2025年高考数学一轮复习-第六板块-函数与导数-微专题(五)大题专攻——“函数与导数”大题的规范解题路径【课件】

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二、高频考法精研：有关x与ex，ln x的组合函数的解题技法　有关x与ex，ln x的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等．熟悉与x，ex，ln x有关的函数图象特征，在解答相关问题时做到“有形可寻”，对解题大有帮助.
[例1]　已知函数f(x)＝ex－ax2，若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1.
技法三　借助ln x≤x－1或ex≥x＋1进行放缩[例3]　已知函数f(x)＝xex－aln x(e为自然对数的底数，e＝2.718…)．(1)若f(x)在(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)当a＝－1时，设g(x)＝x[f(x)－xex]－x3＋x2－b，若函数g(x)存在零点，求实数b的最大值．
设h(x)＝(x2＋x)ex，x∈(0,1)，则h′(x)＝ex(x2＋3x＋1)，当x∈(0,1)时，x2＋3x＋1>0，则h′(x)>0，所以h(x)在(0,1)上单调递增，所以h(x)当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减．所以φ(x)max＝φ(1)＝0，即φ(x)≤0，也就是ln x≤x－1.由此可知k(x)＝xln x－x3＋x2≤x(x－1)－x3＋x2＝－x(x2－2x＋1)≤0，又当x＝1时，k(x)max＝k(1)＝0，所以实数b的最大值为0.
[反思领悟]本题第(2)问的求解中，法二借助不等式ln x≤x－1(x>0)进行放缩，使求解过程变得简洁，这种方法在求解涉及ln x的函数问题中经常用到，应注意掌握．　　
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