2023届高考一轮复习加练必刷题第45练　平面向量中的综合问题【解析版】

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考点一 平面向量在几何中的应用
1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
答案 B
解析 因为eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)，eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)分别是向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量，设eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量分别为e1和e2，又eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))，则原式可化为eq \(AP,\s\up6(→))＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
2．(多选)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是( )
A．|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))
B．|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))
C．|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))
D．|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))×\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|2)
答案 ABD
解析 由eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(AC,\s\up6(→))||eq \(AB,\s\up6(→))|cs A＝|eq \(AD,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|，由射影定理可得|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))，即选项A正确；由eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|cs B＝|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|，由射影定理可得|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，即选项B正确；由eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝|eq \(AC,\s\up6(→))|·|eq \(CD,\s\up6(→))|·cs(π－∠ACD)<0，又|eq \(AB,\s\up6(→))|2>0，即选项C错误；由图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以|eq \(AC,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(CD,\s\up6(→))|，由选项A，B可得|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))×\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|2)，即选项D正确．
3．(2022·四川双流中学模拟)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为60°，则|eq \(MA,\s\up6(→))|＝________.
答案 eq \f(\r(13),2)
解析 ∵M为BC的中点，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴|eq \(MA,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))2
＝eq \f(1,4)(|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)(1＋9＋2×1×3×cs 60°)＝eq \f(13,4)，
∴|eq \(MA,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(13),2).
4．(2022·潍坊模拟)已知点A(2,0)，B(1,2)，C(2，2)，|eq \(AP,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，O为坐标原点，则|eq \(AP,\s\up6(→))|＝________，eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OA,\s\up6(→))夹角的取值范围是________．
答案 1 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))
解析 由题意可得eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＝(－1,0)，
所以|eq \(AP,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝1.
则点P在以A(2,0)为圆心，1为半径的圆上，如图．
由图可知，eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OA,\s\up6(→))夹角的最小值为0；
当直线OP与圆A相切时，eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OA,\s\up6(→))的夹角取到最大值，连接AP，
易得∠POA为锐角且sin ∠POA＝eq \f(AP,OA)＝eq \f(1,2)，
所以∠POA＝eq \f(π,6)，
所以eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OA,\s\up6(→))夹角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))).
考点二 和向量有关的最值(范围)问题
5．(2022·佛山模拟)2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS(船舶自动识别系统)基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成．已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔(杆)的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如图所示，则|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))|的最小值为( )
A．40 B．20eq \r(7) C．20eq \r(10) D．80
答案 A
解析 由题意知，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，即eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(CO,\s\up6(→))，
则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(CM,\s\up6(→))，
则当风叶旋转到最低点时，|eq \(CM,\s\up6(→))|最小，且最小值为60－20＝40.
6．(2022·铁岭模拟)已知△ABC的外接圆的半径等于3，AB＝4，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[－4,24] B．[－8,20]
C．[－8,12] D．[－4,20]
答案 D
解析 以△ABC外接圆的圆心O为坐标原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图，
则A(－2，－eq \r(5))，B(2，－eq \r(5))，
设C(3cs θ，3sin θ)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3cs θ＋2,3sin θ＋eq \r(5))，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝12cs θ＋8∈[－4,20]．
7．(2022·中央民族大学附属中学模拟)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \f(3\r(2),2) B．3eq \r(2) C．4eq \r(2) D．3
答案 B
解析 因为C为AB的中点，所以eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，从而|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝|2eq \(PC,\s\up6(→))|＝2|eq \(PC,\s\up6(→))|，
可知|eq \(PC,\s\up6(→))|的最小值为点C到直线y＝x＋3的距离，d＝eq \f(|1－1＋3|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，
所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|min＝2×eq \f(3\r(2),2)＝3eq \r(2).
8．(多选)(2022·珠海模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，若P为BD上一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是( )
A．λμ的最小值为16
B．λμ的最大值为eq \f(1,16)
C.eq \f(1,λ)＋eq \f(1,4μ)的最大值为16
D.eq \f(1,λ)＋eq \f(1,4μ)的最小值为4
答案 BD
解析 ∵eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋4μeq \(AD,\s\up6(→))，且P，B，D三点共线，
∴λ＋4μ＝1，
∴λμ＝eq \f(1,4)·λ·4μ≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ＋4μ,2)))2＝eq \f(1,16)，当且仅当λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(1,8)时取等号，
∴λμ的最大值为eq \f(1,16)；
eq \f(1,λ)＋eq \f(1,4μ)＝(λ＋4μ)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,λ)＋\f(1,4μ)))＝2＋eq \f(4μ,λ)＋eq \f(λ,4μ)≥2＋2eq \r(\f(4μ,λ)·\f(λ,4μ))＝4，当且仅当λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(1,8)时取等号，
∴eq \f(1,λ)＋eq \f(1,4μ)的最小值为4.
9．已知向量a＝(eq \r(3)sin θ，1)，b＝(1，cs θ)，则a·b的最大值为________．
答案 2
解析 a·b＝eq \r(3)sin θ＋cs θ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))≤2，故a·b的最大值为2.
