黑龙江省大庆市重点高中2021届高三10月月考 数学（理）试题（含答案解析）

2020-2021上半学年高三年级第一次月考数学试题（理科）

时间：120分钟    满分：150分

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知命题：，，命题：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（    ）

A．     B．     C．   D．

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知平面向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A．20 B．24 

C． 18 D．16

6．已知是的奇函数，满足，若，则（    ）

A．—50 B．2 C．0 D．50

7．甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（    ）

A． B． C． D．

8．在等比数列中， 是方程的根，则

A．       B．        C．   D．

9．已知A、B是圆上的两个动点，且，．若点M是线段的中点，则（    ）

A． B．2 C． D．3

10．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①②③ B．②④ C．①② D．①③

11．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．5

12．已知函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）＝f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（    ）

A．       B．       C．       D．

二、填空题

13．函数，则____________．

14．的展开式中的系数为________.（用数字作答）

15．已知实数满足约束条件，则的最大值为______．

16．, 所成角

的余弦值             .

三、解答题

17．已知数列的前n项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前n项和为，求证：.

18．已知的内角所对的边为，,.

（1）求；（2）若角的平分线交于,且的面积为，求的长.

19．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.A

（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.

20．已知椭圆左，右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，过的直线与椭圆交于，两点.

（1）当时，求的最大值；

（2）点在线段上，且，点关于原点对称的点为点，求面积的取值范围.

21．已知函数.

（1）当时，求的最值；

（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点，直线l与曲线C相交于AB两点，求的值.

则，

所以数列的前n项和：

，

因为，所以，所以，

即.

18．

19．

(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，

故，从面.

所以，随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望.

(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.

且.

由题意知事件与互斥，

且事件与，事件与均相互独立，

从而由(Ⅰ)知：

.

20．

（1）当时，为线段的中点，根据椭圆的对称性，可知轴，

所以，

所以，当点在椭圆的左顶点时，等号成立，故的最大值为.

（2）由题可知，设，，，则，

由题意可知，，

联立，整理得，

由根与系数的关系得，，

所

，

令，

则，

因为在上是增函数，所以，

所以面积的取值范围为.

21．

22．(1)由,两式相加可得,即.

又,即

即.

(2)将化简成关于点的参数方程有：,（为参数）,

代入有,

则.