辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷含答案

这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷含答案，共12页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．命题“存在， ”的否定是
A． 不存在， B． 存在，
C． 对任意的， D． 对任意的，
2．已知全集为R，集合M=xx+1x-2≤0，N=x|(ln2)1-x<1，则集合M∩(CRN)=
A． -1,1 B． -1,1 C． 1,2 D． 1,2
3．如果aA． a-b>0 B． acb2 D． 1a<1b
4．已知函数fx=lg5x,x>02x,x≤0，则ff125=
A． 4 B． 14 C． -4 D． -14
5．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A﹣BCD的体积的最大值为 ,
A． 43 B． 125 C． 245 D． 5
6．3+5x-2x2>0的一个充分但不必要的条件是
A． -127．已知互不重合的直线a,b,互不重合的平面α,β,给出下列四个命题，正确命题的个数是
①若a // α，a // β，α∩β=b，则a // b
②若，a⊥α，b⊥β则a⊥b
③若α⊥β，α⊥γ，β∩λ=a，则a⊥α
④若α // β，a // α，则a//β
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
8．已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0，则xzy2的
A． 最大值为18 B． 最小值为18
C． 最大值为8 D． 最小值为8
9．已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。其中正确的是
A． （1）（2）（3） B． （1）（4） C． （1）（2）（4） D． （2）（4）
10．函数fx=ex+e-xex-e-x，若a=f-12，b=fln2，c=fln13，则有
A． c>b>a B． b>a>c C． c>a>b D． b>c>a
11．设函数 QUOTE \* MERGEFORMAT ，，若，使得和同时成立，则的取值范围为
A． B．
C． D．
12．将边长为2的正ΔABC沿着高AD折起，使∠BDC=120∘，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为
A． 72π B． 7π C． 132π D． 133π
二、填空题
13．已知圆锥的母线长为4cm，圆锥的底面半径为1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面A点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程长为________cm
14．已知x>0,y>0,x+2y=1，则4x+1y的最小值是________
15．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是 。
16．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为36的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是________．
三、解答题
17．已知幂函数f(x)=(m-1)2x m2-4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x-k
(Ⅰ)求m的值；
(Ⅱ)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
18．解关于x的不等式ax-1x-2>0
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，A1D⊥平面ABC，AB=BC，平面BB1D与棱A1C1交于点E．
（1）求证：AC⊥A1B；
（2）求证：平面BB1D⊥平面AA1C1C；
20．某厂家拟在2019年举行促销活动，经过调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x（单位：万件）与年促销费用t（t≥0）（单位：万元）满足x=4-k2t+1（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件. 已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.
（1）将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
21．如图C,D是以AB为直径的圆上的两点，,F是AB上的一点，且,将圆沿AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知
（1）求证：AD平面BCE
（2）求证：AD//平面CEF；
（3）求三棱锥A-CFD的体积.
22．已知函数f(x)(x∈D)，若同时满足以下条件：
①f(x)在D上单调递减或单调递增；
②存在区间[a,b]⊆D，使f(x)在[a,b] 上的值域是[a,b]，那么称f(x) (x∈D)为闭函数．
（1）求闭函数f(x)=-x3符合条件②的区间[a,b] ；
（2）判断函数f(x)=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a,b]；若不是请说明理由；
（3）若f(x)=k+x+2是闭函数，求实数k的取值范围
2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校
高一上学期期中考试数学试题
数学 答 案
参考答案
1．D
【解析】特称命题的否定是全称命题，
所以为“对任意的， ”，故选D。
2．D
【解析】
【分析】
由题意，求得集合M=x|-1≤x<2,N={x|x<1}，再根据集合的补集和交集的运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意可得，集合M={x|x+1x-2≤0}=x|-1≤x<2,N={x|x<1}，
所以CRN={x|x≥1}，所以M∩(CRN)={x|1≤x<2},故选D.
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中正确求解集合M,N，再根据补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．C
【解析】
试题分析：令a=-2,b=-1,c=0，代入验证排除A，B，D选项，故选C.
