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    【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题45 立体几何中的向量方法(含解析)

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    考点45 立体几何中的向量方法
    1.(辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理)如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面底面,为上的点,且平面

    (1)求证:平面平面;
    (2)当三棱锥体积最大时,求二面角的余弦值.
    2.(湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷一数学理)如图所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,平面PAC垂直圆O所在平面,直线PC与圆O所在平面所成角为60°,PA⊥PC.

    (1)证明:AP⊥平面PBC
    (2)求二面角P—AB一C的余弦值
    3.(四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理)如图,在四棱锥中,底面是菱形,且,,,分别为,的中点,且.

    (1)求证:平面平面;
    (2)求锐二面角的余弦值.
    4.(四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理)如图,在四棱锥中,,平面,二面角为为中点.

    (1)求证:;
    (2)求与平面所成角的余弦值.
    5.(安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理)如图,在以为顶点的五面体中,面为正方形,,,且二面角与二面角都是.

    (1)证明:平面;
    (2)求直线与平面所成角的正弦值.
    6.(湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练(五)数学(理)在五边形AEBCD中,,C,,,(如图).将△ABE沿AB折起,使平面ABE⊥平面ABCD,线段AB的中点为O(如图).

    (1)求证:平面ABE⊥平面DOE;
    (2)求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.
    7.(河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理)如图,已知四棱锥中,四边形为矩形,,,.

    (1)求证:平面;
    (2)设,求平面与平面所成的二面角的正弦值.
    8.(陕西省西安市2019届高三第三次质量检测理)如图,在三棱柱中,平面,是的中点,,,.

    (1)证明:;
    (2)若,求二面角的余弦值.
    9.(河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理)在四棱锥中,底面为平行四边形,平面平面,是边长为4的等边三角形,,是的中点.

    (1)求证:;
    (2)若直线与平面所成角的正弦值为,求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值.
    10.(天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理)如图,在四棱柱中,侧棱底面,,,,,且点和分别为和的中点

    (I)求证:平面;
    (II)求二面角的正弦值;
    (III)设为棱上的点,若直线和平面所成角的正弦值为,求的长。
    11.(东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学理)如图四棱锥中,底面,是边长为2的等边三角形,且,,点是棱上的动点.

    (I)求证:平面平面;
    (Ⅱ)当线段最小时,求直线与平面所成角的正弦值.
    12.(安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理)如图,在以为顶点,母线长为的圆锥中,底面圆的直径长为2,是圆所在平面内一点,且是圆的切线,连接交圆于点,连接,.

    (1)求证:平面平面;
    (2)若是的中点,连接,,当二面角的大小为时,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

    13.(北京市房山区2019年高考第一次模拟测试数学理)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E,F,O分别为DC,AE,BC的中点.以AE为折痕把△ADE折起,使点D到达点P的位置,且平面PAE⊥平面ABCE(如图2).
    (Ⅰ)求证:BC⊥平面POF;
    (Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
    (Ⅲ)在线段PE上是否存在点M,使得AM∥平面PBC?若存在,求的值;若不存在,说明理由.

    14.(湖南省长沙市第一中学2018届高三下学期高考模拟卷三数学理)如图,菱形的对角线与交于点,,,点,分别在,上,,交于点.将沿折到的位置,.

    (I)证明:平面平面;
    (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
    15.(安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学理)如图,已知圆柱,底面半径为1,高为2,是圆柱的一个轴截面,动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点,其路径最短时在侧面留下的曲线记为:将轴截面绕着轴,逆时针旋转 角到位置,边与曲线相交于点.

    (1)当时,求证:直线平面;
    (2)当时,求二面角的余弦值.
    16.(山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测数学理)如图,正方形边长为,平面平面,.

    (1)证明:;
    (2)求二面角的余弦值.
    17.(广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理)已知四棱锥的底面是菱形,,底面,是上的任意一点.

    (1)求证:平面平面;
    (2)设,是否存在点使平面与平面所成的锐二面角的大小为?如果存在,求出点的位置,如果不存在,请说明理由.
    18.(山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理)如图,在圆柱中,点、分别为上、下底面的圆心,平面是轴截面,点在上底面圆周上(异于、),点为下底面圆弧的中点,点与点在平面的同侧,圆柱的底面半径为1,高为2.

    (1)若平面平面,证明:;
    (2)若直线与平面所成线面角的正弦值等于,证明:平面与平面所成锐二面角的平面角大于.
    19.(四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学理)已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥中:

    (Ⅰ)证明:平面平面;
    (Ⅱ)若点为棱上一点且,求二面角的余弦值.
    20.(福建省泉州市2019届高三第二次(5月)质检数学理)四棱锥中,平面,,,,,.

