浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

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高一年级数学试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.集合，，，则的子集个数为（  ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出，再求中元素的个数，进而求出子集的个数。

【详解】由题可得，所以，里面有2个元素，所以子集个数为个

故选D

【点睛】本题考查集合的基本运算，子集的个数为个， 指元素个数

2.已知是锐角，那么是（   ）

A. 第一象限角 B. 第一象限角或第二象限角

C. 第二象限角 D. 小于的正角

【答案】D

【解析】

【分析】

根据是锐角求出的取值范围，进而得出答案。

【详解】因为是锐角，所以 ，故

故选D.

【点睛】本题考查象限角，属于简单题。

3.下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 (    )

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

利用根式与分数指数幂的关系化简计算即可。

【详解】，故A错

，故B错

，故D错

所以选C

【点睛】本题考查根式与分数指数幂的化简计算，属于基础题。

4.设，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

试题分析：根据我们所学的指数函数和对数函数的性质可知，，，，因此可知，故选B.

考点：对数函数性质

点评：解决的关键是对于不同底数的对数和指数式比较大小，一般找中间量即可，1,0为常用的常数,属于基础题。

5.函数的大致图象是  (    )

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

对函数求导，求函数的单调性，再考虑趋向性。

【详解】由题可得 ，即 ，解得

即 ，解得

所以在上函数单调递增，在上函数单调递减，且当时，

时，

故选A

【点睛】本题考查有函数解析式判断函数的图像，一般方法是利用函数的特殊值，单调性，奇偶性，趋向性等，属于一般题。

6.函数的单调递减区间为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求函数的定义域，再由复合函数的内外函数同增异减的性质判断单调区间

【详解】因为，所以，解得或

令，因为的图像开口向上，对称轴方程为 ，

所以内函数在上单调递增，

外函数单调递减，

所以由复合函数单调性的性质可知函数的单调递减区间为

故选A.

【点睛】本题考查复合函数的单调性，解题的关键是掌握复合函数单调性同增异减的方法，属于一般题。

7.已知函数对于任意实数满足条件，若，则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据条件可得函数是周期为的函数，，然后利用周期性即可得到答案。

【详解】因为，

所以

即函数周期是4，所以

又因为，所以

故选C.

【点睛】本题考查函数的周期性，解题的关节是求出函数的周期，属于一般题。

8.已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（  ）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

令，根据奇函数的性质即可求出，进而得出答案。

【详解】令，则

所以是奇函数，即

所以

故选B

【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的关键是令，判断其奇偶性，属于一般题。

9.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于（  ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 12

【答案】A

【解析】

【分析】

由题可知函数的图像关于对称，求出时函数的解析式，然后由韦达定理求解。

【详解】因为为奇函数，所以图像关于对称，

所以函数的图像关于对称，即

当时，，

所以当时，

当时，可得

当时，可得

所以的所有根之和为

故选A

【点睛】本题考查函数的奇偶性以及求函数的解析式，解题的关键是得出函数的图像关于对称，属于一般题。

10.若实数满足，求的最小值为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题可得，所以，进而得出，

令，则，利用双勾函数的性质得出答案。

【详解】由题可得，当时上式不成立，故

所以 且，则或

所以

令，则

则有（双勾函数），令，解得

又因为，

所以当时，

所以的最小值为

故选D.

【点睛】本题主要考查双勾函数，解题的关键时得出，属于一般题。

二、填空题．

11.计算：=_______；=_______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

（1）由三角函数的诱导公式计算即可

（2）有指数与对数的运算法则计算即可。

【详解】（1）

（2）

【点睛】本题考查三角函数值的计算以及指对运算，属于基础题。

12.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的半径为___；扇形的面积为____.

