高三数学 数列专题复习 二十八 求和方法考点汇编


专题二十八 求和方法（第1课时）
模块一、思维导图






模块二、考法梳理
考点一：裂项相消
1．已知数列的前项和为，若，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）①，
当时，，解得当时，②，
①减去②得，
整理得，即，，，，
以上各式相乘得，又，所以，
（2）由（1）得，

，

2．已知数列满足，.
（1）求，的值
（2）求数列的通项公式；
（3）设，数列的前项和为，求证：，.
【答案】（1）,（2）（3）证明见解析
【解析】（1）由
当时，，即.
当时，，解得.
（2）∵①，
∴当时，②
①－②，∴，
由（1），即上式当时也成立.
因此，的通项公式为；
（3）由（2）得，
∴
∵单调递增，∴当时取最小值，
∵，，∴，即.因此，.

3．已知数列是递增的等比数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（1）设等比数列的公比为q，所以有
联立两式可得或者又因为数列为递增数列，所以q>1，所以
数列的通项公式为
（2）根据等比数列的求和公式，有
所以
所以

4．已知是数列的前项和，已知且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若，求正整数的最小值.
【答案】（1）（2）1010
【解析】（1）解析1：（累乘法）由,所以时,
,
又也成立,所以,
所以当时,,又也成立,所以.
解析2：（配凑常数数列）,故为常数列,即,所以,所以当时,,又也成立,所以.
解析3：（直接求）,所以,两式相减可得,又因为,所以,即当时,,当也成立,故.
（2）解析（裂项相消）：由上题可知,所以,所以,故的最小值为1010.

5．记为等比数列的前项的和，且为递增数列.已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项之和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等比数列的公比为，则，解得或，
因为为递增数列，所以只有符合题意，故；
（2）由题意，，
∴
.

6．已知数列的前项和满足，且.
（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.
【答案】（1）证明见解析,（2）
【解析】（1）当时，，
又，所以，
当时，，
所以，
可得，所以为等差数列.
又，得，又，所以.故答案为
（2）
，所以.要使，即，
解得，所以.故答案为

7．已知数列的前项和，数列满足.
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的最大值.
【解析】(Ⅰ) ，
当时，，
，
化为，
，
即当时,，
令,可得,即.
又,数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是，.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
,

,
可得，，因为是自然数，所以的最大值为4.
考点二：错位相减法
1．已知等差数列公差不为零，且满足：，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）由成等比数列得即,
解得或（舍）,所以 ,
（2）由（1）知所以
所以 ，两式相减得：

所以.

2．在数列中，首项前n项和为，且
（1）求数列的通项；（2）若，求数列的前n项和．
【解析】（1）因为，当时，，所以，即，，又，，，
所以是等比数列，公比为，所以．所以．
（2）由（1），
，①，所以，②
①－②得，
所以．
3．已知是数列的前项和，．等比数列中，公比为．
（1）求数列和的通项公式，以及数列的前项和；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】(1) ，，；(2) .
【解析】(1)当时，，
当时，，
又， ；
由得 ，，
∴
(2)


∴.

4．在数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上，数列满足条件：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上，
，.
，，
，数列是以为首项，以为公比的等比数列.
数列的通项公式为；
（2）由于，
，①
，②
① ②得.

考点三：分组求和
1．已知正项数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当，，，
两式相减得，
化简得，即是公差为的等差数列，
令，，得，所以．
（2），
设为数列的前项和，

．

2．在公差不为的等差数列中，，，成公比为的等比数列，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）公差不为的等差数列中,,,成公比为的等比数列,
可得,,可得,,化简可得,即有.
（2）由（1）可得,；
前项和．

3.设数列满足，且点在直线上，数列满足：，．
（1）数列、的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求．
【解析】（Ⅰ） 是以为首项，2为公差的等差数列，
，
， 是以为首项，3为公比的等比数列，．
（Ⅱ）由(1)知 ，
设的前项和为
①
②
①—②得 ，
，
所以 ．
设的前项和为,
当为偶数时，，
当为奇数时，为偶数，，
．

4．已知数列的前n项和为，，，且.
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列前n项和.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）,且,
时,,
化简可得,
由,可得,即为首项为,公差为的等差数列,
则;
（2）,
,
可得前n项和
.

