黑龙江省大庆市大庆实验中学2021届高三上学期12月月考 文科数学 (含答案) 试卷

大庆实验中学2020—2021学年度上学期第二次月考

高三数学（文科）试题

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

第I卷（选择题  共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设，，则（    ）

A.        B.          C.       D.

2．设，且，则（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

3．复数(其中i为虚数单位)，则（    ）

A．5 B． C．2 D．

4．算盘是中国传统的计算工具，是一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表，下面一粒珠（简称下珠）是，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨粒下珠，算盘表示的数为质数（除了和本身没有其它的约数）的概率是（   ）

A． B． C． D．

5．已知集合,，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知等差数列的前项和为且公差，若，则（    ）

A． B． C． D．，

7．若x>1，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

9．某医学团队研制出预防新冠病毒的新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为（    ）

A．上午10：00 B．中午12：00 C．下午4：00 D．下午6：00

10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

11．四棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为的正方形，若四棱锥体积的最大值为54，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12．点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（　　）

A． B． C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

   本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．如下一组数据：10，12，25，10，30，10，13；则该组数据的中位数与众数的差为_________.

14．下列命题中正确的是__________（填序号）

①若直线与平面相交，则与平面内的任意直线都是异面直线；

②若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；

③若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面

15.设为的内心，，则为          .

16．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，...，在数学上，斐波那契数列

定义为，斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得：，所以，类比这种方法，请计算           

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知函数

（1）求的单调递增区间；

（2）记的内角A､B､C的对边长分别为a，b，c，若，求c.

18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，我校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了右侧的等高条形图：

（1）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；

（2）依题意，完成以下列联表（直接填写表格即可）：

是否有的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”.

19．如图，在边长为2的菱形中，，现将沿边折到的位置．

（1）求证：；

（2）求三棱锥体积的最大值．

20．已知椭圆E：过点，且离心率为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线，交椭圆E于A，B两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．

21．已知函数.

（1）讨论的单调区间；

（2）当时，证明：.

请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设原点在圆的内部，直线与圆交于、两点；以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线和圆的极坐标方程，并求的取值范围；

（2）求证：为定值.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

 已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最小值为，若，且，求的最小值.

高三数学（文科）第二次月考参考答案

一．选择题

二、填空题

13.  2       14.   ③      15.           16.  4895

三、解答题

17. （1），

利用正弦函数的单调增区间易得的单调增区间为，

（2），所以，因为角是的内角，所以

由余弦定理知：，解得或.

19.（1）如图所示，取的中点为，连接，易得， ,又 面  

（2）由（1）知 ， = ,

当时，的最大值为1.

20.（1）由已知得解得，所以椭圆E的方程为．

（2）设点，则．

由得，所以，

从而

所以，又不共线，所以为锐角．故点在以为直径的圆外．

21. （1）解：的定义域为，．

当时，，则的增区间为，无减区间．

当时，由，得．

当时，；当时，，

所以的减区间为，增区间．

（2）证明：法一：要证明．由于当时，，只要证．

设，则，，所以在上是增函数．

又，，

所以存在，使得，即，．

所以当时，；当时，，

因此在上是减函数，在上是增函数，所以有极小值，

且极小值为．

因此，即．综上，当时，．

法二：要证明，只要证．

设，则．当时，；当时，，

所以在上是减函数，在上是增函数，

所以是的极小值点，也是最小值点，且．

令，则．

当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，

所以是的极大值点，也是最大值点，且，

所以当时，，即．综上，当时，．

法三：要证明．

由于当时，，只要证．

设，

令，则，

当时，；当时，，所以在上是减函数，在上是增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，即．

设，则．

当时，；当时，，所以在上是减函数，在上是增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，即．

综上，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），

所以，故当时，．

22. 解（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，得，所以直线的极坐标方程为；

将圆的参数方程化为直角坐标方程，得，

所以圆的极坐标方程为.

由原点在圆的内部，得，解得，故的取值范围是.

（2）将代入，得.则，，所以，

故为定值.

23．解：（1）或或，

解得，即不等式的解集为.

（2），当且仅当时取等号，∴.故.由柯西不等式，

整理得，当且仅当，即，，时等号成立.

所以的最小值为.