江苏省南京市六校联合体2021届高三上学期12月联考 数学 (含答案) 试卷

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2020-2021学年第一学期12月六校联合调研试题
高三数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．记全集U＝R，集合A＝{x| x2≥16}，集合B＝{x| lnx≥0}，则（CUA）∩B＝（ ）
A． [4，＋∞） B．（1，4] C． [1，4） D．（1，4）
2．设i为虚数单位，a∈R，“a＝1”是“复数z＝－是纯虚数”的（ ）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（第4题图）

3．已知圆C的圆心在直线y＝x上，且与y轴相切于点(0，5)，则圆C的标准方程是（ ）
A．(x＋5)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y－5)2＝25
C．(x－5)2＋(y－5)2＝5 D．(x＋5)2＋(y－5)2＝5
4．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.8的视标边长为（ ）
A． B． C． D．
y
x
（第6题图）
5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，直线y＝（x＋a）与C的一条渐
近线在第一象限相交于点P，若PA与x轴垂直，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．已知函数y＝f (x)的图象如右图所示，则此函数可能是（ ）
O
A．f (x)＝ B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝
7．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥P－ABC中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AB＝2，PA＝PC＝，
PB与底面ABC所成的角的余弦值为，则三棱锥P－ABC的外接球的体积为（ ）
A． B． C．9π D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是( )
A．若X~B（n，），且EX＝2，则n＝6
B．设有一个回归方程y＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）＝0.5
10．若函数f(x)＝sin2x的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法中正确的是（ ）
A．g(x)图象关于x＝对称 B．当x[0，]时，g(x)的值域为[－，]
C．g(x)在区间[，]上单调递减 D．当x∈[0，π]时，方程g(x)＝0有3个根
P
A
E
D
C
B
（第11题图）
11．如图，直角梯形ABCD， AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝，AB＝1，E为AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝．则（ ）
A．平面PED⊥平面EBCD
B．PC⊥ED
C．二面角P－DC－B的大小为
D．PC与平面PED所成角的正切值为网]
12．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P，则（ ）
A．·＝－
B．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线AB的斜率为
C．若抛物线上存在一点E（2，t）到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2＝8x
D．若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN 的最小值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，D为AB边上的中点，则·等于 ▲ ．
14．（x－2y）（x＋y）8的展开式中x2y7的系数为 ▲ ．用数字填写答案）
15．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递减，若不等式f(－ax＋lnx＋1)＋f(ax－lnx－1)≥2f(1)
对x∈[1，e2]恒成立，则实数a的取值范围为 ▲ ．
16．已知函数f(x)＝3cos（2x＋ ），当x∈[0，9π]时，把函数F(x)＝f(x)－1的所有零点依次记为x1，x2，x3，……，xn，且x1＜x2＜x3＜……＜xn，记数列{xn}的前n项和为Sn，则2Sn－（x1＋xn）＝ ▲ ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）在①·＝b2－ab，②atanC＝2csinA，③S＝(a2＋b2－c2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，已知______，
（1）求角C的大小；
（2）求sinA＋sinB的取值范围．

18．（本小题满分12分）已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an＞0，6Sn＝an2＋3an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝，若k＞Tn恒成立，求k的最小值．

19． （本小题满分12分）如图，点C是以AB为直径的圆上的动点（异于A，B），己知AB＝2，AC＝，AE＝，四边形BEDC为矩形，平面ABC⊥平面BEDC．设平面EAD与平面ABC的交线为l．
（1）证明：l∥BC；
（2）求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，……，20），其中xi和yi分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得，，，，．
（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求y关于x的线性回归方程；
使用年限
（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：
台数
款式

1年
2年
3年
4年
合计
甲款
5
20
15
10
50
乙款
15
20
10
5
50
某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？
参考公式：相关系数
对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，……，n），其回归直线的斜率和截距的
最小二乘估计分别为：，

21．（本小题满分 12 分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的一条准线方程为x＝，点（，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB面积（O为原点）的最大值．

22．（本小题满分 12 分）已知函数f(x)＝tetx(t＞0)，g(x)＝lnx，
（1）若f(x)在x＝0处的切线与g(x)在x＝1处的切线平行，求实数t的值；
（2）设函数φ(x)＝f(x)－g(x)，
①当t＝1时，求证：φ(x)在定义域内有唯一极小值点x0，且φ(x0)∈(2，)；
②若φ(x)恰有两个零点，求实数t的取值范围．


2020-2021学年第一学期12月六校联合调研试题
高三数学答案
一、单选题：1~8：CABDCDBA
二、多选题：9、ABD 10、AC 11、ACD 12、AD
三、填空题：13、－8；14、－48；15、[，]；16、
四、解答题：
17、解答:(1)选条件①·＝bccosA＝b2－ab所以cb·＝b2－ab，即b2＋c2－a2＝2b2－ab，所以b2＋a2－c2＝ab，所以cosC＝＝．…………………………………………………………3分
因为C∈(0，π)，…………………………………………………………4分
所以C＝．…………………………………………………………5分
选条件②atanC＝2csinA，有正弦定理得，sinA·＝2sinCsinA，因为A，B∈(0，π)，所以sinA，sinC＞0，因此cosC＝，…………………………………………………………3分
C∈(0，π)，…………………………………………………………4分
所以C＝．…………………………………………………………5分
所以选条件③S△ABC＝(a2＋b2－c2)＝2abcosC，S△ABC＝absinC，abcosC＝absinC，C∈(0，π)，sinC＞0，cosC＞0，tanC＝，…………………………………………………………3分
C∈(0，π)，…………………………………………………………4分
C＝．…………………………………………………………5分