5．已知数列的前项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由，得．
当时，．
适合上式，；
（2），
设数列的前项和为，
则

设……①
则……②
①-②得：．
所以；
则

模块三、巩固提升
【考法一 裂项相消】
1．在数列中，有.
（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，，(2)
【解析】（1）因为，
所以当时，，
上述两式相减并整理，得.
又因为时，，适合上式，
所以.从而得到，
所以，
所以数列为等差数列，且其通项公式为.
（2）由（1）可知，.
所以
.

2．已知数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由，得.

当时，，两式相减得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则；
（2）因为，
所以，
所以.

3．记数列的前项和为．若.
（1）证明：为等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）=.
【解析】（1）由已知，得，……①
当时，，……②　
①—②，得，即，
整理，得，　
又由，得，所以是以3为首项，3为公比的等比数列.　
（2）由（1）得，所以，　
所以，　
故=.

4．正项数列的前项和满足；
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有；
【解析】由,解得或,
∵数列都是正项,,
,
,
解得或,
因为数列都是正项,
,
当时,有,

解得,
当时,,符合,
所以数列的通项公式.
(2),
所有


5．已知数列中，，，其前项和为，且当时，
（1）求数列的通项公式；
（3）设，记数列的前项和为，求.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由
故又且
所以数列是一个以1为首项，4为公比的等比数列
所以……①,……②
由①-② 且不满足上式
所以
（2），，时


而也满足上式，所以

6．设数列，其前项和，又单调递增的等比数列， ， .
(Ⅰ)求数列，的通项公式；
(Ⅱ)若 ，求数列的前n项和，并求证：.
【答案】（1），；（2）详见解析.
【解析】（1）当时，，当时，，
当时，也满足，∴，∵等比数列，∴，
∴，又∵，
∴或（舍去），
∴；
（2）由（1）可得：，
∴
，显然数列是递增数列，∴，即.）

7．已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）.（2）.
【解析】（1）当时，，得
当时，有，
所以
即，满足时，，
所以是公比为2，首项为1的等比数列，
故通项公式为．
（2），


．

8．设数列的前项和为，且.
（1）求、、的值；
（2）求出及数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和为.
【解析】(1)，时，，
时，，解得，
时，，解得，同理可得：，
（2）由（1）可得：，，化为，猜想，
时，代入，左边；右边,所以左边=右边，猜想成立，时也成立，
时，，时，也成立，；
当时，，
又， 数列的通项公式为.
（3），
为偶数时，数列的前项和为：
.
为奇数时，数列的前项和为：
.
综上所述，当为奇数，；当为偶数，.
9．设数列的前n项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前n项和，并比较与的大小.
【解析】（1）因为，所以，即，
当时，，则，整理得，
则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故.
（2）因为，所以，
所以，
即，
因为，所以.

10．已知等差数列满足,前7项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【解析】(1)设等差数列的公差为d,由可知,前7项和.
,解得..
(2)
前项和
.
【考法二 错位相减法】
1．已知正项等差数列满足，，等比数列的前项和满足，其中是常数．
（1）求以及数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；，；（2）
【解析】（1）数列为正项等差数列，公差，
，又，
，，可得，即可得；
①
当时，，
当时，②
①②即可得，，又为等比数列，
，即可得，，；
（2）由题意得，
，③
，④
② ④可得：．．

2．已知数列的前项和满足，且，数列中，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求的前项的和.
【答案】（1）,；（2）.
【解析】（1）由得（）．两式相减得，即（）．又得，所以数列是等比数列，公比为2，首项为1，故．由可知是等差数列，公差，
则．
（2），
①，
②．
①②得
故．

3．在正项数列中，，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），，（2）
【解析】（1）∵，
∴，
∴.
又，∴是首项为2，公比为2的等比数列，
从而.
∵，∴，又，解得.
（2），
设数列的前项和为，
则，
，
则，
即，
即，
故.
4．已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】（1）由题意知当时，，
当时，，所以．
设数列的公差为，
由，即，可解得，
所以．
（2）由（1）知，又，得，，两式作差，得所以．

5．已知数列中，，.
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和.
【解析】（1）∵
∴
∴，
∵，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列
∴，∴，∴，
（2），


∴①
②
①-②得
∴.

6．已知等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前项和.
（3）设，求的前项和.
【解析】（1）由题意得：，可得，，
由，可得，由，可得，可得，
可得;
(2)由，可得，
由，可得，可得，
可得的通项公式：=，
可得：

① -②得：=，
可得;
(3)由 可得，
可得：===

7．已知数列的前项和（其中），且的最大值为8.
（1）确定常数，并求；
（2）设数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）因为，又因为，所以当时，，解得，这时；
所以，当时，，又也适合这个公式，所以.
（2）设，则，…①
所以…②
① ②得，所以.

