【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题45 立体几何中的向量方法（含解析）

考点45 立体几何中的向量方法
1．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面

（1）求证：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．
2．（湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷一数学理）如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，平面PAC垂直圆O所在平面，直线PC与圆O所在平面所成角为60°，PA⊥PC．

（1）证明：AP⊥平面PBC
（2）求二面角P—AB一C的余弦值
3．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，，，分别为，的中点，且.

（1）求证：平面平面；
（2）求锐二面角的余弦值.
4．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，，平面，二面角为为中点．

（1）求证：；
（2）求与平面所成角的余弦值．
5．（安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理）如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是.

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
6．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五)数学（理）在五边形AEBCD中，，C，，，（如图）.将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.

（1）求证：平面ABE⊥平面DOE；
（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.
7．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）如图，已知四棱锥中，四边形为矩形，，，.

（1）求证：平面；
（2）设，求平面与平面所成的二面角的正弦值.
8．（陕西省西安市2019届高三第三次质量检测理）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，，.

（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
9．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，是边长为4的等边三角形，，是的中点.

（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值.
10．（天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点

（I）求证：平面；
（II）求二面角的正弦值；
（III）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求的长。
11．（东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学理）如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，，点是棱上的动点.

（I）求证：平面平面；
（Ⅱ）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.
12．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.

（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，连接，，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

13．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试数学理）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F，O分别为DC，AE，BC的中点．以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE（如图2）．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面POF；
（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得AM∥平面PBC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

14．（湖南省长沙市第一中学2018届高三下学期高考模拟卷三数学理）如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点.将沿折到的位置，.

（I）证明：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
15．（安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学理）如图，已知圆柱，底面半径为1，高为2，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其路径最短时在侧面留下的曲线记为：将轴截面绕着轴，逆时针旋转 角到位置，边与曲线相交于点.

（1）当时，求证：直线平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.
16．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测数学理）如图，正方形边长为，平面平面，．

(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值．
17．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）已知四棱锥的底面是菱形，，底面，是上的任意一点.

（1）求证：平面平面；
（2）设，是否存在点使平面与平面所成的锐二面角的大小为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由.
18．（山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理）如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点在上底面圆周上（异于、），点为下底面圆弧的中点，点与点在平面的同侧，圆柱的底面半径为1，高为2.

（1）若平面平面，证明：；
（2）若直线与平面所成线面角的正弦值等于，证明：平面与平面所成锐二面角的平面角大于.
19．（四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学理）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若点为棱上一点且，求二面角的余弦值．
20．（福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检数学理）四棱锥中，平面，，，，，．

（1）求证: 平面平面;
（2）为棱上异于的点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，面积是面积的两倍，点在侧棱上.

（1）若，证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为，且为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
22．（河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（二)数学（理）如图，四边形是边长为2的菱形，且，平面，，，点是线段上任意一点．

(1)证明：平面平面；
(2)若的最大值是，求三棱锥的体积．
23．（陕西省渭南市2019届高三二模数学理）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥．

(Ⅰ)求证：平面平面．
(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值．
24．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测（三)数学理）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，，，点M是EC的中点．

(1)求证:平面ADEF平面BDE.
(2)求二面角的余弦值.
考点45 立体几何中的向量方法
1．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面

（1）求证：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见证明；（2）.
【解析】
（1）证明：∵侧面底面，侧面底面，四边形为正方形，∴，面，
∴面，
又面，
∴，
平面，面，
∴，
，平面，
∴面，
面，
∴平面平面．
（2），
求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值．
令，由（1）知，，
∴，
而，
当且仅当，即时，
的最大值为．
如图所示，分别取线段，中点，，连接，，

以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．
由已知，
所以，
令为面的一个法向量，
则有，
∴
易知为面的一个法向量，
二面角的平面角为，为锐角
则.
2．（湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷一数学理）如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，平面PAC垂直圆O所在平面，直线PC与圆O所在平面所成角为60°，PA⊥PC．

（1）证明：AP⊥平面PBC
（2）求二面角P—AB一C的余弦值
【答案】(1)见解析.(2) .
【解析】
（1）由已知可知，又平面平面圆，平面平面圆，
∴平面，∴，
又，，平面，平面，
∴平面.
（2）法一：过作于，由于平面平面，则平面，
则为直线与圆所在平面所成角，所以.
过作于，连结，则，
故为二面角的平面角.
由已知，，
在中，，
由得，在中，，
故，故，
即二面角的余弦值为.

法二：过作于，则平面，过作交于，
以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
从而，，
设平面的法向量，
则得，
令，从而，
而平面的法向量为，
故，
即二面角的余弦值为.

