历年高考数学真题精选14 函数与导数的综合

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历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题十四 函数与导数综合（学生版）
一．解答题（共20小题）
1．（2019•全国）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间，的最小值为，求．
2．（2019•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．
3．（2019•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间，的最大值为，最小值为，求的取值范围．
4．（2019•新课标Ⅱ）已知函数．证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
5．（2019•江苏）设函数，，，，为的导函数．
（1）若，（4），求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；
（3）若，，，且的极大值为，求证：．
6．（2019•天津）设函数，其中．
（Ⅰ）若，讨论的单调性；
（Ⅱ）若，
证明恰有两个零点；
设为的极值点，为的零点，且，证明．
7．（2019•天津）设函数，为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当，时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间，内的零点，其中，证明．
8．（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．
（1）证明：在区间存在唯一零点；
（2）若，时，，求的取值范围．
9．（2019•新课标Ⅱ）已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
10．（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
11．（2018•新课标Ⅰ）已知函数．
（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
12．（2018•新课标Ⅱ）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
13．（2018•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
14．（2018•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
15．（2017•新课标Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
16．（2017•北京）已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）求函数在区间，上的最大值和最小值．
17．（2017•山东）已知函数，，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
18．（2017•新课标Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
19．（2016•新课标Ⅲ）设函数，其中，记的最大值为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明：．
20．（2016•新课标Ⅰ）已知函数有两个零点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设，是的两个零点，证明：．

历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题十四 函数与导数的综合（教师版）
一．解答题（共20小题）
1．（2019•全国）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间，的最小值为，求．
解：（1）当时，，
则，令，则，
当时，；当时，．
的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2），令，则，
当时，，在，上单调递增，，不符合条件；
当时，，则当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，，符合条件；
当时，，则当时，，在上单调递减，
，，不符合条件．
在区间，的最小值为，的值为．
2．（2019•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．
解：（1）．
令，解得，或．
①时，，函数在上单调递增．
②时，函数在，，上单调递增，在上单调递减．
③时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．
（2）由（1）可得：
①时，函数在，上单调递增．则，（1），解得，，满足条件．
②时，函数在，上单调递减．
，即时，函数在，上单调递减．则，（1），解得，，满足条件．
③，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．则最小值，
化为：．而，（1），最大值为或．
若：，，解得，矛盾，舍去．
若：，，解得，或0，矛盾，舍去．
综上可得：存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1．
，的所有值为：，或．
3．（2019•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间，的最大值为，最小值为，求的取值范围．
解：（1），
令，得或．
若，则当，时，；当时，．
故在，上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递增；
若，则当，，时，；当，时，．
故在，上单调递增，在，上单调递减；
（2）当时，由（1）知，在上单调递减，在，上单调递增，
在区间，的最小值为，最大值为或（1）．
于是，，．
．
当时，可知单调递减，的取值范围是；
当时，单调递增，的取值范围是，．
综上，的取值范围，．
4．（2019•新课标Ⅱ）已知函数．证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
证明：（1）函数．
的定义域为，
，
单调递增，单调递减，单调递增，
又（1），（2），
存在唯一的，使得．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
存在唯一的极值点．
（2）由（1）知（1），
又，
在，内存在唯一的根，
由，得，
，
是在的唯一根，
综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
5．（2019•江苏）设函数，，，，为的导函数．
（1）若，（4），求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；
（3）若，，，且的极大值为，求证：．
解：（1），，
（4），，
，解得．
（2），，设．
令，解得，或．
．
令，解得，或．
和的零点均在集合，1，中，
若：，，则，舍去．
，，则，舍去．
，，则，舍去．．
，，则，舍去．
，，则，舍去．
，，则，．
因此，，，
可得：．
．
可得时，函数取得极小值，（1）．
（3）证明：，，，
．
．
△．
令．
解得：，．，
，，
可得时，取得极大值为，
，令，
可得：．
，
．
令，
，
函数在上单调递减，．
．．
函数在上单调递增，．
6．（2019•天津）设函数，其中．
（Ⅰ）若，讨论的单调性；
（Ⅱ）若，
证明恰有两个零点；
设为的极值点，为的零点，且，证明．
解：，．
时，，函数在上单调递增．
证明：由可知：，．
令，，可知：在上单调递减，又（1）．
且，存在唯一解．
即函数在上单调递增，在，单调递减．是函数的唯一极值点．
令，，，可得（1），时，．
．
（1）．函数在，上存在唯一零点．
又函数在上有唯一零点1．因此函数恰有两个零点；
由题意可得：，，即，，
，即，
，可得．又，故，
取对数可得：，化为．
7．（2019•天津）设函数，为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当，时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间，内的零点，其中，证明．
（Ⅰ）解：由已知，，因此，
当，时，有，得，单调递减；
当，时，有，得，单调递增．
的单调增区间为，，单调减区间为，；
（Ⅱ）证明：记，依题意及（Ⅰ），
有，从而．
因此，在区间，上单调递减，有．
当，时，；
（Ⅲ）证明：依题意，，即．
记，则，且．
由及（Ⅰ），得，
由（Ⅱ）知，当，时，，在，上为减函数，
因此，，
又由（Ⅱ）知，，
故．
．
8．（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．
（1）证明：在区间存在唯一零点；
（2）若，时，，求的取值范围．
解：（1）证明：，
，
令，则，
当时，，当时，，
当时，极大值为，
又，，
在上有唯一零点，
即在上有唯一零点；
（2）由（1）知，在上有唯一零点，
使得，且在为正，在，为负，
在，递增，在，递减，
结合，，可知在，上非负，
令，，
根据和的图象可知，，
的取值范围是，．