考点：不等式的基本性质.
4．B
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，代入求解，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数fx=lg5x,x>02x,x≤0，则f(125)=lg5125=-2，
所以f(f(125))=f(-2)=14，选B.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中正确把握分段函数的解析式，根据分段条件代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．C
【解析】
【分析】
当平面ABC⊥平面ACD时，得到的四面体A-BCD的体积取最大值，由此能求出四面体A﹣BCD的体积的最大值．
【详解】
矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，
当平面ABC⊥平面ACD时，
得到的四面体A-BCD的体积取最大值，
此时点B到平面ACD的距离d=AB×BCAC=4×316+9=125，所以SΔADC=12×4×3=6，
∴四面体A﹣BCD的体积的最大值为：V=13×SΔADC×d=13×6×125=245,故选C.
【点睛】
本题主要考查了三棱锥的体积的最值问题，其中解答中根据题意，把矩形折叠成一个三棱锥，求解点B到平面ACD的距离是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
6．B
【解析】
【分析】
先求解不等式的解集，再根据集合的大小关系判定得到充分不必要条件，即可得到答案.
【详解】
由不等式3+5x-2x2>0，可得2x2-5x-3<0，解得-12由此可得：选项A，-120成立的一个充要条件；
选项B，-120成立的一个充分不必要条件；
选项C，-10成立的一个必要不充分条件；
选项D，-30成立的一个既不充分也不必要条件，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的求解，其中根据一元二次不等式的解法求解不等式的解集，再根据集合之间的关系判定充要条件是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
由线线平行的性质定理能判定A是正确的；由面面垂直和线面垂直的性质定理能判断B的正误；由线面垂直的判定定理能判定C的正误，在D中，可得α//β或a⊂β，即可得到答案.
【详解】
由题意，已知互不重合的直线a,b和互不重合的平面α,β，
在A中，由于α∩β=b,a//α,a//β，
过直线a平面α,β都相交的平面γ，记α∩γ=d,β∩γ=c，
则a//d且a//c，所以d//c，
又d//b，所以a//b，故A是正确的；
在B中，若α⊥β,a⊥α,b⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得a⊥b，所以是正确；
在C中，若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a，则由线面垂直的判定定理得a⊥α，所以是正确；
在D中，若α//β,a//α，则α//β或a⊂β，，所以是不正确的，故选C.
【点睛】
本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，合理作出证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
8．A
【解析】
【分析】
由题意知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0，则y=x+2z，
化简xzy2=xz(x+2z)2=xzx2+4xz+4z2=1xz+4zx+4，利用基本不等式即可求解.
【详解】
由题意知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0，则y=x+2z，
又由xzy2=xz(x+2z)2=xzx2+4xz+4z2=1xz+4zx+4≤12xz×4zx+4=18，
当且仅当xz=4zx，即x=2z时等号成立，所以xzy2最大值为18，故选A.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，化简求得xzy2=xz(x+2z)2=xzx2+4xz+4z2=1xz+4zx+4，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9．C
【解析】
【分析】
根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.
【详解】
如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；
如图（2），直线a,b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；
如图（3），直线a,b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，
综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.
【点睛】
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.
10．D
【解析】分析：首先分离常数得出fx=1+2e2x-1，可判断出fx在-∞,0上单调递减，且x>0时，fx>0，x<0时，fx<0，从而判断出 b>0,a,c<0，再根据fx在-∞,0上减函数，判断出a,c的大小关系，从而最后得出a,b,c大小关系.
详解：fx=e2x+1e2x-1=1+2e2x-1，∴fx在-∞,0,0,+∞上为减函数，
且x<0时，fx<0,x>0时，fx>0，
且ln2>0,-12<0,ln13<0，∴b>0,a<0,c<0，
且-12=-lne,ln13=-ln3，
且-lne>-ln3，∴-12>ln13，
∴fx在-∞,0上单调递减，
∴f-12即c>a,∴ b>c>a，故选D.
