高三数学 数列专题复习 二十五 等差数列考点汇编

专题二十五 等差数列

模块一、思维导图

模块二、考法梳理

考法一：等差数列定义的运用

1.已知数列中，，，证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；

【解析】

因为，且，所以数列为首项为，公差为的等差数列.所以，即.

2．已知数列中，， ，数列满足。

（1）求证：数列为等差数列。

（2）求数列的通项公式。

【解析】（1）证明：由题意知，，又，

故，又易知，

故数列是首项为，公差为1的等差数列。

（2）由（1）知，所以由，可得，故数列的通项公式为。

考法二：等差中项性质

1.等差数列，，，的第四项等于     。

【解析】由题得.所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3，所以等差数列的第四项为9.

2.等差数列的前项和为，若，则    。

【解析】由等差数列性质可知：，解得：

3．已知数列为等差数列，为其前 项和，，则         。

【解析】由等差数列的性质可得，

4．已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为      。

【答案】9

【解析】因为，，且，，成等差数列，所以，

因此，

当且仅当，即，时，等号成立.

5．在等差数列 中，若  为方程 的两根，则     。

【解析】 为方程 的两根，，

由等差数列的性质得，即，.

6．等差数列中，若，则的值是   。

【解析】依题意，由，得，即

所以

7．在中，若，，成等差数列，，则当取最大值时，           。

【解析】因为，，成等差数列

所以所以由正弦定理得

由余弦定理当且仅当时取等号，

所以此时

8．的内角所对的边分别为 ，若角依次成等差数列，且，则的面积     。

【答案】

【解析】依次成等差数列，，

因为，由余弦定理得，得，

9．已知，，且，，成等差数列，则有最小值    。

【答案】100

【解析】由题意可知： ，且： ，

由均值不等式有： ，当且仅当 时等号成立.

10．设有四个数的数列,该数列前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为. 则实数m的取值范围为     。

【解析】设的前项为，由于数列的前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,

其和为，所以，由（3）（4）得，所以即，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得，整理得.

考法三：前n项和的性质

1．设等差数列的前项和为，若，，则的值为      。

【答案】6

【解析】因为，所以，故.

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则=    。

【答案】1

【解析】∵等差数列{an}中，，∴，∴，．

3.已知等差数列的前项和为，且，，则          ；

【答案】60

【解析】数列{an}为等差数列则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列．S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差数列．因为在等差数列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=60．

4.数列的通项公式为，要使数列的前项和最大，则的值为     。

【答案】13或12

【解析】因为，所以数列是以为首项，公差的等差数列，

所以由二次函数的性质可得：当或时，最大。

5.若数列是等差数列，首项，，则使前项和成立的最大自然数是__________．

【解析】由于等差数列首项，而，故公差，且，所以，，故使前项和成立的最大自然数是.故填：.

6．是等差数列的前项和，，则时的最大值是     。

【答案】4034

【解析】由所以所以

可知等差数列是单调递增的,且前2017项均是负数，又

即

故当时，的最大值是4034

7．设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数的值为 。

【解析】由,利用等差数列的性质可得：,又<0,>0，

∴>0,<0.∴，

则满足Sn>0的最大自然数n的值为12.

考法四：实际运用

1．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日共走一千二百六十里，第一日､第四日､第七日所走之和为三百九十里，问第一日所走里数为    。

【答案】100

【解析】由题意，该男子每日走的路程数构成等差数列，，，

则，解得，

，解得，

所以公差，.

2．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为           。

【答案】70

【解析】设每个月的收入为等差数列{an}．公差为d．则a3=25，S12=510．∴a1+2d=25，12a1+d=510，解得a1=15，d=5，

3．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为     。

【答案】16

【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列，

分析可得数列是首项，公差的等差数列，

该问题中的1864人全部派遣到位的天数为，则，

依次将选项中的值代入检验得，满足方程.

4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的是最小的两份之和，则最小的一份的量是     。

【答案】

【解析】由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为，公差为，

由题意可得，解得.

5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为                 。

【答案】35岁

【解析】设这位公公的第个儿子的年龄为，由题可知是等差数列，设公差为，则，

又由，即，解得，即这位公公的长儿的年龄为岁．

模块三、巩固提升

【考法一 定义的运用】

1．已知为数列的前项和，，，.求证：为等差数列；

【解析】证明：，，

可得：，时，．时，，

，可得．为等差数列，公差为，首项为．

2．已知数列中， ，.设，求证：是等差数列；

【解析】（1），，

又，，是等差数列，首项为3，公差为3

3．在正项数列中，已知且.证明：数列是等差数列；

【解析】∵∴，∴数列是公差为2的等差数列.

∵∴，∴，∴，∴，∴，

∴，∴数列是等差数列.

4．已知数列满足，.证明：数列为等差数列；

【解析】（1）由得，

又，所以数列首项为，公差为的等差数列；

5.已知数列满足，且.证明数列是等差数列，并求数列的通项公式.

【解析】因为两边都加上，得

所以，即，

所以数列是以为公差，首项为的等差数列．所以，即．

6.数列中，，，数列满足.求证：数列是等差数列；

【解析】，而，

，，因此，数列是首项为，公差为的等差数列；

【考法二 中项性质】

1．的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列则角的值为  。

【答案】

【解析】由题意得：，

由余弦定理得：

2．设，，是与的等差中项，则的最小值为    。

【答案】

【解析】∵是与的等差中项，∴，即，

∴．所以

当且仅当即时取等号，∴的最小值为9．

3．正项等差数列的前项和为，已知，则     。

【答案】55

【解析】由是等差数列，得，因为，所以

，或，又，得，所以，

4．在等差数列中，已知，则的值为______.

