高中人教版新课标A2.5 平面向量应用举例导学案

2.5　平面向量应用举例

问题导学

一、向量在平面几何中的应用

活动与探究1

如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2=DB2－DC2．

求证：AD⊥BC．

迁移与应用

如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB=2AD=2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；

(2)D，M，B三点共线．

(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．

(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．

二、向量在物理中的应用

活动与探究2

在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．

迁移与应用

如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．

求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；

(2)当|F1|≤2|G|时，角θ的取值范围．

向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题．同时该类题目往往涉及三角形问题，能够正确作图是解决问题的关键．

当堂检测

1．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)

A．(0,5)      B．(4，－1)      C．2      D．5

2．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　　)

A．平行四边形      B．矩形

C．等腰梯形        D．菱形

3．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为(　　)

A．2      B．3      C．4      D．8

4．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则·＝__________．

5．已知力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体所做的功为________．

答案：

课前预习导学

【预习导引】

1．向量

2．加

3．向量　向量问题　数量积

预习交流　提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的．

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1　思路分析：解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．

证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d．

∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2．

由已知a2－b2＝c2－d2，

∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0．

∵＝＋＝d－c，

∴·＝e·(d－c)＝0．

∴⊥，即AD⊥BC．

迁移与应用　证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．令||=1，则||=1，||=2．

∵CE⊥AB，而AD=DC，

∴四边形AECD为正方形．

∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．

(1)∵=(－1,1)－(0,0)=(－1,1)，

=(0,1)－(1,0)=(－1,1)，

∴=，

∴∥，即DE∥BC．

(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，

∴M，

∴=(－1,1)－=，

=(1,0)－=．

∴=－，∴∥．

又MD与MB有公共点M，

∴D，M，B三点共线．

活动与探究2　思路分析：解本题首先根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解．

解：设ω=风速，va=有风时飞机的航行速度，νb=无风时飞机的航行速度，νb=νa－ω．如图所示．

设||=|νa|，||=|ω|，||=|νb|，

作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，

则∠BAD=45°．

设||=150，则||=．

∴||=||=||=，||=．

从而||=，∠CAD=30°．

∴|νb|=km/h，方向为北偏西60°．

迁移与应用　解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得G=F1+F2，|F1|=，|F2|=|G|tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．

(2)令|F1|=，由|F1|≤2|G|得 cos θ≥．

又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°．

【当堂检测】

1．D　解析：|F1＋F2|＝|＋|

＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5．

2．D　解析：∵∥，||＝||，且⊥，

故四边形为菱形．

3．B　解析：|ν|＝＝，

又||＝＝，

∴时间t＝＝3．

4．16　解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，

∴BA＝4，∠ABC＝45°，

∴·＝4×4×cos 45°＝16．

5．1　解析：W＝F·s＝F·＝(2,3)·(－4,3)＝