3．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，，，分别为，的中点，且.

（1）求证：平面平面；
（2）求锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）过P作PO⊥AD，垂足为O，连结AO，BO，
由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，
∴在Rt△PAO中，PO=PAsin∠PAO=2sin60°=2×=，
∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO，∴△PAO≌△BAO，∴BO=PO=，
∵E，F分别是PA，BD的中点，EF=，∴EF是△PBD的中位线，
∴PB=2EF=2×=，
∴PB2=PO2+BO2，∴PO⊥BO，∵AD∩BO=O，∴PO⊥平面ABCD，
又PO⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
（2）以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），D（0，3，0），
∴E（0，），F（，），=（0，），=（，，0），
易得平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），
设平面ACE的法向量=（x，y，z），则，
取x=1，得=（1，-，1），
设锐二面角的平面角的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|==，
∴锐二面角E-AC-D的余弦值为．

4．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，，平面，二面角为为中点．

（1）求证：；
（2）求与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】

（1）证明：作SA中点F，连接EF
∵E为SD中点
∴
∵
∴
∴得平行四边形
∴
∵平面
∴为二面角的平面角
∴
∵
∴
∴
∴
（2）作AB中点O，由（1）知
∵
∴平面
如图建立空间直角坐标系

设，则
∴
设平面SCD的法向量，得
令 ，则
∵
∴
∴
∴AB与平面所成角的余弦值为.
5．（安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理）如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是.

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
（1）面ABEF为正方形
又，而,
面,面
面
（2），则由（1）知面平面，过作，垂足为，平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．
由（1）知为二面角的平面角，故，又，则，，，，．
由已知，，平面．又平面平面，
故，．由，可得平面，
为二面角的平面角，．．
，，．
设是平面的法向量，则，即，
可取 .
则．
直线与平面BCE所成角的正弦值为 .

6．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五)数学（理）在五边形AEBCD中，，C，，，（如图）.将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.

（1）求证：平面ABE⊥平面DOE；
（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.
【答案】（1）见解析（2）45°
【解析】
（1）由题意，O是线段AB的中点，则.
又，则四边形OBCD为平行四边形，又，则，
因，，则.
，则AB⊥平面EOD.
又平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD.
（2）由（1）易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
△EAB为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC，
则，取，
则O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
E（0，0，1），则，，
设平面ECD的法向量为，
则有取，得平面ECD的一个法向量，
因OD⊥平面ABE.则平面ABE的一个法向量为，
设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则
，
因为，所以，
故平面ECD与平面ABE所成的镜二面角为45°.

7．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）如图，已知四棱锥中，四边形为矩形，，，.

（1）求证：平面；
（2）设，求平面与平面所成的二面角的正弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
（1）证明： BCSD ，BCCD
则BC平面SDC, 又
则AD平面SDC，平面SDC
SCAD
又在△SDC中，SC=SD=2, DC=AB，故SC2+SD2=DC2
则SCSD ，又
所以 SC平面SAD
（2）解：作SOCD于O，因为BC平面SDC,
所以平面ABCD平面SDC，故SO平面ABCD
以点O为原点，建立坐标系如图.

则S(0,0,),C(0，,0), A(2，-,0),B(2，,0)
设E(2,y,0),因为
所以 即E((2,,0)


令，则，

，令，则，


所以所求二面角的正弦值为
8．（陕西省西安市2019届高三第三次质量检测理）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，，.

（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
解：（1）证明：连接，，
因为在中，，，．
所以．
所以，
因为．
所以，
又平面，且平面，
所以，，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，设平面的法向量为，
则，取，
则，
取．
所以，
即二面角的平面角的余弦值为．
9．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，是边长为4的等边三角形，，是的中点.

（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
（1）因为是等边三角形，是的中点，
所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
所以，
又因为，，
所以平面.所以.
又因为，所以.
又且，平面，所以平面.
所以.
（2）
由（1）得平面.
所以就是直线与平面所成角.
因为直线与平面所成角的正弦值为，即，所以.
所以，解得.则.
由（1）得，，两两垂直，所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，， ，，
所以，.
令平面的法向量为，则
由得解得
令，可得平面的一个法向量为；
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则.
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
10．（天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点

（I）求证：平面；
（II）求二面角的正弦值；
（III）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求的长。
【答案】（I）见解析（II）（III）
【解析】
（I）以为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：

则，，，
，，，
平面的法向量
又，
，面 面
（II）设面的法向量，且，
，令，则，
设面的法向量，且，
，令，则，


即二面角的正弦值是
（III）设，则
又面的法向量

，解得：或（舍）
，即
11．（东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学理）如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，，点是棱上的动点.