9．（2019•新课标Ⅱ）已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
解：（1）函数．定义域为：，，；
，且，
在和上单调递增，
①在区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，
，，，在有且仅有一个零点，
②在区间，区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，
又（e），，（e），在上有且仅有一个零点，
故在定义域内有且仅有两个零点；
（2）是的一个零点，则有，曲线，则有；
由直线的点斜式可得曲线的切线方程，
曲线在点，处的切线方程为：，
即：，将代入，即有，
而曲线的切线中，在点，处的切线方程为：，将代入化简，即：，
故曲线在点，处的切线也是曲线的切线．故得证．
10．（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
证明：（1）的定义域为，
，，
令，则在恒成立，
在上为减函数，
又，，由零点存在定理可知，
函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，
在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；
当时，单调递增，，单调递增；
由于在，上单调递减，且，，
由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，
当，时，单调递减，，单调递增；
当时，单调递减，，单调递减．
当，时，，，于是，单调递减，
其中，
．
于是可得下表：


0








0

0





单调递减
0
单调递增
大于0
单调递减
大于0
单调递减
小于0
结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，
当，时，，因此函数在，上无零点．
综上，有且仅有2个零点．
11．（2018•新课标Ⅰ）已知函数．
（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
解：（1）函数．，，
是的极值点，（2），解得，
，，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增．
（2）证明：当时，，
设，则，由，得，
当时，，当时，，是的最小值点，
故当时，（1），当时，．
12．（2018•新课标Ⅱ）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
证明：（1）当时，函数．则，
令，则，令，得．
当时，，当时，，
，
在，单调递增，，
解：（2）方法一、，在只有一个零点方程在只有一个根，
在只有一个根，即函数与的图象在只有一个交点．
，
当时，，当时，，
在递减，在递增，
当时，，当时，，
在只有一个零点时，（2）．
方法二：①当时，，在没有零点．．
②当时，设函数．在只有一个零点在只有一个零点．
，当时，，当时，，
在递减，在递增，，．
当（2）时，即，由于，当时，，可得．在有2个零点
当（2）时，即，在没有零点，
当（2）时，即，在只有一个零点，
综上，在只有一个零点时，．
13．（2018•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
（1）证明：当时，，．
，，
可得时，，时，
在递减，在递增，，
在上单调递增，又．
当时，；当时，．
（2）解：由，得
，
令，
．
当，时，，单调递增，
，即，
在上单调递增，故不是的极大值点，不符合题意．
当时，，显然单调递减，
①令，解得．
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，，
单调递减，又，当时，，即，
当时，，即，
在上单调递增，在上单调递减，
是的极大值点，符合题意；
②若，则，，
在上有唯一一个零点，设为，
当时，，单调递增，，即，
在上单调递增，不符合题意；
③若，则，，
在上有唯一一个零点，设为，
当时，，单调递减，，单调递增，
，即，在，上单调递减，不符合题意．
综上，．
14．（2018•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
解：（1）．
，即曲线在点处的切线斜率，
曲线在点处的切线方程方程为．
即为所求．
（2）证明：函数的定义域为：，
可得．
令，可得，
当时，，时，，时，．
在，递减，在，递增，
注意到时，函数在单调递增，且（2）
函数的图象如下：