【考法三 分组求和】
1．设数列的前项和为，已知.
（1）求通项公式；
（2）求的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
由得，
∴，
从而知，
又当时，也符合，
故；
（2）∵，
∴

．

2．已知等差数列的前项和为，公差，且，、、成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【解析】（1）根据题意：
即 ①
又、、成等比数列
所以
则
化简可得：，又
所以 ②
则由①，②可知
所以
（2）由
所以
即
故
所以
则化简可得：

3．在公差为2的等差数列中，，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）∵的公差为,∴,.
∵,,成等比数列,∴,
解得,从而.
（2）由（1）得,



4．已知在等比数列{an}中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】（1）等比数列{an}的公比设为q，a1=2，a1，a2，a3-2成等差数列，可得2a2=a1+a3-2，
即为4q=2+2q2-2，解得q=2，则an=a1qn-1=2n，n∈N*；
（2）=+2log22n-1=+2n-1，
则数列{bn}的前n项和Sn=（++…+）+（1+3+…+2n-1）=+n（1+2n-1）=1-+n2．

5．已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.
(1)求;
(2)设，求的前项和.
【解析】(1)设数列的公差为，
由题意知: ①
又因为成等比数列，
所以，
，
，
又因为，
所以. ②
由①②得，
所以，
， ，，
.
(2)因为，
所以
所以数列的前项和.

6．设数列{}满足
(1)求{}的通项公式;
(2)数列满足,求数列的前n项和
【答案】(1)(2).
【解析】(1)数列{an}满足．
当n≥2时,．
∴(2n﹣1=2．∴．
当n=1时, =2,上式也成立．∴．
(2)由=得,
+1++==
∴数列的前项和.

考点6 求和方法（第2课时）
模块一、思维导图

模块二、考法梳理
考点一：奇偶并项求和
1．已知数列的前项和是，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列前项的和.
【解析】（1）由得，
于是是等比数列.令得，所以.
（2），于是数列是首项为0，公差为1的等差数列.
，所以
2．已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）对任意，有，①
当时，有，解得或.
当时，有.②
①-②并整理得.
而数列的各项均为正数，.
当时，，
此时成立；
当时，，此时，不成立，舍去.
，.
（2）



.

3．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求.
【解析】（1）设的公差为，因为，，成等比数列，所以，
可得，，得，
又，可得，，所以.
（2），


4．已知数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【解析】（1）由，
当时，，
当时，，而，
所以数列的通项公式，.
（2）由（1）可得，
当为偶数时，，
当为奇数时，为偶数，.
综上，.

考点二：倒序相加法
1．已知函数（），正项等比数列满足，则
。
【答案】
【解析】因为函数（），
正项等比数列满足，

则。

2．若函数，则______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
因此；
记，
则
，
因此.故答案为：

3．已知函数，则 _________；
【解析】
设 ①，则 ②
①+②得，.故答案为2018.

4． 设函数,定义,其中,则 。
【解析】，因为,所以
．两式相加可得:,

5．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为 。
【解析】由题已知是上的奇函数故，
代入得：
∴函数关于点对称，令，则，得到．
∵，
倒序相加可得，即

考法三：其他方法
1．为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1000项和.
【解析】（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得，所以的通项公式为

（Ⅱ）因为，
所以数列的前项和为

2．已知首项为3的数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：成等差数列．
【解析】（1）因为,故,,,,…,,,把上面个等式叠加,得到,故,而,故．
（2）由（1）可得,，故,
,所以,
故成等差数列．
3．设公差不为0的等差数列的首项为1，且，，构成等比数列．
求数列的通项公式，并求数列的前n项和为；
令，若对恒成立，求实数t的取值范围．
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，首项，由题意，
则,解得.则.
，
‚，
-‚得

(2),
当为奇数时，，




当为偶数时，，


综上所述，
4．已知数列中，，是数列的前项和，且．
（1）求，，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若 对任意的正整数都成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）在中，，则，即，得，
由得：当时，，
化简得，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，所以.
又因为，所以，所以，.
当时，，
对也成立，所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以
.
因为，所以在上单调递增，所以的最小值为.
因为对任意的正整数都成立，所以，即.
模块三、巩固提升
【考法一 奇偶并项求和】
1．在等差数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）, ,

(2)
.