（2） sinA＋sinB＝sinA＋sin(－A)＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，……………7分
A∈(0，)，－A∈(0，)，所以A∈(，)，A＋∈(，)，……………8分
所以sinA＋sinB∈(，]．…………………………………………………………5分
18、解析（1）当n＝1时，，解得a1＝3．……………1分
当n≥2时，由，得，两式相减并化简得，
由于，所以，即，………………………………4分

故是首项为3，公差为3的等差数列，所以．………………………………6分

（2）Sn＝ bn＝＝＝（－）．……………………8分
故Tn＝b1＋b2＋……＋bn＝（－）＋（－）……＋（－）＝（1－），由于{Tn}是单调递增数列，（1－）<……………………10分
，所以k．故k的最小值为．……………………12分
19、解∶（1）因为四边形BEDC为矩形，，DE平面，BC平面，所以BC平面，…………………2分
又平面∩平面=，又BC平面，所以得．…………………4分
（2）四边形BEDC为矩形，所以DC⊥BC,又平面ABC⊥平面BEDC，平面ABC∩平面BEDC=BC，DC平面BEDC，所以平面．所以AC，又AB为直径，所以AC⊥BC…………………6分
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，所以，，平面的法向量，…………………8分
设平面的法向量，所以，
即，…………………10分
所以…………………12分

20、（1）由题意知相关系数，…………3分

因为与的相关系数接近，所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.
（2）由题意可得，，…………5分

，所以.…………7分

（3）以频率估计概率，甲款垃圾处理机器的使用年限为（单位：年）的分布列为：

1
2
3
4





.…………9分

乙款垃圾处理机器使用年限为（单位：年）的分布列为：


2
3
4





.…………11分
因为，所以该机构购买一台甲款垃圾处理机器使用更长久. …………12分
21. （1）由得①，
由椭圆经过点得②，…………2分
联立①②，解得，，∴椭圆的方程是；…………4分
（2）由题意可知直线一定存在斜率，设其方程为，
联立消去得：，
则，得，
设、，则，，…………6分
∴，
∵，…………8分

设()，则，…………10分

当且仅当，即时等号成立，此时可取，
此时面积取得最大值.…………12分
注：Δ不检验，扣一分

22、解答:（1）f'(x)＝t2etx，g'(x)＝，t2＝1，（t＞0）t＝1…………2分

（2）①φ(x)＝ex－lnx(x＞0)，φ'(x)＝ex－，φ''(x)＝ex＋＞0，所以φ’(x)在定义域上是增函数，φ'()＝e－2＜0，φ'(1)＝e－1＞0，所以φ'(x)在区间(，1)上有唯一零点x0．当x∈(0，x0)时，φ'(x)＜0，即φ(x)是减函数；当x∈(x0＋∞)时，φ'(x)＞0，即φ(x)是增函数，所以x0是φ(x)的唯一极小值点．…………4分
e＝，x0＝－lnx0，x0∈(，1)．φ(x0)＝x0＋在(，1)是减函数，所以φ(x0)∈(2，)．…………6分
②因为tetx＞0，lnx≤0(0＜x≤1)所以φ(x)＝tetx－lnx的零点在(1，＋∞)上．
由题意得，xφ(x)＝(tx)etx－xlnx在(1，＋∞)上两个零点，设h(x)＝xlnx，h'(x)＝1＋lnx＞0，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函数，h(x)＝h(etx)，当且仅当x＝etx，即－t＝0有两个解．…………8分
设p(x)＝－t(x＞1)，令p'(x)＝＞0，x＜e，当x∈(1，e)，p'(x)＞0，p(x)是增函数，当x∈(e＋∞)，p’(x)＜0，p(x)是减函数，所以当x＝e时，p(x)的最大值为e－1－t，
(Ⅰ)当t＞e－1时，p(x)＜0恒成立，方程－t＝0无解，舍去；…………9分

(Ⅱ)当t＝e－1时，p(x)≤0恒成立，当且仅当p(e)＝0，方程－t＝0有唯一解e，舍去；…………10分

(Ⅲ)当0＜t＜e－1时，设p(e)＝e－1－t＞0，p(1)＝－t＜0，所以p(x)在(1，e)有唯一零点，由(Ⅱ)已证lnx≤，＝≤2＝，p((＋e)2)＜0，所以p(x)在(e＋∞)有唯一零点．
综上所述，当0＜t＜e－1时，φ(x)恰有两个零点．…………12分