    (1)求证: 平面平面;
    (2)为棱上异于的点,且,求直线与平面所成角的正弦值.
    21.(福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理)如图,在三棱锥中,为等边三角形,,面积是面积的两倍,点在侧棱上.

    (1)若,证明:平面平面;
    (2)若二面角的大小为,且为的中点,求直线与平面所成角的正弦值.
    22.(河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺(二)数学(理)如图,四边形是边长为2的菱形,且,平面,,,点是线段上任意一点.

    (1)证明:平面平面;
    (2)若的最大值是,求三棱锥的体积.
    23.(陕西省渭南市2019届高三二模数学理)已知是等腰直角三角形,.分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥.

    (Ⅰ)求证:平面平面.
    (Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值.
    24.(陕西省咸阳市2019届高三模拟检测(三)数学理)如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,,,点M是EC的中点.

    (1)求证:平面ADEF平面BDE.
    (2)求二面角的余弦值.
    考点45 立体几何中的向量方法
    1.(辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理)如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面底面,为上的点,且平面

    (1)求证:平面平面;
    (2)当三棱锥体积最大时,求二面角的余弦值.
    【答案】(1)见证明;(2).
    【解析】
    (1)证明:∵侧面底面,侧面底面,四边形为正方形,∴,面,
    ∴面,
    又面,
    ∴,
    平面,面,
    ∴,
    ,平面,
    ∴面,
    面,
    ∴平面平面.
    (2),
    求三棱锥体积的最大值,只需求的最大值.
    令,由(1)知,,
    ∴,
    而,
    当且仅当,即时,
    的最大值为.
    如图所示,分别取线段,中点,,连接,,

    以点为坐标原点,以,和分别作为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系.
    由已知,
    所以,
    令为面的一个法向量,
    则有,

    易知为面的一个法向量,
    二面角的平面角为,为锐角
    则.
    2.(湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷一数学理)如图所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,平面PAC垂直圆O所在平面,直线PC与圆O所在平面所成角为60°,PA⊥PC.

    (1)证明:AP⊥平面PBC
    (2)求二面角P—AB一C的余弦值
    【答案】(1)见解析.(2) .
    【解析】
    (1)由已知可知,又平面平面圆,平面平面圆,
    ∴平面,∴,
    又,,平面,平面,
    ∴平面.
    (2)法一:过作于,由于平面平面,则平面,
    则为直线与圆所在平面所成角,所以.
    过作于,连结,则,
    故为二面角的平面角.
    由已知,,
    在中,,
    由得,在中,,
    故,故,
    即二面角的余弦值为.

    法二:过作于,则平面,过作交于,
    以为原点,、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
    则,,,,
    从而,,
    设平面的法向量,
    则得,
    令,从而,
    而平面的法向量为,
    故,
    即二面角的余弦值为.

    3.(四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理)如图,在四棱锥中,底面是菱形,且,,,分别为,的中点,且.

    (1)求证:平面平面;
    (2)求锐二面角的余弦值.
    【答案】(1)见解析;(2)
    【解析】
    (1)过P作PO⊥AD,垂足为O,连结AO,BO,
    由∠PAD=120°,得∠PAO=60°,
    ∴在Rt△PAO中,PO=PAsin∠PAO=2sin60°=2×=,
    ∵∠BAO=120°,∴∠BAO=60°,AO=AO,∴△PAO≌△BAO,∴BO=PO=,
    ∵E,F分别是PA,BD的中点,EF=,∴EF是△PBD的中位线,
    ∴PB=2EF=2×=,
    ∴PB2=PO2+BO2,∴PO⊥BO,∵AD∩BO=O,∴PO⊥平面ABCD,
    又PO⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD.
    (2)以O为原点,OB为x轴,OD为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
    A(0,1,0),P(0,0,),B(,0,0),D(0,3,0),
    ∴E(0,),F(,),=(0,),=(,,0),
    易得平面ABCD的一个法向量=(0,0,1),
    设平面ACE的法向量=(x,y,z),则,
    取x=1,得=(1,-,1),
    设锐二面角的平面角的大小为θ,则cosθ=|cos<>|==,
    ∴锐二面角E-AC-D的余弦值为.

    4.(四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理)如图,在四棱锥中,,平面,二面角为为中点.