，，则，，
当时，．
15．（2017•新课标Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
解：（1），
，
①当时，恒成立，在上单调递增，
②当时，，令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
③当时，，令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
（2）①当时，恒成立，
②当时，由（1）可得，，，
③当时，由（1）可得：
，，，
综上所述的取值范围为，
16．（2017•北京）已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）求函数在区间，上的最大值和最小值．
解：（1）函数的导数为，
可得曲线在点，处的切线斜率为，
切点为，即为，
曲线在点，处的切线方程为；
（2）函数的导数为，
令，
则的导数为，
当，，可得，即有在，递减，可得，
则在，递减，
即有函数在区间，上的最大值为；
最小值为．
17．（2017•山东）已知函数，，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
解：．，．
曲线在点，处的切线方程为：．
化为：．


．
令，则，函数在上单调递增．
，时，；时，．
（1）时，，时，，函数在单调递增；
时，，函数在单调递减．
时，函数取得极小值，．
（2）时，令．解得，．
①时，时，，，函数单调递增；
时，，，函数单调递减；
时，，，函数单调递增．
当时，函数取得极小值，．
当时，函数取得极大值，．
②当时，，时，，函数在上单调递增．
③时，，时，，，函数单调递增；
时，，，函数单调递减；
时，，，函数单调递增．
当时，函数取得极大值，．
当时，函数取得极小值，．
综上所述：时，函数在单调递增；时，函数在单调递减．
时，函数取得极小值，．
时，函数在，是单调递增；函数在上单调递减．当时，函数取得极小值，．当时，函数取得极大值，．
当时，，函数在上单调递增．
时，函数在，上单调递增；函数在上单调递减．当时，函数取得极大值，．当时，函数取得极小值，．
18．（2017•新课标Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
解：（1）由，求导，
当时，，当，单调递减，
当时，，
令，解得：，当，解得：，当，解得：，
时，单调递减，，单调递增；
当时，，恒成立，当，单调递减，
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在，是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
当时，，当时，，，
当时，，当，，且远远大于和，
当，，
函数有两个零点，的最小值小于0即可，
由在是减函数，在，是增函数，
，
，即，
设，则，，求导，由（1），
，解得：，的取值范围．
19．（2016•新课标Ⅲ）设函数，其中，记的最大值为．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）证明：．
解：．
当时，
因此．
当时，，
令，
则是在，上的最大值，，（1），
且当时，取得极小值，极小值为，（二次函数在对称轴处取得极值）
令，得（舍或．
①当时，在内无极值点，
，（1），（1），，
②当时，由（1），得（1），
又，
，
综上，．
证明：由可得：，
当时，，
当时，，
，
当时，，
综上：．
20．（2016•新课标Ⅰ）已知函数有两个零点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设，是的两个零点，证明：．
解：（Ⅰ）函数，
，
①若，那么，
函数只有唯一的零点2，不合题意；
②若，那么恒成立，
当时，，此时函数为减函数；
当时，，此时函数为增函数；
此时当时，函数取极小值，
由（2），可得：函数在存在一个零点；
当时，，，
，
令的两根为，，且，
则当，或时，，
故函数在存在一个零点；
即函数在是存在两个零点，满足题意；
③若，则，
当时，，
，
即恒成立，故单调递增，
当时，，，
即恒成立，故单调递减，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
故当时，函数取极大值，
由得：
函数在上至多存在一个零点，不合题意；
④若，则，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
故函数在上单调递增，
函数在上至多存在一个零点，不合题意；
⑤若，则，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
当时，，，
即恒成立，故单调递减，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
故当时，函数取极大值，
由（1）得：
函数在上至多存在一个零点，不合题意；
综上所述，的取值范围为
证明：（Ⅱ），是的两个零点，
，且，且，
，
令，则，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
设，则，
设，，
则恒成立，
即在上为增函数，
恒成立，
即恒成立，
令，
则，
即．