【答案】

【解析】由等差中项的性质可得，，

因此，.故答案为：.

5．设等差数列的前n项的和为，且，则       。

【答案】12

【解析】设数列公差为，则，，

∴.．

6．已知是与的等差中项，则的最小值为______.

【答案】

【解析】因为是与的等差中项则

所以

由基本不等式可得

当且仅当时取等号,此时所以的最小值为故答案为:

【考法三---前n项和的性质】

1．等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为     。

【答案】210

【解析】∵等差数列{an}的前3项和为30，前6项和为100，即S3＝30，S6＝100，

又S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）＝（S9﹣S6）+S3，即140＝S9﹣100+30，

解得S9＝210。

2．已知等差数列前项和为，若，，则     。

【答案】280

【解析】等差数列前项和为，，，也成等差数列

故 ，

又

3．设等差数列的前项和为,若,则      。

【解析】∵等差数列的前项和为，，由等差数列的性质得：

成等比数列又

∴．

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则为    。

【解析】设,根据是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a..

5.已知两个等差数列和的前项和分别为和,且，则       。

【解析】依题意，

故.

6．已知两个等差数列，的前项和分别为，，若对任意的正整数，都有，则等于      。

【解析】∵等差数列，的前项和分别为，，对任意的正整数，都有

∴

7．有两个等差数列，若，则（ ）

A． B． C． D．

【解析】设等差数列前项和分别为，

，,故选B.

8．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是___．

【解析】解：根据题意，两个等差数列和，

则＝＝＝＝＝＝7+，

若为整数，则n+1为12的因数，又n为正整数，

则为正整数，验证可得：当n＝1，2，3，5，11满足题意，故答案为：5.

9．已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_______.

【解析】因为等差数列中，，所以，

，，∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．故答案为：6

10．是等差数列，公差，前n项和记为，且，，则当取最大值时_____.

【解析】；；

故，即前项和最大，故答案为：

11．在等差数列中，，，则数列的前项和的最大值为    。

【答案】

【解析】∵等差数列中，，∴，

∴，又，∴，，即数列的前15项为正值，从第16项开始为负值．

∴数列的前项和的最大值为．

12．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则     。

【答案】8

【解析】设等差数列有奇数项，．公差为．

奇数项和为40，偶数项和为32，，，

，，

，即等差数列共项，且

13．设等差数列的前项和分别为，若，则使的的个数为     。

【答案】5

【解析】因为等差数列的前项和分别为，所以，

又，所以，

为使，只需，又，所以可能取的值为：，

因此可能取的值为：.

【考法四  实际运用】

1．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题:“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分石，那么三人各分得多少白米？”.请问：丙应该分得       白米

【解析】依题意，设甲、乙、丙分得的米的重量分别为石、石、石，并设等差数列、、的公差为，则，解得，

，因此，丙应该分得石白米.

2．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯       。

【解析】设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，，，

，，，，，，（盏），

所以最下面一层有灯，（盏）.

3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈.问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有      。

【解析】9匹3丈为390尺，每天的织布数成等差数列，首项，记公差为

，．

4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多人，修筑堤坝的每人每天分发大米升”.在该问题中前天共分发         升大米。

【解析】记第一天共分发大米为升，由题意，每天分发的大米构成等差数列，公差为，

因此，前天共分发大米为升.

5．明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为   。

【解析】设第一个孩子分配到a1斤锦，则由题意得：7＝996，

解得a1＝65，∴第八个孩子分得斤数为a8＝65+7×17＝184．

6．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重       斤？

【解析】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，

数列的前5项和为．即金锤共重15斤，

7．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是          。

【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，

由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，

∴，解得．∴．

8．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是  。

【答案】五尺五寸

【解析】设晷影长为等差数列，公差为，，，则，解得．

夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是五尺五寸．

9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得   。

【答案】三分鹿之一

【解析】显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为，则，解得．

10．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是        。

【答案】18

【解析】设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，

则.

11. 已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第一行为46，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20.如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为，比如，，，，若，则    。

【答案】71

【解析】由图可知，第一行放1个偶数，第二行放2个偶数，第3行放3个偶数…
又因为指图中摆放的第行第列，
所以先求第行的最后一个偶数，
该偶数小于2020且是最接近的，并且还能成为每一行最后一个数字的，

，

当时，，

第44行的最后一偶数是1980，又第45行的第45个偶数为1982，
利用等差数列的任意两项之间关系可知2020应出在该行的第45-19=26列，故，
所以．
 

12．《九章算术》卷第六《均输》中，有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊，且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得      。

【答案】钱

【解析】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为，公差为，则有

则，所以.

13．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得 只鹿，则大夫所得鹿数为     。

【解析】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列,则

又，，

，即大夫所得鹿数为只

14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为   。

【解析】由题意得，被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，

∴，，由，得，∵，∴此数列的项数为169.

15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每个人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的七分之一是较小的两份之和，则最大一份的个数为         。

【解析】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，

则，所以解得

所以最大项.