    (1)求证:;
    (2)求与平面所成角的余弦值.
    【答案】(1)证明见解析;(2).
    【解析】

    (1)证明:作SA中点F,连接EF
    ∵E为SD中点



    ∴得平行四边形

    ∵平面
    ∴为二面角的平面角





    (2)作AB中点O,由(1)知

    ∴平面
    如图建立空间直角坐标系

    设,则

    设平面SCD的法向量,得
    令 ,则



    ∴AB与平面所成角的余弦值为.
    5.(安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理)如图,在以为顶点的五面体中,面为正方形,,,且二面角与二面角都是.

    (1)证明:平面;
    (2)求直线与平面所成角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2).
    【解析】
    (1)面ABEF为正方形
    又,而,
    面,面

    (2),则由(1)知面平面,过作,垂足为,平面.
    以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系.
    由(1)知为二面角的平面角,故,又,则,,,,.
    由已知,,平面.又平面平面,
    故,.由,可得平面,
    为二面角的平面角,..
    ,,.
    设是平面的法向量,则,即,
    可取 .
    则.
    直线与平面BCE所成角的正弦值为 .

    6.(湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练(五)数学(理)在五边形AEBCD中,,C,,,(如图).将△ABE沿AB折起,使平面ABE⊥平面ABCD,线段AB的中点为O(如图).

    (1)求证:平面ABE⊥平面DOE;
    (2)求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.
    【答案】(1)见解析(2)45°
    【解析】
    (1)由题意,O是线段AB的中点,则.
    又,则四边形OBCD为平行四边形,又,则,
    因,,则.
    ,则AB⊥平面EOD.
    又平面ABE,故平面ABE⊥平面EOD.
    (2)由(1)易知OB,OD,OE两两垂直,以O为坐标原点,以OB,OD,OE所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    △EAB为等腰直角三角形,且AB=2CD=2BC,
    则,取,
    则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),
    E(0,0,1),则,,
    设平面ECD的法向量为,
    则有取,得平面ECD的一个法向量,
    因OD⊥平面ABE.则平面ABE的一个法向量为,
    设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ,则

    因为,所以,
    故平面ECD与平面ABE所成的镜二面角为45°.

    7.(河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理)如图,已知四棱锥中,四边形为矩形,,,.

    (1)求证:平面;
    (2)设,求平面与平面所成的二面角的正弦值.
    【答案】(1)见证明;(2)
    【解析】
    (1)证明: BCSD ,BCCD
    则BC平面SDC, 又
    则AD平面SDC,平面SDC
    SCAD
    又在△SDC中,SC=SD=2, DC=AB,故SC2+SD2=DC2
    则SCSD ,又
    所以 SC平面SAD
    (2)解:作SOCD于O,因为BC平面SDC,
    所以平面ABCD平面SDC,故SO平面ABCD
    以点O为原点,建立坐标系如图.

    则S(0,0,),C(0,,0), A(2,-,0),B(2,,0)
    设E(2,y,0),因为
    所以 即E((2,,0)


    令,则,

    ,令,则,


    所以所求二面角的正弦值为
    8.(陕西省西安市2019届高三第三次质量检测理)如图,在三棱柱中,平面,是的中点,,,.

    (1)证明:;
    (2)若,求二面角的余弦值.
    【答案】(1)证明见解析;(2).
    【解析】
    解:(1)证明:连接,,
    因为在中,,,.
    所以.
    所以,
    因为.
    所以,
    又平面,且平面,
    所以,,
    所以平面,
    因为平面,
    所以.
    (2)以为原点建立如图所示空间直角坐标系,

    则,,,,
    所以,,,
    设平面的法向量为,设平面的法向量为,
    则,取,
    则,
    取.
    所以,
    即二面角的平面角的余弦值为.
    9.(河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理)在四棱锥中,底面为平行四边形,平面平面,是边长为4的等边三角形,,是的中点.