2．设数列的前项和为，已知， .
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和。
【答案】(1) .(2) .
【解析】（1）∵当时， ，∴. ∴.
∵，，∴.
∴数列是以为首项，公比为的等比数列.
∴.
（2）由（1）得，
当时，
∴.
3．已知数列为等比数列， ，是和的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1) ，；(2) .
【解析】（1）设数列的公比为，因为，所以，，
因为是和的等差中项，所以.
即，化简得，
因为公比，所以，
因为，所以
所以，；
（2）
当为偶数时，前项和；
当为奇数时，前项和；
则.

4．设是数列的前n项和，已知，
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，所以当时，
两式相减得， 所以
当时，，，则
所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故
（2）由（1）可得
所以
故当为奇数时，
当为偶数时，
综上

【考法二 倒序相加法】
1．设,根据课本中推导等差数列前项和的方法可以求得的值是 。
【解析】令 ①
则 ②
①②可得：
，


2．定义在上的函数,,,则______.
【解析】函数，，
可得，
即有：，
又，
可得：，
即有.
故答案为：.
3．已知函数，满足（，均为正实数），则的最小值为_____________
【解析】，
，
，
两式相加得：，，
，

4．设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得_______________．
【解析】∵f(x)＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝，
∴由倒序相加求和法可知f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝

5．为等比数列，且，若，则_______
【解析】因为，

同理，，….则


6．设，则__________．
【答案】1008
【解析】∵函数，∴，∴，故答案为1008.

【考法三 其他方法求和】
1．已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1） ,解得，，， ,
依题意，，.
（2）是周期的数列 ,
，，， ,，，， ,
从而，，……，所以是周期为4的数列,
（）.
2．已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，.
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求；
（3）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得、、成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由得,由于,
故,即,所以.
故数列为等比数列,且,所以.
（2）,故,,
其中（常数）,所以数列是以1为首项、2为公差的等差数列,
,,,.
由（1）可得,,,因为,,
所以
.
（3）,
.
其中,,,假设存在正整数,使得、、成等比数列,
则有,即,所以,
解得,又因为,,所以,此时,所以存在满足题设条件、

3．已知数列满足，数列是公比为3的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，证明：；
（3）设数列的前项和为，证明：.
【解析】（1）由条件知：，∴.
（2）先证：时，成立.
只要证明，即证：，
只要证明，
即证：.
∵当时，显然成立.
∴命题成立.即：时，成立.
∴当时，
；
又∵当时，成立；
∴综上，成立.

4．已知等差数列的前项和为，其中．
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项和为．
【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意得
，解得所以；
（2）由（1）得，
①当时，，此时，
②当时，，此时，
，
综上：（或）．

5．等差数列中，
(1)求的通项公式
（2）设，求数列的前10项和，其中表示不超过x的最大整数，
如
【答案】（1）
【解析】（1） 由解得；
(2)a1=0.5,a2=1.1,a3=1.7,a4=2.3,a5=2.9,a6=3.5,a7=4.1,a8=4.7,a9=5.3,a10=5.9,∴b1=0,b2=1,b3=1,b4=2,b5=2,b6=3,b7=4,b8=4,b9=5,b10=5,∴S10=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+b9+b10=0+2×1+2×2+3+2×4+2×5=25,

6．已知等差数列中，，，
(1) 求数列的通项公式； (2) 求数列的前20项的和．
【解析】（1）由已知得a1+d=6 ，a1+6d=-4，解得a1=8，d= -2 ，所以 an=8+(n-1)(-2)=10-2n；
（2）令an≥0即10-2n≥0，所以n≤5，所以 n>5时an<0
所以 |a1|+|a2|+……+|an|=a1+a2+a3+a4+a5-a6-a7-……-a20=2(a1+a2+a3+a4+a5)-( a1+a2+……+a20) =260

7．已知数列满足：，已知存在常数使数列为等比数列.
（1）求常数及的通项公式；（2）解方程；（3）求
【解析】（1）由条件令，，
则：，故：，故
又，∴，∴.
（2）计算知，，，，，
故猜测，即，下证.
①当成立
②假设（）成立，即,
那么，故成立.
由（1）、（2）可知命题成立.故的解为.
（3）由（2）可得，时，

时，

8．已知数列满足，其中为数列的前项和，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，试比较与的大小．
【解析】（1）由，，可得，
又，解得，故，即，
当时，，
∴，
当时，符合上式，
故数列的通项公式为．
（2）由（1）可得，
∴
易知，所以
故．