10．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，M是AB边上的动点，则|eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|的最小值为________．
答案 3
解析 以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，M(0，b)，且0≤b≤a，由于BC＝2，AD＝1.
∴C(2,0)，D(1，a)．
则eq \(MC,\s\up6(→))＝(2，－b)，eq \(MD,\s\up6(→))＝(1，a－b)，
∴eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))＝(3，a－2b)．
因此|eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|＝eq \r(9＋a－2b2)，
∴当且仅当a＝2b时，|eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|取得最小值3.
11．(多选)(2022·苏州市实验中学期中)引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，规定m⊗n＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的是( )
A．a⊗b＝b⊗a
B．(λa)⊗b＝λ(a⊗b)
C．a·(b⊗c)＝(a⊗b)·c
D．|a|·|b|≥|a⊗b|
答案 ABD
解析 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，A中，因为a⊗b＝x1x2－y1y2，b⊗a＝x2x1－y2y1，所以a⊗b＝b⊗a，故正确；B中，因为(λa)⊗b＝(λx1)x2－(λy1)y2＝λ(x1x2－y1y2)＝λ(a⊗b)，故正确；C中，a·(b⊗c)＝(x2x3－y2y3)a，(a⊗b)·c＝(x1x2－y1y2)c，此时a·(b⊗c)＝(a⊗b)·c不恒成立，故错误；D中，因为(|a|·|b|)2＝(eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·eq \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))2＝xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＋xeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＋xeq \\al(2,2)yeq \\al(2,1)，|a⊗b|2＝xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)－2x1x2y1y2，所以(|a|·|b|)2－|a⊗b|2＝xeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＋xeq \\al(2,2)yeq \\al(2,1)＋2x1x2y1y2＝(x1y2＋x2y1)2≥0，所以(|a|·|b|)2－|a⊗b|2≥0，且|a|·|b|≥0，|a⊗b|≥0，所以|a|·|b|≥|a⊗b|，故正确．
12．(2022·天津河西区模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，若点M在线段BD上，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CM,\s\up6(→))的最小值为( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(9,20) C．－eq \f(3,5) D.eq \f(9,20)
答案 B
解析
建立如图所示的平面直角坐标系，
因为AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，
所以A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，
设eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，0≤λ≤1，所以M(2－2λ，λ)，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝(2－2λ，λ)，eq \(CM,\s\up6(→))＝(1－2λ，λ－1)，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CM,\s\up6(→))＝(2－2λ)(1－2λ)＋λ(λ－1)＝5λ2－7λ＋2＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(7,10)))2－eq \f(9,20)，
当λ＝eq \f(7,10)时，eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CM,\s\up6(→))取得最小值为－eq \f(9,20).
13．(2022·北京市第十二中学月考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→)).
(1)求eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(CB,\s\up6(→))|)的值；
(2)已知A(1，cs x)，B(1＋cs x，cs x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m＋\f(2,3)))|eq \(AB,\s\up6(→))|.若f(x)的最小值为g(m)，求g(m)的最大值．
解 (1)由题意知，A，B，C三点满足eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))，
可得eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))，
即eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))，
即eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))，则|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2|eq \(CB,\s\up6(→))|，所以eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(CB,\s\up6(→))|)＝2.
(2)由题意知，eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，cs x)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1＋cs x，cs x)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(cs x,0)，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,3)cs x，cs x))，
所以函数f(x)＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m＋\f(2,3)))|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1＋eq \f(2,3)cs x＋cs2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m＋\f(2,3)))cs x＝(cs x－m)2＋1－m2，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs x∈[0,1]，
若m<0，当cs x＝0时，f(x)取得最小值g(m)＝1；
若0≤m≤1，当cs x＝m时，f(x)取得最小值g(m)＝1－m2；
若m>1，当cs x＝1时，f(x)取得最小值g(m)＝2－2m，
综上所述，g(m)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，m<0，,1－m2，0≤m≤1，,2－2m，m>1，))可得函数g(m)的最大值为1.
14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且m＝(2cs Acs C，－1)，n＝(tan Atan C－1,1)，m⊥n.
(1)求B的大小；
(2)若b＝7，sin A＋sin C＝eq \f(13\r(3),14)，求△ABC的面积．
解 (1)由m⊥n，则m·n＝0，
即m·n＝2cs Acs C(tan Atan C－1)－1
＝2sin Asin C－2cs Acs C－1
＝－2cs(A＋C)－1＝2cs B－1＝0，
∴cs B＝eq \f(1,2)，又B∈(0，π)，
∴B＝eq \f(π,3).
(2)∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(7,sin \f(π,3))＝eq \f(14,\r(3))，
∴sin A＝eq \f(\r(3),14)a，sin C＝eq \f(\r(3),14)c，
∵sin A＋sin C＝eq \f(13\r(3),14)，即eq \f(\r(3),14)a＋eq \f(\r(3),14)c＝eq \f(13\r(3),14)，
∴a＋c＝13.
又∵b2＝a2＋c2－2accs B，
即72＝a2＋c2－2accs eq \f(π,3)，∴ac＝40，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×40×sin eq \f(π,3)＝10eq \r(3).