    (1)求证:;
    (2)若直线与平面所成角的正弦值为,求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值.
    【答案】(1)见证明;(2)
    【解析】
    (1)因为是等边三角形,是的中点,
    所以.
    又平面平面,平面平面,平面,
    所以平面.
    所以,
    又因为,,
    所以平面.所以.
    又因为,所以.
    又且,平面,所以平面.
    所以.
    (2)
    由(1)得平面.
    所以就是直线与平面所成角.
    因为直线与平面所成角的正弦值为,即,所以.
    所以,解得.则.
    由(1)得,,两两垂直,所以以为原点,,,所在的直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
    则点,, ,,
    所以,.
    令平面的法向量为,则
    由得解得
    令,可得平面的一个法向量为;
    易知平面的一个法向量为,
    设平面与平面所成的锐二面角的大小为,则.
    所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
    10.(天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理)如图,在四棱柱中,侧棱底面,,,,,且点和分别为和的中点

    (I)求证:平面;
    (II)求二面角的正弦值;
    (III)设为棱上的点,若直线和平面所成角的正弦值为,求的长。
    【答案】(I)见解析(II)(III)
    【解析】
    (I)以为原点,建立如下图所示的空间直角坐标系:

    则,,,
    ,,,
    平面的法向量
    又,
    ,面 面
    (II)设面的法向量,且,
    ,令,则,
    设面的法向量,且,
    ,令,则,


    即二面角的正弦值是
    (III)设,则
    又面的法向量

    ,解得:或(舍)
    ,即
    11.(东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学理)如图四棱锥中,底面,是边长为2的等边三角形,且,,点是棱上的动点.

    (I)求证:平面平面;
    (Ⅱ)当线段最小时,求直线与平面所成角的正弦值.
    【答案】(I)证明见解析;(Ⅱ).
    【解析】
    (Ⅰ)证明:∵底面,底面,
    ∴.
    取的中点,连接,
    ∵是等边三角形,,
    ∴,,
    ∴点共线,从而得,
    又,
    ∴平面,
    ∵平面,
    ∴平面平面.

    (Ⅱ)解:取中点,连接,则,
    ∴底面,
    ∴两两垂直.
    以为原点如图建立空间直角坐标系,
    则,
    ∴,
    设平面的法向量为,
    由,得,
    令,得.
    设,则,
    ∴,
    ∴当时,有最小值,且,此时.
    设直线与平面所成角为,
    则,
    ∴直线与平面所成角的正弦值为.
    12.(安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理)如图,在以为顶点,母线长为的圆锥中,底面圆的直径长为2,是圆所在平面内一点,且是圆的切线,连接交圆于点,连接,.

    (1)求证:平面平面;
    (2)若是的中点,连接,,当二面角的大小为时,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
    【答案】(1)详见解析;(2).
    【解析】
    解:(1)是圆的直径,与圆切于点,
    底面圆,∴
    ,平面,∴.
    又∵在中,,∴
    ∵,∴平面,从而平面平面.
    (2)∵ ,,∴为二面角的平面角,
    ∴ ,
    如图建立空间直角坐标系,易知,
    则,,
    ,,,
    由(1)知为平面的一个法向量,
    设平面的法向量为,
    ,,
    ∵ ,,∴,,
    ∴ ,即
    故平面的一个法向量为,
    ∴.
    ∴ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

    13.(北京市房山区2019年高考第一次模拟测试数学理)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E,F,O分别为DC,AE,BC的中点.以AE为折痕把△ADE折起,使点D到达点P的位置,且平面PAE⊥平面ABCE(如图2).
    (Ⅰ)求证:BC⊥平面POF;
    (Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
    (Ⅲ)在线段PE上是否存在点M,使得AM∥平面PBC?若存在,求的值;若不存在,说明理由.

    【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)见解析
    【解析】
    (Ⅰ)在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD中点,所以DA=DE,即PA=PE,
    又F为AE的中点,所以PF⊥AE,又平面PAE⊥平面ABCE,平面PAE∩平面ABCE=AE,
    PF⊂平面PAE,所以PF⊥平面ABCE,BC⊂平面ABCE,所以PF⊥BC,
    由F,O分别为AE,BC的中点,易知FO∥AB,所以OF⊥BC,所以BC⊥平面POF,
    (Ⅱ)过点O做平面ABCE的垂线OZ,以O为原点,分别以OF,OB,OZ为x,y,z轴建立坐标系O﹣xyz,

    ∴,设平面PBC的法向量为
    由得,令z=3得,

    所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
    (Ⅲ)在线段PE上不存在点M,使得AM∥平面PBC.证明如下:
    点M在线段PE上,设则, ,
    若AM∥平面PBC,则,
    由得,解得λ=2∉[0,1]
    所以在线段PE上不存在点M,使得AM∥平面PBC.

    14.(湖南省长沙市第一中学2018届高三下学期高考模拟卷三数学理)如图,菱形的对角线与交于点,,,点,分别在,上,,交于点.将沿折到的位置,.

