2022届高三数学一轮复习 微专题10 指数与指数函数（全国通用）

微专题10 指数与指数函数

1．（2020·全国高考真题（文））设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由可得，所以，

所以有，

故选：B.

【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.

2．（2015·山东高考真题（理））已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________.

【答案】

【解析】若 ，则 在上为增函数，所以 ，此方程组无解；

若 ，则在上为减函数，所以 ，解得 ，所以.

1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

4.有关指数函数图象问题的解题思路

(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．

5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；

6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；

7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。

1.根式

(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝

2.分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

3.指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

【知识拓展】1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.

3.有关指数型函数的性质

(1)求复合函数的定义域与值域

形如的函数的定义域就是的定义域．

求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．

求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域．

(2)判断复合函数的单调性

令u=f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在[m，n]上是减函数．

(3)研究函数的奇偶性

一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与f(−x)的关系，最后确定函数的奇偶性．

二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．

1．（2021·全国高三其他模拟）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（    ）

A．125天 B．100天 C．75天 D．50天

2．（2021·玉林市育才中学高三三模（文））函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ）

A．6 B．-2 C．1 D．4

3．（2021·全国高三其他模拟（文））___________.

4．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）已知常数，函数的图象经过点、，若 ，则___

1．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三其他模拟）已知，下列不等式成立的是（ ）

A． B． C． D．

2．（2021·浙江高三其他模拟）不等式“”成立是不等式成立“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（2019·吉林高三其他模拟（文））设a＝21.2，b＝30.3，c＝40.5，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a

4．（2021·山东济南市·高三其他模拟）为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农药的安全残留量是其很重要的一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为0.001mg/kg，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照y＝ae﹣x的函数关系降解，其中x的单位为小时，y的单位为mg/kg．该农药的喷洒浓度为2mg/kg，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要（    ）小时．（参考数据ln10≈2.3）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数的大致图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

6．（2021·江苏南通市·高三二模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·全国高三其他模拟（理））函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

8．（2021·湖南高三其他模拟）（多选题）若，则（    ）

A． B． C． D．

9．（2021·福建师大附中高三其他模拟）若（，为有理数），则______．

10．（2021·广东汕头市·高三三模）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.

11．（2021·浙江杭州市·学军中学高三其他模拟）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_________.

12．（2021·湖南高三其他模拟）已知函数且)的图像过点.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在区间上的最大值是最小值的4倍，求实数的值.

1．（2012·四川高考真题（理））函数的图像可能是（    ）．

A． B．

C． D．

2．（2016·全国高考真题（理））已知，，，则

A． B．

C． D．

3．（2014·江西高考真题（文））已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（    ）

A． B． C．1 D．2

4．（2013·全国高考真题（文））若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是

A．（-∞，+∞） B．(-2， +∞) C．(0， +∞) D．（-1，+∞）

5．（2011·山东高考真题（理））若点在函数的图象上，则的值为

A．0 B． C．1 D．

6．（2015·江苏高考真题）不等式的解集为________.

7．（2015·福建高考真题（文））若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．

8．（2009·江苏高考真题）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为____.

9．（2008·湖北高考真题（理））已知函数，等差数列的公差为，若，则

___________.

10．（2008·上海高考真题（理））已知函数.

（1）若f(x)＝2，求x的值；

（2）若2tf(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.

参考答案

1．【答案】C

【解析】解析：由题意知，当时，有．

即，得．

所以当时，有．

即，得．

所以．

故选：C

2．【答案】D

【解析】令，解得，

所以，

因为点A在双曲线上，

所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以m-n的最大值为4

故选：D

3．【答案】

【解析】.

故答案为：.

4．【答案】；

【解析】由条件可知，得 ①

 ，得 ②

①②得，

，又，得.

