湖北省宜昌市第一中学2020年秋季学期高一年级期中考试数学试卷
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数 学 答 案
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B【详解】,
2.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
3.下列每组函数是同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
4.设函数，则（ ）
A. B. -1 C. D.
【答案】A
5.已知，则
A. B. C. D.
【答案】B
6.若命题“存在,使”是真命题,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
7.已知集合,,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
8.已知，则的最小值为（ ）.
A. 9 B. C. 5 D.
【答案】B.，且，
，当且仅当，即时，取得最小值2.的最小值为.
9.下列命题正确的是（ ）
A. 偶函数的图象一定与轴相交； B. 任取，均有；
C. 在同一坐标系中，与的图象关于轴对称；
D. 在上是减函数．
【答案】BC【详解】中，为偶函数，但与轴无交点，错误；
中，在同一坐标系中画出与的图象，如下图所示：由图象可知，当时，，正确；中，与关于轴对称，正确；中，当，时，不满足单调递减的定义；的单调递减区间应为：和，错误.
10.已知,则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【详解】对于A,由,可得,故A错误;.综上所述,正确的是: BCD.
11.如图所示是函数的图象,图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交,则以下描述正确的是( )
A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为
C. 此函数在定义域内是增函数 D. 对于任意的,都有唯一的自变量与之对应
【答案】BD
【详解】对于A,由函数的图象可知,函数的定义域为,故A不正确;对于C,函数在是增函数,结合图象可知,此函数在定义域内不是增函数,故C错误。
12.以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：（ ）
A．设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”
B．函数的充要条件是有最大值和最小值
C．若函数，的定义域相同，且，，则
D．若函数有最大值，则
【答案】ACD
【解析】对D，函数有最大值，假设，当时，，，，则，与题意不符； ，即函数，当时，，，即；当时，；当时，，，即．，即，故命题D是真命题．
13. 已知，则________________.
【答案】
【详解】，，。
- 已知函数 是上的增函数，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
，∴解可得，故答案为.
15.已知，当时，恒为正值，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】解：令，则，
若时，恒为正值，
则对恒成立，，
综上所述，，即实数的取值范围为.
16.若实数满足，则的最大值为________.
【答案】
【详解】由，得，设，其中.则，从，记，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.
17.计算：（1）；
（2）．
【答案】(1);(2)
【详解】(1)
(2)
18. 已知集合，，。
（1）
（2）若，求的取值范围.
【答案】．（1），或；（2），．.
【详解】（1）因为集合，所以，∵或，∴或；
（2）由（1）知，
①当时，满足，此时，得；
②当时，要，则，解得；
由①②得，，综上所述，所求实数的取值范围为，．
19.已知函数,若函数是定义域上的奇函数,且.（1）求的值;（2）判断函数在上的单调性,并用定义进行证明.
【答案】（1）,.（2）函数在上的单调递增.
【详解】（1）化简可得:,解得:,即
又,,即,综上可得,.
（2）由（1）可知,故函数在上的单调递增.证明:任取, ,,, ,即,函数在上的单调递增.
20.已知定义域为的函数满足对任意，都有．
（1）求证：是偶函数；
（2）设时，①求证：在上是减函数；②求不等式的解集．
【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析, ②
【详解】
（1）易得，取，得，即是偶函数．
（2）①设，则，由时，得，则，即在上为减函数，
②由是偶函数且在上是减函数，则不等式等价为，即得，得，
即或或，即不等式的解集为.
21.通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律\left(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知：
(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟?
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中?
(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?
【答案】（1）讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟；（2）讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中；（3）经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.
【详解】(1)当0<t⩽10时,f(t)=−t2+24t+100=−(t−12)2+244是增函数,且f(10)=240；
当20<t⩽40时,f(t)=−7t+380是减函数，且f(20)=240.
所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟．
(2)f(5)=195,f(25)=205，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．
(3)当0<t⩽10时,f(t)=−t2+24t+100=180，则t=4；当20<t⩽40时,令f(t)=−7t+380=180，
t≈28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57−4=24.57>24，
所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
22.已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若且在 上的最小值为，求的值.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以所以，
（2）因为，所以，解得或（舍去），
所以，
令，则，所以，
所以在上的最小值为，
所以当时， ，解得或（舍去），
当时， ，解得，综上可知：.