点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间-∞,0,0,1,1,+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用
11．A
【解析】
试题分析：函数的图象恒过定点（1，4），的图象恒过定点（2，0），利用这两个定点，结合图象解决．
由知，又存在，使得，
知即或，另中恒过（2，0），
故由函数的图象知：
a=0时，恒大于0，显然不成立．
若时，，；
若a<0时，，
此时函数图象的对称，故函数在区间为增函数，
又不成立．故选A．
考点：一元二次不等式的解法
12．B
【解析】
【分析】
通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OM，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．
【详解】
△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，
底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为：r,由余弦定理得到BC=3，再由正弦定理得到3sin1200=2r⇒r=1.
见图示：
AD是球的弦，DA=3，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置O，∴OM=32，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD，OD即为球的半径.∴球的半径OD=1+34=72．
该球的表面积为：4π×OD2=7π；
故选：B．
【点睛】
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
13．42
【解析】
【分析】
由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为θ，
利用扇形的弧长公式和勾股定理，即可求解.
【详解】
由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为θ ，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=4π×θ180，解得θ=900，
所以展开图中圆心角为90°，
根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是16+16=42．
【点睛】
本题主要考查了旋转体的侧面展开图的应用问题，其中解答中根据圆锥的侧面展开图，利用弧长公式求解圆心角的度数，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力.
14．6+42
【解析】
【分析】
由题意，整理得4x+1y=(4x+1y)⋅(x+2y)=4+2+8yx+xy，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意知x>0,y>0,x+2y=1，
则4x+1y=(4x+1y)⋅(x+2y)=4+2+8yx+xy≥6+28yx⋅xy=6+42，
当且仅当8yx=xy，即x=22y时等号成立，即4x+1y的最小值为6+42.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中根据题意，化简4x+1y
=(4x+1y)⋅(x+2y)=4+2+8yx+xy，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．[2，3）
【解析】
试题分析：若0＜a＜1，则函数在区间（-∞，1]上为增函数，不符合题意；若a＞1，则在区间（-∞，1]上为减函数，且t＞0∴即a的取值范围是[2，3）．
考点：对数函数的图象与性质．
16．483
【解析】
【分析】
由题意，小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近变得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为36，故小三角形的边长为6，做出面积相减，即可得到结果.
【详解】
由题意，考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，
易知小球在面上最靠近变得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为36，
故小三角形的边长为6，
小球与一个面不能接触到的部分的面积为
12×36×36×32-12×6×6×32=123，
所以几何体的四个面永远不可能接触到容器的内壁的面积是4×123=483.
【点睛】
本题主要考查了几何体的结构特征的应用，其中解答的关键是看出小球的运动轨迹是什么，得到一个正三角形，通过计算正三角形的面积之间的关系，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
17．(1)m=0,(2)0≤k≤1
【解析】
试题分析：根据幂函数定义得出(m-1)2=1解出m值，根据函数单调性取舍m，根据x范围求出值域A、B，利用集合包含关系求出k的范围.
试题解析：
（Ⅰ）依题意得：(m-1)2=1,⇒m=0或m=2
当m=2时，f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去
∴ m=0．
（Ⅱ）当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增，∴ A=[1,4],B=[2-k,4-k]，
由命题p是q成立的必要条件，得B⊆A，∴ 2-k≥14-k≤4⇒0≤k≤1．
18．见解析
【解析】
【分析】
由题意，原不等式等价于(ax-1)(x-2)>0，分类讨论，即可求解不等式的解集.
【详解】
原不等式等价于(ax-1)(x-2)>0
(1)当a=0时，解集为(-∞,2)
(2)当a<0时，原不等式可化为(-ax+1)(x-2)<0，
因为1a<2，所以解集为(1a,2)
(3)当02，解集为(-∞,2)∪(1a,+∞)
(4)当a=12时，原不等式等价于(12x-1)(x-2)>0，即(x-2)2>0，
解集为(-∞,2)∪(2,+∞)
(5)当a>12时，1a<2，解集为(-∞,1a)∪(2,+∞)
综上所述，当a=0时，解集为(-∞,2)；当a<0时，解集为(1a,2)；
当012时，解集为(-∞,1a)∪(2,+∞)
【点睛】
本题主要考查了含参数的分式不等式的求解，以及含参数的一元二次不等式的求解问题，其中解答中根据参数，合理分类讨论求解不等式的解集是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力.
