福建省永安市第一中学2021届高三上学期期中考试 数学（含答案）
展开永安一中2020—2021学年高三上学期期中考试
数学试题
（考试时间：120分钟 总分150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点，则该双曲线的虚轴长为
A． B． C． D．
3．若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知实数x，y满足，则的最大值为
A．0 B．2 C．4 D．6
5．如图所示的流程图中，输出的含义是
A.点到直线的距离
B.点到直线的距离的平方
C.点到直线的距离的倒数
D.两条平行线间的距离
6．设正项等比数列的前项和为，若，则公比
A． B．4 C． D．2
7．函数的图象大致为
8.直线截圆所得劣弧所对圆心角为
A． B． C． D．
9．已知等腰梯形中，，，分别为，的中点，为的中点，若记，，则
A． B． C． D．
10．已知是奇函数，且当时，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
11．已知函数在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是
A． B． C． D．
12．若曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.
13．已知，，则______．
14. 已知是椭圆的两个焦点，是上的一点．若且，则C的离心率为 ．
15． 已知数列的前项和为，其首项，且满足，则_______．
16．已知四棱锥的底面为矩形，平面平面于点，
，则四棱锥外接球的半径为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）设三角形的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求三角形面积的最大值.
18．（12分）已知为公差不为的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19.（12分）如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，，．
（1）证明：；
（2）若点为的中点，求三棱锥的体积．
20.（12分）已知抛物线的焦点为，经过点作直线与抛物线相交于两点,设．
(1)求的值；
(2)是否存在常数,当点M在抛物线上运动时,直线都与以为直径的圆相切？若存在,求出所有的值；若不存在,请说明理由．
21．（12分）已知函数.
（1）若，求的极值和单调区间；
（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为：为参数，)，曲线的极坐标方程为：.
（1）写出曲线的直角坐标方程;
（2）设直线与曲线相交于两点, 若，求直线的斜率.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数
（1）解不等式；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围.
参考答案
一选择题：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | C | C | B | A | D | A | D | B | B | C | C |
二、填空题：13．; 14. ; 15．; 16．2
三、解答题：
17．解：（1）由正弦定理：可化为 ………1分
即 ………………………………2分
即 ………………………………3分
所以 ………………………………4分
又, 所以 ………………………………5分
因为，所以 ………………………………6分
（2）由余弦定理得
即
所以，所以 ………………………………10分
所以三角形面积 ………………12分
18．解：（1）成等比数列，所以 ………………………………1分
即，即. ………………………………3分
因为，所以， ………………………………4分
所以. ………………6分
（2）由题意得：，， ………………8分
所以. ………………12分
19. 解：（1）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC的中点M，
所以， ………………………………2分
又，所以， …………………3分
又因为，
而，且，…4分
所以平面，又因为，
所以． ………………6分
（2）解：如图，因为是的中点，
所以…………………………10分
………………………12分
20.解：(1)法一：依题意过点的直线可设为，……………………1分
由，得， ……………………3分
设，则， …………………4分
∴y1y2＝－16. …………………………………5分
法二:∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)，
∴(x2－4，y2)． …………1分
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)在一条直线上，
∴(x1－4)y2－(x2－4)y1＝0. …………2分
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线y2＝4x上，
∴x1＝，x2＝， …………3分
∴y2－y1＝0，
即(y1－y2)＝－4(y1－y2)． …………4分
根据已知得y1≠y2，∴y1y2＝－16. …………5分
(2)存在． …………6分
∵F是抛物线P的焦点，
∴F(1,0)．
设M(x，y)，则MF的中点为N，|MF|＝1＋x. …………7分
∵直线x＝a与以MF为直径的圆相切的充要条件是N到直线x＝a的距离等于，
即＝，∴ax＝a2－a. …………9分
∵对于抛物线P上的任意一点M，直线x＝a都与以MF为直径的圆相切，
∴关于x的方程ax＝a2－a对任意的x≥0都要成立．
∴解得a＝0. …………11分
∴存在常数a，并且仅有a＝0满足“当点M在抛物线P上运动时，直线x＝a都与以MF为直径的圆相切”． …………12分
21．解：（1）， ………1分
令，得
当x变化时，的变化情况如下表：
x | 1 | ||
- | 0 | + | |
减 | 极小值 | 增 |
……4分
当时，函数有极小值1；函数的单调减区间为，单调增区间为； ………………5分
（2）若在区间上至少存在一点，使成立，即在区间上的最小值小于0 ………………6分
令，得 …………7分
①当时， 函数在区间上单调递减
函数在区间上的最小值为
由得，即 ………8分
②当时，
（i）当即时，函数在区间上单调递减
函数在区间上的最小值为
显然，这与在区间上的最小值小于0不符 ……9分
（ii）当即时
当x变化时，的变化情况如下表：
x | |||
－ | 0 | + | |
减 | 极小值 | 增 |
函数在区间上的最小值为 ………10分
由，得，即 ……………11分
综上述，实数a的取值范围是． ………………12分
22.解：（1）， ………1分
由,得. ……… 3分
所以曲线的直角坐标方程为. ………4分
（2）把 代入，整理得 ………5分
设其两根分别为 ，则 ………6分
………7分
得，， ………9分
所以直线的斜率为. ………10分
23.解：（1）由已知得
当时，
当时，
当时，舍
综上得的解集为 …………5分
（2）
有解
，或
的取值范围是. …………10分