    (I)证明:平面平面;
    (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
    【答案】(Ⅰ)见解析.( Ⅱ) .
    【解析】
    (Ⅰ)∵,∴,∴.
    ∵四边形为菱形,∴,∴,∴,∴.
    ∵,∴;
    又,,∴,∴,
    ∴,∴,∴.
    又∵,∴平面.
    ∵平面,
    ∴平面平面.
    (Ⅱ)建立如图坐标系,则,,,,,,设平面的法向量,
    由得,取,
    ∴.
    设直线与平面所成角为,
    ∴,
    ∴.

    15.(安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学理)如图,已知圆柱,底面半径为1,高为2,是圆柱的一个轴截面,动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点,其路径最短时在侧面留下的曲线记为:将轴截面绕着轴,逆时针旋转 角到位置,边与曲线相交于点.

    (1)当时,求证:直线平面;
    (2)当时,求二面角的余弦值.
    【答案】(1)证明见解析;(2).
    【解析】
    (1)方法一:当时,建立如图所示的空间直角坐标系,

    则有,,,,

    ,.
    设平面的法向量为,则,
    可取,得,,.
    所以直线平面.
    方法二:在正方形中,,,∴,
    平面,又平面
    所以,又,,,平面
    所以直线平面.
    (2)当时,以所在直线为轴,过点与垂直的直线为轴,所在的直线为轴建立如图空间直角坐标系,

    可得,所以,
    设平面的法向量为,则
    ,可取,得,
    又平面的一个法向量为,则
    所以二面角的余弦值为.
    16.(山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测数学理)如图,正方形边长为,平面平面,.

    (1)证明:;
    (2)求二面角的余弦值.
    【答案】(1)证明见解析;(2).
    【解析】
    (1)证明:平面平面,平面平面
    ,面
    ∴平面,
    又平面,

    又∵,,,平面
    ∴平面,
    又平面
    ∴.

    (2)解:如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,
    则,,
    在直角中,,,易得,

    由(1)知为平面的一个法向量,

    设是平面BDE的一个法向量


    令,则,


    ∴二面角的余弦值是.
    17.(广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理)已知四棱锥的底面是菱形,,底面,是上的任意一点.

    (1)求证:平面平面;
    (2)设,是否存在点使平面与平面所成的锐二面角的大小为?如果存在,求出点的位置,如果不存在,请说明理由.
    【答案】(1)见解析;(2)见解析.
    【解析】
    (1)证明:∵平面,平面,∴.
    ∵四边形是菱形,∴.
    ∵,∴平面.
    ∵平面,∴平面平面.

    (2)设与的交点为,以、所在直线分别为、轴,
    以过垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系(如图),

    则,,,,.
    设,则,,
    设,
    ∴ ∴,
    ∴.,
    设平面的法向量,
    ∵,∴.
    求得为平面的一个法向量.
    同理可得平面的一个法向量为
    ∵平面与平面所成的锐二面角的大小为,
    ∴,解得:.
    ∴为的中点.
    18.(山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理)如图,在圆柱中,点、分别为上、下底面的圆心,平面是轴截面,点在上底面圆周上(异于、),点为下底面圆弧的中点,点与点在平面的同侧,圆柱的底面半径为1,高为2.

    (1)若平面平面,证明:;
    (2)若直线与平面所成线面角的正弦值等于,证明:平面与平面所成锐二面角的平面角大于.
    【答案】(1)见证明;(2)见证明
    【解析】
    (1)由题知:面面,面面,
    因为,平面,
    所以平面,平面
    所以.
    (2)以点为坐标原点,分别以,,为、、轴建立空间直角坐标系.
    所以,,,
    设,则,,
    设平面的法向量,
    因为,所以,
    所以,即法向量.
    因此 .
    所以,解得,,所以点.
    设面的法向量,
    因为,所以,
    所以,即法向量.
    因为面的法向量,所以 ,
    所以面与面所成锐二面角的平面角大于.

    19.(四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学理)已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥中:

    (Ⅰ)证明:平面平面;
    (Ⅱ)若点为棱上一点且,求二面角的余弦值.
    【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
    【解析】
    解:(Ⅰ)设的中点为,连接,.
    由题意,得,, .
    在中,,为的中点, ,
    在中,,,, ,

    ,,平面,平面,
    平面,平面平面.

    (Ⅱ)由平面,, ,,
    于是以,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图示空间直角坐标系,

    则, , , ,, , , , .
    设平面的法向量为,
    则由得: .令,得,,即.
    设平面的法向量为,
    由得: ,令,得,z=1,即.
    .由图可知,二面角的余弦值为.
    20.(福建省泉州市2019届高三第二次(5月)质检数学理)四棱锥中,平面,,,,,.

