艺术生高考数学专题讲义：考点31 数列的求和

考点三十一  数列的求和

知识梳理

1．公式法求和

常用的求和公式有：

(1) 等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.

(2) 等比数列的前n项和公式：Sn＝

(3)1＋2＋3＋…＋n＝；

(4)12＋22＋32＋…＋n2＝；

(5)13＋23＋33＋…＋n3＝；

(6)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2；

(7)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n.

2.错位相减法求和

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．

3.倒序相加法求和

适用于首末等距离的两项之和等于同一个常数这样的数列求和．

4.裂项相消法求和

方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和．

常用的裂项公式有：

(1)＝－；

(2)＝；

(3)＝－.

(4) ＝；

5.分组求和

通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和．

典例剖析

题型一  错位相减法求和

例1　(2015山东文)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝(an＋1)·，求数列{bn}的前n项和Tn.

解析  (1)设数列{an}的公差为d，

令n＝1，得＝，所以a1a2＝3.

令n＝2，得＋＝，所以a2a3＝15.解得a1＝1，d＝2，

所以an＝2n－1.经检验，符合题意．

(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，

所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，

所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋n·4n＋1，

两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝×4n＋1－.

所以Tn＝×4n＋1＋＝.

变式训练  (2015湖北文)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.

(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2) 当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

解析  (1)由题意有即解得或

故或

(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是

Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①

Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②

①－②可得

Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，

故Tn＝6－.

解题要点  错位相减法求和是最为重要的求和方法，要熟练掌握，计算时要注意首末留下的项的符号，同时计算要准确．

题型二  利用裂项相消法求和

例2　(2015江苏)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．

答案　

解析　∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝，

令bn＝，

故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10

＝2＝.

变式训练  (2015安徽文)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

解析  (1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8.

又a1＋a4＝9.可解得或(舍去)．

由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.

(2)Sn＝＝2n－1，

又bn＝＝＝－，

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－

＝1－.

解题要点  熟记常见的裂项公式是求解的关键．

题型三  分组求和与并项求和

例3　数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于____________.

答案  n2＋1－

解析  该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，

则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.

变式训练  数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.

答案　6

解析　由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，

∴an＋2＝an，

则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，

∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)

＝1＋10×＝6.

解题要点  分组和并项的目的，都是通过变形，把原式化为等差、等比或其它可求和的形式，体现了转化与划归的思想．

当堂练习

1．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为____________.

答案 

解析  an＝2n－1，设bn＝＝2n－1，

则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋3＋…＋2n－1＝＝.

2．数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，若前n项和为Sn，则Sn为____________.

答案  (＋－－1)

解析  ∵an＝＝(－)，

∴Sn＝(－1＋－＋－＋－＋…＋－＋－＋－)＝(－1－＋＋)＝(＋－－1).

3. 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝____________.

答案  100

解析  由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.

4．已知数列{an} 的前n 项和Sn＝，n∈N* .

(1)求数列{an} 的通项公式；

(2)设bn＝2an＋(－1)nan ，求数列{bn} 的前2n 项和．

解析  (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.

故数列{an}的通项公式为an＝n.

(2)由(1)知，an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.

记数列{bn}的前2n项和为T2n，

则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．

记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，

则A＝＝22n＋1－2，

B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.

故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.

5．等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为，满足S3＝15，a1＋2b1＝3，a2＋4b2＝6.

(1)求数列{an}，{bn}的通项an，bn；

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.

解析  (1)设{an}的公差为d，所以解得a1＝2，d＝3，b1＝，

所以an＝3n－1，bn＝n.

(2)由(1)知Tn＝2×＋5×2＋8×3＋…＋(3n－4)·n－1＋(3n－1)n，①

①×得Tn＝2×2＋5×3＋…＋(3n－4)×n＋(3n－1)n＋1，②

①                                                                                                                                        －②得

Tn＝2×＋3×－(3n－1)n＋1

＝1＋3×－(3n－1)·n＋1，

整理得Tn＝－(3n＋5)n＋5.

课后作业

一、    填空题

1． ＋＋＋…＋的值为____________.

答案  －

解析  ∵＝＝＝，

∴＋＋＋…＋

＝

＝

＝－.

2．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5，则数列的前8项和为____________.

答案  －

解析  设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.由已知可得

解得a1＝1，d＝－1，故{an}的通项公式为an＝2－n.

所以＝

＝，所以数列的前8项和为

＝－.

3．若数列{an}的通项为an＝4n－1，bn＝，n∈N*，则数列{bn}的前n项和是____________.

答案  n(n＋2)

解析  a1＋a2＋…＋an＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n－1)＝4(1＋2＋…＋n)－n＝2n(n＋1)－n＝2n2＋n，

∴bn＝2n＋1，

b1＋b2＋…＋bn＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n＋1)

＝n2＋2n＝n(n＋2).

4．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn＝____________.

答案  2n＋1－n－2

解析  ∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，

∴Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.

5．设数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·n，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝____________.

答案  50

解析  由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋2－3＋4＋…＋(－1)200·100＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－99＋100)＝50.

6．已知数列：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么数列的前n项和Sn为____________.

答案 

解析  an＝＝，∴bn＝＝＝4，

∴Sn＝4＝4＝.

7．等差数列{an}的通项公式an＝2n－1，数列{}，其前n项和为Sn，则Sn等于____________.

答案 

解析  ∵an＝2n－1，

∴＝＝.

∴Sn＝＝＝.

8．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为____________.

答案　

解析　bn＝＝＝－，

S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝.

9．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝19，a5＋b3＝9，则数列{anbn}的前n项和Sn＝__________.

答案  (n－1)·2n＋1

解析  由条件易求出an＝n，bn＝2n－1(n∈N*)．

∴Sn＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，①

2Sn＝1×2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n.②

由①－②，得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n，

∴Sn＝(n－1)·2n＋1.

10．若数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝____________.

答案  15

解析  a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10·28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝15.

11． (1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________.

答案　5 050

解析　原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝＝5 050.

二、解答题

12． (2015天津文)已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．

解析  (1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意q＞0.

由已知，有消去d，整理得q4－2q2－8＝0，

又因为q＞0，解得q＝2，所以d＝2.

所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*；

数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.

(2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n－1，

设{cn}的前n项和为Sn，则

Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，

2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，

上述两式相减，得

－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，

所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.

13．(2015福建文)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．

解析  (1)设等差数列{an}的公差为d，

由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.

(2)由(1)可得bn＝2n＋n，

所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)

＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)

＝＋

＝(211－2)＋55

＝211＋53＝2 101.