微专题7 数列求和的常用方法
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1.(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________;如果对折n次,那么eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(k=1))Sk=________ dm2.
2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列,bn=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an-6,n为奇数,,2an,n为偶数.))记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
3.(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,an)))是公差为eq \f(1,3)的等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:eq \f(1,a1)+eq \f(1,a2)+…+eq \f(1,an)<2.
【热点突破】
热点一 分组求和与并项求和
1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,或cn=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an,n为奇数,,bn,n为偶数,))且{an},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列的通项公式中有(-1)n等特征,根据正负号分组求和.
例1 (2023·上饶模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,a2=4,
且Sn+2-2Sn+1+Sn=2.
(1)证明:数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=1,b2+b3=0,求数列{an·bn}的前2n项和T2n.
规律方法 分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组,转化为若干个可求和的数列的和或差,然后再求和.
训练1 (2023·临沂模拟)已知数列{an}为等比数列,a1=1,a3+1是a2与a4的等差中项,Sn为{an}的前n项和.
(1)求{an}的通项公式及Sn;
(2)集合A为正整数集的某一子集,对于正整数k,若存在正整数m,使得lg2ak=Sm,则k∈A,否则k∉A.记数列{bn}满足bn=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2an,n∉A,,-1,n∈A,))
求{bn}的前20项和T20.
热点二 裂项相消法求和
裂项常见形式:(1)分母两项的差等于常数
eq \f(1,(2n-1)(2n+1))=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n-1)-\f(1,2n+1)));
eq \f(1,n(n+k))=eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)-\f(1,n+k))).
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
eq \f(2n,(2n-1)(2n+1-1))=eq \f(1,2n-1)-eq \f(1,2n+1-1);
eq \f(n+1,n2(n+2)2)=eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,n2)-\f(1,(n+2)2))).
(3)分母含无理式
eq \f(1,\r(n)+\r(n+1))=eq \r(n+1)-eq \r(n).
例2 (2023·广州模拟)已知等差数列{an}是递增数列,Sn为数列{an}的前n项和,S3=12,a6,a3,eq \f(a6-a3,2)成等比数列.
(1)求an;
(2)设bn=eq \f(1,2)an+Sn+1,求证:eq \f(1,b1)+eq \f(1,b2)+…+eq \f(1,bn)<1.
易错提醒 裂项相消法就是把数列的每一项分解,使得相加后项与项之间能够相互抵消,但在抵消的过程中,有的是依次项抵消,有的是间隔项抵消.
训练2 (2023·潍坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1+2Sn-1=3Sn(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)令bn=eq \f(an+1,SnSn+1),求数列{bn}的前n项和Tn.
热点三 错位相减法求和
如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时,可采用错位相减法.用其法求和时,应注意:(1)等比数列的公比为负数的情形;(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便准确写出“Sn-qSn”的表达式.
例3 (2023·黄冈模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=1,nan+1=2Sn+n(n∈N*).
(1)求证:数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an+1,n)))为常数列;
(2)设Tn=eq \f(a1,3a1)+eq \f(a2,3a2)+eq \f(a3,3a3)+…+eq \f(an,3an),求Tn.
易错提示 用错位相减法求和时,应注意:
(1)等比数列的公比为负数的情形;(2)作差后所得等比数列的项数;(3)最后一项的符号.
训练3 (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an+1,2n)))的前n项和Tn.
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