19．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）推导出A1D⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面A1BD，由此能证明AC⊥A1B．
（Ⅱ）推导出A1D⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面A1ACC1，由此能证明平面BB1D⊥平面AA1C1C．
【详解】
证明：（1）因为 A1D⊥平面ABC，所以 A1D⊥AC．
因为△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，所以 BD⊥AC．
因为 A1D∩BD=D，
所以 AC⊥平面A1BD．
所以 AC⊥A1B．
（2） 因为 A1D⊥平面ABC，
因为 BD⊂平面ABC，所以 A1D⊥BD．
由（1）知 BD⊥AC．
因为 AC∩A1D=D，
所以 BD⊥平面A1ACC1．
因为 BD⊂平面BB1D，
所以 平面BB1D⊥平面AA1C1C．
【点睛】
本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
20．（1）y=27-182t+1t≥0；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意，根据1=4-k1，求得k的值，得到x=4-32t-1，进而得到函数利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，化简函数的解析式y=27-182t+1-t=27.5-[9t+12+(t+12)]，利用基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）由题意有1=4-k1，得k=3
故x=4-32t+1.
∴y=27-182t+1-t=27.5-[9t+12+(t+12)]≤27.5-29=21.5
=27-182t+1-t(t≥0)
（2）由（1）知：
y=27-182t+1-t=27⋅5-[9t+12+(t+12)]≤27⋅5-29=21⋅5
当且仅当9t+12=t+12,即t=2⋅5时，y有最大值.
答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.
【点睛】
本题主要考查了函数的实际问题，其中解答中认真审题，建立函数的解析式，化简解析式，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以推理与运算能力.
21．（1）参考解析；（2）参考解析；(3)
【解析】
试题分析：（1）因为由于AB是圆的直径，所以AD⊥BD,又因为点C在平面ABD的射影E在BD上，所以CE⊥平面ADB.又因为平面ADB.所以AD⊥CE.又因为.所以AD⊥平面BCE.
（2）因为，.有直角三角形的勾股定理可得.在直角三角形BCE中，又.所以.又BD=3，.所以可得.所以AD∥FE，又因为平面CEF, 平面CE.所以AD//平面CEF.
(3)通过转换顶点三棱锥A-CFD的体积.因为.所以.
试题解析：（1）证明：依题意：
平面 ∴
∴平面． 4分
（2）证明：中，， ∴
中，， ∴．
∴ ． ∴
在平面外，在平面内，
∴平面． 8分
（3）解：由（2）知，，且
平面
∴． 12分
考点：1.线面垂直.2.线面平行.3.几何体的体积公式.4.图形的翻折问题.
22．（1）a=-1，b=1；（2）见解析；（3）-94,-2
【解析】
【分析】
（1）由y=-x3在R上单减，列出方程组，即可求a,b的值；
（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知2a+lga=a2b+lgb=b 即lga=-algb=-b，结合对数函数的单调性可判断
（3）易知y=k+x+2在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组k+a+2=ak+b+2=b 有解，方程x=k+x+2至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围
【详解】
解：（1）∵y=-x3在R上单减，所以区间[a，b]满足a解得a=﹣1，b=1
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则2a+lga=a2b+lgb=b，即lga=-algb=-b
∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点
故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数
（3）易知y=k+x+2在[﹣2，+∞）上单调递增．
设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组k+a+2=ak+b+2=b有解，方程x=k+x+2至少有两个不同的解
即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．
∴Δ>0f(k)=k2-k(2k+1)+k2-2≥02k+12>k 得-94【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的综合应用，函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数与方程的交点相互转化关系，合理转化为二次函数的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了函数知识及数形结合思想的应用，以及转化思想的应用，试题有较强的综合性，属于难题.