实数m的取值范围是…………………………（12分）
考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.不等式恒成立问题；3.等价转化思想
5.已知函数（为自然对数的底数），曲线在处的切线与直线互相垂直.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设 ， ．问：是否存在正常数，对任意给定的正整数，都有成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）不存在正常数，对任意给定的正整数，
都有成立．

……………………………4分
（Ⅱ）对任意的，
恒成立等价于
对恒成立，即对恒成立
令, 则

由得：或（舍去）
当时，；当时，
在上递减，在上递增

………………………………………9分
（Ⅲ）=，
……………………………10分
因此有
由

得，
…………………………11分
，取()，
则
， ………………12分
当趋向于时，趋向于． ……………………………13分
所以，不存在正常数，对任意给定的正整数，
都有成立． …………………………14分
考点：1.数列的求和；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.转化与化归思想.
6.已知函数图像上的点处的切线与直线垂直．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求函数与的图象在区间上交点的个数；
（Ⅲ）证明：当时，．
【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为，单调递增区间为
（Ⅱ）当的取值范围是时，函数与的图象在区间上有两个不同的交点；
当时，函数与的图象在区间上有1个交点 （Ⅲ）证明见解析
【解析】

令
故的单调递减区间为，单调递增区间为…………4分
（Ⅱ）函数与的图象在区间上有两个不同的交点
方程在区间上有两个不同的实数解
方程在区间上有两个不同的实数解.


函数与图象在区间上有两个不同的交点.- ………………………………………………………………6分
，；当时，当时，故在上是减函数，在是增函数；在区间上，，，其大致图象如右图： …………………………8分
由图象可知，
当的取值范围是时，函数与的图象在区间上有两个不同的交点；
当时，函数与的图象在区间上有1个交点 ………………………………………………………………9分
（Ⅲ）令，，
要证，只需证，这等价于，
令，
令，，故在单调递减，
所以，故，故是减函数，
，即，
就是成立. …………………………………………………14分
考点：利用导数求函数的单调性，构造函数法证明不等式及转化的思想.
7.设函数.
（Ⅰ）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，且，求证：.
【答案】（1），(2)构造法证明不等式见解析；
【解析】

（Ⅱ）函数的定义域为，＝，依题意，方程在区间上有两个不相等的实根，记，则有，解得，为方程的解，∴.∵，，，∴，从而，先证，因为，即证∵在区间内，，在区间内，，∴为极小值，，∴成立，再证，即证，
，令＝，，
，又，，，∴，即在上是增函数，
综上可得，成立