（I）求证：平面平面；
（Ⅱ）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵底面，底面，
∴．
取的中点，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴点共线，从而得，
又，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.

（Ⅱ）解：取中点，连接，则，
∴底面，
∴两两垂直．
以为原点如图建立空间直角坐标系，
则，
∴,
设平面的法向量为，
由，得，
令，得．
设，则，
∴，
∴当时，有最小值，且，此时．
设直线与平面所成角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
12．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.

（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，连接，，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
解：（1）是圆的直径，与圆切于点，
底面圆，∴
，平面，∴.
又∵在中，，∴
∵，∴平面，从而平面平面.
（2）∵ ，，∴为二面角的平面角，
∴ ，
如图建立空间直角坐标系，易知，
则，，
，，，
由（1）知为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
，，
∵ ，，∴，，
∴ ，即
故平面的一个法向量为，
∴.
∴ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

13．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试数学理）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F，O分别为DC，AE，BC的中点．以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE（如图2）．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面POF；
（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得AM∥平面PBC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD中点，所以DA＝DE，即PA＝PE，
又F为AE的中点，所以PF⊥AE，又平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，
PF⊂平面PAE，所以PF⊥平面ABCE，BC⊂平面ABCE，所以PF⊥BC，
由F，O分别为AE，BC的中点，易知FO∥AB，所以OF⊥BC，所以BC⊥平面POF，
（Ⅱ）过点O做平面ABCE的垂线OZ，以O为原点，分别以OF，OB，OZ为x，y，z轴建立坐标系O﹣xyz，
则
∴，设平面PBC的法向量为
由得，令z＝3得，
，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
（Ⅲ）在线段PE上不存在点M，使得AM∥平面PBC．证明如下：
点M在线段PE上，设则， ,
若AM∥平面PBC，则，
由得，解得λ＝2∉[0，1]
所以在线段PE上不存在点M，使得AM∥平面PBC．

14．（湖南省长沙市第一中学2018届高三下学期高考模拟卷三数学理）如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点.将沿折到的位置，.

（I）证明：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析.( Ⅱ) .
【解析】
（Ⅰ）∵，∴，∴.
∵四边形为菱形，∴，∴，∴，∴.
∵，∴；
又，，∴，∴，
∴，∴，∴.
又∵，∴平面.
∵平面，
∴平面平面.
（Ⅱ）建立如图坐标系，则，，，，，，设平面的法向量，
由得，取，
∴.
设直线与平面所成角为，
∴，
∴.

15．（安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学理）如图，已知圆柱，底面半径为1，高为2，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其路径最短时在侧面留下的曲线记为：将轴截面绕着轴，逆时针旋转 角到位置，边与曲线相交于点.

（1）当时，求证：直线平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）方法一：当时，建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，，，
，
，.
设平面的法向量为，则，
可取，得，，.
所以直线平面.
方法二：在正方形中，，，∴，
平面，又平面
所以，又，，，平面
所以直线平面.
（2）当时，以所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，所在的直线为轴建立如图空间直角坐标系，

可得，所以，
设平面的法向量为，则
，可取，得，
又平面的一个法向量为，则
所以二面角的余弦值为.
16．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测数学理）如图，正方形边长为，平面平面，．

(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；(2).
【解析】
（1）证明：平面平面，平面平面
，面
∴平面，
又平面，
∴
又∵，，，平面
∴平面，
又平面
∴.

（2）解：如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，
在直角中，，，易得，

由（1）知为平面的一个法向量，
，
设是平面BDE的一个法向量
则
即
令，则，
∴

∴二面角的余弦值是.
17．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）已知四棱锥的底面是菱形，，底面，是上的任意一点.

（1）求证：平面平面；
（2）设，是否存在点使平面与平面所成的锐二面角的大小为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）证明：∵平面，平面，∴.
∵四边形是菱形，∴.
∵，∴平面.
∵平面，∴平面平面.

（2）设与的交点为，以、所在直线分别为、轴，
以过垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），

则，，，，.
设，则,,
设，
∴ ∴，
∴.,
设平面的法向量，
∵，∴.
求得为平面的一个法向量.
同理可得平面的一个法向量为
∵平面与平面所成的锐二面角的大小为，
∴，解得：.
∴为的中点.
18．（山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理）如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点在上底面圆周上（异于、），点为下底面圆弧的中点，点与点在平面的同侧，圆柱的底面半径为1，高为2.