    (1)求证: 平面平面;
    (2)为棱上异于的点,且,求直线与平面所成角的正弦值.
    【答案】(1)见解析(2)
    【解析】
    (1)证明:在与中,因为, ,
    所以,,即,所以.
    因为,所以,所以.
    因为平面,平面,所以 ,
    又,所以平面,
    又平面, 所以平面平面.

    (2)过作,因为平面,所以平面,即两两相垂直,以为原点,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,
    因为,,,
    所以,,,,,
    ,,,
    设,.则,
    .
    因为,所以,即,
    解得,或.因为,所以.
    所以,即.
    设为平面的一个法向量,则,
    所以取,
    设直线与平面所成角为,
    ,
    所以直线与平面所成角的正弦值.

    21.(福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理)如图,在三棱锥中,为等边三角形,,面积是面积的两倍,点在侧棱上.

    (1)若,证明:平面平面;
    (2)若二面角的大小为,且为的中点,求直线与平面所成角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析;(2).
    【解析】
    (1)证明:因为,所以,
    所以.
    取BC中点O,连结DO,AO,所以DO⊥BC,AO⊥BC,
    因为,所以BC⊥平面AOD,所以BC⊥AD,
    又因为BM⊥AD,,所以AD⊥平面BCM,
    所以平面ACD⊥平面BCM.
    (2)由(1)知,是二面角D-BC-A的平面角,
    所以,
    过作交延长线于G,因为BC⊥平面AOD,平面AOD,
    所以,
    因为,所以平面.
    如图,以O为原点,以,,的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,

    设 ,则,
    又因为,
    所以,
    在中,,
    所以 , ,
    所以,
    所以,,
    设是平面DCA的法向量,
    则即
    取,
    因为点是线段的中点 ,所以,
    所以 ,
    设直线BM与平面DCA所成角的大小为,则

    所以直线BM与平面CDA所成角的正弦值为.
    22.(河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺(二)数学(理)如图,四边形是边长为2的菱形,且,平面,,,点是线段上任意一点.

    (1)证明:平面平面;
    (2)若的最大值是,求三棱锥的体积.
    【答案】(1)见证明;(2)
    【解析】
    (1)因为平面,则.
    又四边形是菱形,则,又,
    所以平面,因为AC在平面内,
    所以平面平面.
    (2)设与的交点为,连结. 因为平面,则,又为的中点,则,由余弦定理得,.当AE最短时∠AEC最大,此时,,,因为AC=2,,OE=. 取MN的中点H,分别以直线,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,

    设,则点, ,,.设平面的法向量,
    则,即 ,取,则,
    同理求得平面的法向量.
    因为是二面角 的平面角,则
    ,解得或.
    由图可知a 因为,,,
    则.
    23.(陕西省渭南市2019届高三二模数学理)已知是等腰直角三角形,.分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥.

    (Ⅰ)求证:平面平面.
    (Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值.
    【答案】(Ⅰ)见解析. (Ⅱ) .
    【解析】
    (I)证明:
    分别为的中点
    ,,又
    平面
    平面,又平面
    平面平面
    (II),为定值
    当平面时,三棱锥的体积取最大值
    以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系



    设平面的法向量为,则
    即,令可得
    平面 是平面的一个法向量

    平面与平面所成角的正弦值为
    24.(陕西省咸阳市2019届高三模拟检测(三)数学理)如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,,,点M是EC的中点.

    (1)求证:平面ADEF平面BDE.
    (2)求二面角的余弦值.
    【答案】(1)见证明;(2)
    【解析】(1)由题可知AD=BD=2,AB=则AD2+BD2=AB²,
    根据勾股定理有BD⊥AD,
    又因正方形ADEF 与梯形ABCD所在平面互相垂直,则ED⊥平面ABCD,
    则ED⊥BD,而AD∩ED=D,所以BD⊥平面ADEF.
    而BD平面BDE,所以平面ADEF⊥平面BDE.
    (2)以D为坐标原点,分别以DA,DB,DE为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

    由题可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(0.2,0),E(0,0,2),C(-2,2,0),M(-,,1).
    由(1)可得AD⊥平面BDE,则可取平面BDE的法向量,设平面BDM的法向量为,=(-,,1),=(0,2,0),
    由·=0,·=0,.可得
    可取=(,0,2),则.
    设二面角E-BD-M的平面角为α,显然α为锐角,
    故.



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