故答案为：

1．【答案】C

【解析】对于：构造函数，由于，则函数在上为减函数，

又因为，则有，所以错误；

对于：构造函数，由于，则函数在上为增函数，

又因为，则，所以B错误；

对于C：，

因为，所以，

所以，所以，所以正确；

对于D：，由于，

所以，所以，所以错误；

故选：C

2．【答案】B

【解析】因为不等式的解为，

所以“”成立是不等式成立“”的必要不充分条件，

故选：B

3．【答案】D

【解析】∵a＝21.2＞21＝2，∴a＞2，

∵30＜b＝30.3＜30.5，∴1＜b＜，

∵c＝40.5＝2，∴a＞c＞b，

故选：D．

4．【答案】D

【解析】解：由题意知，当x＝0时，y＝2，

所以2＝a•e﹣0，解得a＝2，

所以y＝2e﹣x，

要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，则2e﹣x≤0.001，

解得x≥﹣ln＝3ln10+ln2≈3×2.3+ln2＝6.9+ln2，

因为ln＜ln2＜lne，即0.5＜ln2＜1，

所以6.9+ln2∈（7.4，7.9），

所以要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要8小时．

故选：D．

5．【答案】B

【解析】令得，即，

解得，

由图象知，

当时，，当时，，故排除AD，

当时，易知是减函数，

当时，，，故排除C

故选：B

6．【答案】B

【解析】依题意知为偶函数，其图象关于轴对称，当时，单调递增，且，所以的解集为.将的图象沿轴向右平移个单位长度后可得的图象，所以不等式的解集为.

故选：B.

【点睛】本题考查应用函数的奇偶性与单调性解函数不等式问题，涉及指数函数的单调性，属基础题，为了求解关于f(x-a)的不等式常常可以先求相应的关于f(x)的不等式，然后利用平移变换的方法得到所求不等式的解集.

7．【答案】C

【解析】，

故为奇函数，所以函数图象关于原点中心对称，排除B选项；

当时，，，所以，且，

故，排除A，D选项．

故选：C.

8．【答案】AD

【解析】A．设，

因为可化为，则，

根据指数函数的性质，可得单调递增，单调递减，

因此在上单调递增，所以，故正确；

B．由A项得，当，时，，，此时，故错误；

C．由A项得，当，时，，故错误；

D．因为在上是减函数，由，可得，即，故正确；

故选：AD.

9．【答案】

【解析】解：

因为（，为有理数）

所以

故答案为：

10．【答案】

【解析】解：函数（且）的图象恒过定点A，

，

点A在直线上，

，

又，，

，

，当且仅当，即时等号成立，

所以mn的最大值为，

故答案为：.

11．【答案】(0，1)(2，)

【分析】恒成立等价于恒成立，构造函数，然后利用导数求函数的最大值即可.

【解析】∵，∴

∵

因此，即

∴，即

∵

∴，即

令，∴

当时，，即在上单调递减

∴解得

故

当时，，则

即当时，在恒成立

综上：(0，1)(2，)

故答案为：(0，1)(2，)

【点睛】恒成立问题解题思路：

（1）参变量分离：

（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.

12．【答案】（1）（2）

【解析】（1）因为函数且)的图像过点，

所以，解得，

所以

（2）由（1）知，

所以函数为递减函数.

故函数在区间上的最大值，最小值分别为，，

所以，

即，解得.

1．【答案】D

【解析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0，1）点，所以排除A，

当时，∴，所以排除B，

当时，∴，所以排除C，故选D.

2．【答案】A

【解析】因为，，，

因为幂函数在R上单调递增，所以，

因为指数函数在R上单调递增，所以，

即b<a<c.

故选：A.

3．【答案】A

【解析】解：由题意得，

所以，解得a=.

故选：A

【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题

4．【答案】D

【解析】由题意知，存在正数，使，所以，而函数在上是增函数，所以，所以，故选D.

【考点定位】本小题主要考查不等式、分离参变量、函数的单调性等知识，考查转化与化归等数学思想，考查分析问题以及解决问题的能力.

5．【答案】D

【解析】由题意知：9=，解得=2，所以，故选D.

6．【答案】

【解析】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围．

，

是一个递增函数；

故答案为.

7．【答案】

【解析】根据可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于.

【方法点睛】该题根据题中的条件确定好函数本身的单调区间，根据函数在函数增区间的所有子区间上是增函数，从而求得参数的取值范围，关键是根据条件，得出函数图像的对称性，确定出函数图像的对称轴，从而得到函数的增区间，从而根据集合间的包含关系，从而确定出参数的取值范围.

8．【答案】m<n

【解析】考查指数函数的单调性．，函数在R上递减．由得：m<n

9．【答案】

【解析】依题意有，，且.

则，

而，

因此，.

故答案为.

【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.

10．【答案】（1）

（2）的取值范围是

【解析】（1）当时，；当时，　

由条件可知，即

解得

（2）当时，　

即，，　　

，

故的取值范围是