（1）若平面平面，证明：；
（2）若直线与平面所成线面角的正弦值等于，证明：平面与平面所成锐二面角的平面角大于.
【答案】（1）见证明；（2）见证明
【解析】
（1）由题知：面面，面面，
因为，平面，
所以平面，平面
所以.
（2）以点为坐标原点，分别以，，为、、轴建立空间直角坐标系.
所以，，，
设，则，，
设平面的法向量，
因为，所以，
所以，即法向量.
因此 .
所以，解得，，所以点.
设面的法向量，
因为，所以，
所以，即法向量.
因为面的法向量，所以 ，
所以面与面所成锐二面角的平面角大于.

19．（四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学理）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若点为棱上一点且，求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
解：（Ⅰ）设的中点为，连接，．
由题意，得，， ．
在中，，为的中点， ，
在中，，，， ，
．
，，平面，平面，
平面，平面平面．

（Ⅱ）由平面，， ，，
于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，

则， ， ， ，， ， ， ， ．
设平面的法向量为，
则由得： ．令，得，，即．
设平面的法向量为，
由得： ，令，得，z＝1，即．
．由图可知，二面角的余弦值为．
20．（福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检数学理）四棱锥中，平面，，，，，．

（1）求证: 平面平面;
（2）为棱上异于的点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明：在与中，因为， ，
所以，,即，所以.
因为,所以,所以．
因为平面，平面，所以 ，
又，所以平面，
又平面， 所以平面平面．

（2）过作，因为平面，所以平面，即两两相垂直，以为原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，，
所以，，，，，
，，，
设，．则，
.
因为，所以，即，
解得，或．因为，所以．
所以，即．
设为平面的一个法向量，则，
所以取，
设直线与平面所成角为，
,
所以直线与平面所成角的正弦值．

21．（福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，面积是面积的两倍，点在侧棱上.

（1）若，证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为，且为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明：因为，所以，
所以．
取BC中点O，连结DO,AO，所以DO⊥BC，AO⊥BC，
因为，所以BC⊥平面AOD，所以BC⊥AD，
又因为BM⊥AD，，所以AD⊥平面BCM，
所以平面ACD⊥平面BCM．
（2）由（1）知，是二面角D-BC-A的平面角，
所以，
过作交延长线于G，因为BC⊥平面AOD，平面AOD，
所以，
因为，所以平面．
如图，以O为原点，以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

设 ，则，
又因为，
所以，
在中，，
所以 ， ，
所以，
所以，，
设是平面DCA的法向量，
则即
取，
因为点是线段的中点 ，所以，
所以 ，
设直线BM与平面DCA所成角的大小为，则
，
所以直线BM与平面CDA所成角的正弦值为．
22．（河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（二)数学（理）如图，四边形是边长为2的菱形，且，平面，，，点是线段上任意一点．

(1)证明：平面平面；
(2)若的最大值是，求三棱锥的体积．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
(1)因为平面，则.
又四边形是菱形，则，又,
所以平面,因为AC在平面内，
所以平面平面.
(2)设与的交点为，连结. 因为平面，则，又为的中点，则，由余弦定理得，．当AE最短时∠AEC最大，此时，，，因为AC=2,,OE=. 取MN的中点H，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设，则点， ，，．设平面的法向量，
则,即 ，取，则，
同理求得平面的法向量.
因为是二面角 的平面角，则
，解得或．
由图可知a 因为，，，
则.
23．（陕西省渭南市2019届高三二模数学理）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥．

(Ⅰ)求证：平面平面．
(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】(Ⅰ)见解析. (Ⅱ) .
【解析】
(I)证明：
分别为的中点
，，又
平面
平面，又平面
平面平面
(II)，为定值
当平面时，三棱锥的体积取最大值
以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系

则
，
设平面的法向量为，则
即，令可得
平面 是平面的一个法向量

平面与平面所成角的正弦值为
24．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测（三)数学理）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，，，点M是EC的中点．

(1)求证:平面ADEF平面BDE.
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】(1)由题可知AD=BD=2，AB=则AD2+BD2=AB²，
根据勾股定理有BD⊥AD，
又因正方形ADEF 与梯形ABCD所在平面互相垂直，则ED⊥平面ABCD，
则ED⊥BD，而AD∩ED=D，所以BD⊥平面ADEF.
而BD平面BDE，所以平面ADEF⊥平面BDE.
(2)以D为坐标原点，分别以DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

由题可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（0.2，0），E（0，0，2），C（-2，2，0），M（-，，1）.
由(1)可得AD⊥平面BDE，则可取平面BDE的法向量，设平面BDM的法向量为，=（-，，1），=（0，2，0），
由·=0，·=0，.可得
可取=（，0，2），则.
设二面角E-BD-M的平面角为α，显然α为锐角，
故．