【答案】    (1). 2    (2). 2

【解析】

【分析】

设扇形的半径是，由扇形的周长为，圆心角为，解得半径，再求面积。

【详解】设扇形的半径是，因为扇形的周长为，圆心角为，

所有，解得，即扇形的半径为，

所以扇形的面积为

【点睛】本题考查扇形有关量的计算，属于简单题。

13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则＝____，在上的解析式为______

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

是定义在上的奇函数，所以，所以；

当时，，所以，又因为，进而可得答案。

【详解】是定义在上的奇函数，所以，

当时，，所以；

当时，，所以，即，

所以在上的解析式为

【点睛】本题考查由函数的奇偶性求函数值和解析式，解题的关键是熟练掌握奇偶性的性质，属于一般题。

14.已知，则=____；= ____

【答案】    (1).     (2). 2

【解析】

【分析】

将的分子分母同时除以，再将代入即可；

由题，分子分母同时除以，再将代入即可。

【详解】将的分子分母同时除以得，将代入可得；故

，分子分母同时除以得

【点睛】本题考查由同角三角函数的基本关系式求值，属于基础题。

15.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点,=______．

【答案】

【解析】

【分析】

由题可得，，代值计算即可。

【详解】由题可得，

【点睛】本题考查任意角的三角函数值计算，属于基础题。

16.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

因为函数是上的增函数，所以当，时是增函数，当，也是增函数，且，从而可得答案。

【详解】因为函数是上的增函数，所以当，时是增函数，即且 ；

 当，也是增函数，所以即 （舍）

或 ，解得 且

因为是上的增函数，所以即，解得 ，

综上

【点睛】本题以分段函数为背景考查函数的奇偶性，解题的关键是既要在整个定义域上是增函数，也要在各段上是增函数且

17.已知函数，，若对任意的，都有，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】

由的单调性可得，求得的最小值为，再结合题意有且，从而解得答案。

【详解】在上是减函数，故

且，

在上有意义，则，解得；

而在上，，

所以最小值为

因为对任意的，都有

故，即

解得或（舍）

所以

综上

【点睛】本题考查函数的综合应用，包含了恒成立问题，属于偏难题目。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.全集，集合,.

求: （Ⅰ） ；

（Ⅱ） .

【答案】（I）（II）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先求出集合,再求

（Ⅱ）先求出集合,再求，然后求得

【详解】（Ⅰ）由题即 ，解得

所以

所以

（Ⅱ）由题可知即，解得 ；

，所以

所以

【点睛】本题考查集合的基本运算，解题的关键是分别求出集合，属于简单题。

19.若集合，

（Ⅰ） 当时，求；

（Ⅱ） 若，求实数的取值范围 .

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先由题解出当时的集合，再求；

（Ⅱ）若，则或,即或或或，分情况讨论即可得到答案。

【详解】（Ⅰ）由题解得或，即；

当时，为解得或，

即，

所以

（Ⅱ）若，则或，由（Ⅰ）可知

所以或或或

当时，，即，此方程无解；

当时，，即，

解得或；当时，不符合题意，

当时，，解得或

当时，由韦达定理可得，无解

综上或

【点睛】本题考查集合的基本运算，解题的关键是分别求出集合，且若，则，属于一般题。

20.已知函数,

（Ⅰ） 若函数在上有最大值，求实数的值;

（Ⅱ） 若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题，，令，转化为关于的二次函数求参数范围

（Ⅱ）由（Ⅰ），令，因为函数在上有且只有一个零点，所以的图像在上与轴只有一个交点，进而得到答案。

【详解】（Ⅰ）由题，因为

所以令，对称轴为

当时， 解得（舍）

当时，，解得

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ），令，对称轴为

因为函数在上有且只有一个零点，

所以的图像在上与轴只有一个交点

所以 ，解得

或者即，整理解得

当时，与轴有两个交点，故舍

综上或

【点睛】本题考查函数的综合应用，解题的关键是得出，函数有一个零点即函数图像轴只有一个交点，属于一般题。

21.已知二次函数（是实数），若对于恒成立.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求函数在上的最小值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题可得对于恒成立，利用恒成立的等价条件可得答案。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，图像开口向上，对称轴为 ，

分，，三种情况讨论即可得到答案。

【详解】（Ⅰ）因为，且对于恒成立.

所以对于恒成立，

即对于恒成立，

，即 ，

所以 ，即

所以，即，整理有

所以

所以解得

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，图像开口向上，对称轴为

当时，在上单调递增，所以当时取得最小值，；

当即 时，在处取得最小值，此时；

当即时，在上单调递减，所以当时取得最小值，

；

综上

【点睛】本题考查函数的恒成立问题以及最值问题，解题的关键是理解恒成立的解题方法，求出解析式，属于偏难题目。

22.已知函数，其中为实数。

（Ⅰ）当时，求函数的最小值；

（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）对于给定的负数，若存在两个不相等的实数（ 且 ）使得，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或；（Ⅲ）见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题可知

当时，，分别讨论该函数在各段上的最小值和区间端点值，进而求出在整个定义域上的最小值；

（Ⅱ）因为在上为增函数，分，，三种情况讨论即可

（Ⅲ）因为 ，则 在 上为减函数，在上为增函数，所以 ，令，分，两种情况具体讨论即可。

【详解】解：

(Ⅰ) 当时，

所以当时有最小值为 ；

当时，由得，

所以当时，函数的最小值为

（Ⅱ）因为在上为增函数，

若，则在上为增函数，符合题意；

若，不合题意；

若，则，从而

综上，实数的取值范围为或。

（Ⅲ）因为 ，则 在 上为减函数，在上为增函数，

所以 ，令

1、若 ，则，由 知且

所以

令 ，则 在 ，上增函数，

在，上为减函数

(1)当时，且 ,

则 在 ，上为增函数，在，上为减函数

从而当且

所以 或

(2)当时，且 ,

则 在 ，上为增函数，在上为减函数

从而当且

所以 或

(3)当时，且 , 则 在 ，上为增函数，

从而当且

所以 或

2、若 ，则，且

因

综上所述，

当时，的取值范围为；

当时，的取值范围为；

当时，的取值范围为。

【点睛】本题考查函数的综合应用，包括求最值，单调性，分类讨论思想等，属于偏难题目。