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    【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题29 等差数列及其前n项和(含解析)

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    考点29 等差数列及其前n项和
    1、记Sn为等差数列{an}的前n项和,若-=1,则其公差d=(  )
    A.   B.2  
    C.3   D.4
    2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,a5=5,则S7的值是(  )
    A.30          B.29
    C.28 D.27
    3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=8,S6=54,则数列{an}的公差为(  )
    A.2  B.3 
    C.4 D.
    4、等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=22,则a3+a7+a8等于(  )
    A.18 B.12
    C.9 D.6
    5、已知等差数列{an},且3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则数列{an}的前13项之和为 (  )
    A.24   B.39  
    C.104   D.52
    6、在等差数列{an}中,a1=-2 017,其前n项和为Sn,若-=2,则S2 020=(  )
    A.2 020 B.-2 020
    C.4 040 D.-4 040
    7、设Sn是等差数列{an}的前n项和,公差d≠0,若S11=132,a3+ak=24,则正整数k的值为 (  )
    A.9   B.10  
    C.11   D.12
    8、已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=x2-10x的图象上,等差数列{bn}满足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是(  )
    A.Sn<2Tn B.b4=0
    C.T7>b7 D.T5=T6
    9、已知数列{an}满足an+1=an-,且a1=5,设{an}的前n项和为Sn,则使得Sn取得最大值的序号n的值为 (  )
    A.7   B.8  
    C.7或8   D.8或9
    10、《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为(  )
    A.1升 B.升
    C.升 D.升
    11、已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),若=,则=(  )
    A.4  B.2 
    C. D.
    12、下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
    p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;
    p3:数列{}是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.
    其中的真命题为(  )
    A.p1,p2 B.p3,p4
    C.p2,p3 D.p1,p4
    13、设Sn为等差数列{an}的前n项和,且(n+1)Sn<nSn+1(n∈N*).若<-1,则 (  )
    A.Sn的最大值是S8   B.Sn的最小值是S8
    C.Sn的最大值是S7   D.Sn的最小值是S7
    14、数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8等于(  )
    A.0 B.3
    C.8 D.11
    15、在等差数列{an}中,已知a3=5,a7=-7,则S10的值为(  )
    A.50  B.20 
    C.-70  D.-25
    16、如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(  )

    A.{Sn}是等差数列 B.{S}是等差数列
    C.{dn}是等差数列 D.{d}是等差数列
    17、已知数列{an}为等差数列,若<-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的n的最大值为________.
    18、若数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2,则使ak·ak+1<0的k值为________.
    19、在等差数列{an}中,a15=33,a25=66,则a35=________.
    20、《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.则月末日织几何?”其意思为今有女子善织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布.若第一天织5尺布,现在一个月(按30天计)共织390尺布,则该女最后一天织________尺布.
    21、已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,则a1=________.
    22、设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有=,则+的值为________.
    23、设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________.
    24、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,满足a1+a2=10,S5=40.
    (1)求数列{an}的通项公式;
    (2)设bn=|13-an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
    25、记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
    (1)求{an}的通项公式;
    (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
    26、在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a4,a8成等比数列.
    (1)若数列{an}的前10项和为45,求数列{an}的通项公式;
    (2)若bn=,且数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn=-,求数列{an}的公差.
    27、已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.
    (1)求a及k的值;
    (2)设数列{bn}的通项bn=,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.
    28、设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.
    (1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;
    (2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.





    考点29 等差数列及其前n项和
    1、记Sn为等差数列{an}的前n项和,若-=1,则其公差d=(  )
    A.   B.2  
    C.3   D.4
    【答案】B
    【解析】由-=1,得-=1,即a1+d-=1,∴d=2.
    2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,a5=5,则S7的值是(  )
    A.30          B.29
    C.28 D.27
    【答案】C
    【解析】由题意,设等差数列的公差为d,则d==1,故a4=a3+d=4,所以S7===7×4=28.故选C.
    3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=8,S6=54,则数列{an}的公差为(  )
    A.2  B.3 
    C.4 D.
    【答案】A
    【解析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d=8,S6=6a1+15d=54,解得a1=4,d=2.故选A.
    4、等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=22,则a3+a7+a8等于(  )
    A.18 B.12
    C.9 D.6
    【答案】D
    【解析】.由题意得S11===22,即a1+5d=2,所以a3+a7+a8=a1+2d+a1+6d+a1+7d=3(a1+5d)=6,故选D.
    5、已知等差数列{an},且3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则数列{an}的前13项之和为 (  )
    A.24   B.39  
    C.104   D.52
    【答案】D
    【解析】因为{an}是等差数列,所以3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=6a4+6a10=48.所以a4+a10=8.其前13项的和为===52,故选D.
    6、在等差数列{an}中,a1=-2 017,其前n项和为Sn,若-=2,则S2 020=(  )
    A.2 020 B.-2 020
    C.4 040 D.-4 040
    【答案】C
    【解析】设等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn,则=An+B,∴是等差数列.∵-=2,∴的公差为1,又==-2 017,∴是以-2 017为首项,1为公差的等差数列,∴=-2 017+2 019×1=2,∴S2 020=4 040.故选C.
    7、设Sn是等差数列{an}的前n项和,公差d≠0,若S11=132,a3+ak=24,则正整数k的值为 (  )
    A.9   B.10  
    C.11   D.12
    【答案】A
    【解析】依题意,得S11==11a6=132,a6=12,于是有a3+ak=24=2a6,因此3+k=2×6=12,k=9,故选A.
    8、已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=x2-10x的图象上,等差数列{bn}满足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是(  )
    A.Sn<2Tn B.b4=0
    C.T7>b7 D.T5=T6
    【答案】D
    【解析】因为点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=x2-10x的图象上,所以Sn=n2-10n,所以an=2n-11,又bn+bn+1=an(n∈N*),数列{bn}为等差数列,设公差为d,所以2b1+d=-9,2b1+3d=-7,解得b1=-5,d=1,所以bn=n-6,所以b6=0,所以T5=T6,故选D.
    9、已知数列{an}满足an+1=an-,且a1=5,设{an}的前n项和为Sn,则使得Sn取得最大值的序号n的值为 (  )
    A.7   B.8  
    C.7或8   D.8或9
    【答案】C
    【解析】由题意可知数列{an}是首项为5,公差为-的等差数列,所以an=5-(n-1)=.该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以Sn取得最大值时,n=7或8.故选C.
    10、《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为(  )
    A.1升 B.升
    C.升 D.升
    【答案】B
    【解析】设该等差数列为{an},公差为d,
    由题意得即
    解得
    ∴a5=+4×=.故选B.
    11、已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),若=,则=(  )
    A.4  B.2 
    C. D.
    【答案】D
    【解析】设等差数列{an}的公差为d,则=,可得a1=d,故===.故选D.
    12、下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
    p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;
    p3:数列{}是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.
    其中的真命题为(  )
    A.p1,p2 B.p3,p4
    C.p2,p3 D.p1,p4
    【答案】D
    【解析】{an}是等差数列,则an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,因为d>0,所以{an}是递增数列,故p1正确;对p2,举反例,令a1=-3,a2=-2,d=1,则a1>2a2,故{nan}不是递增数列,p2不正确;=d+,当a1-d>0时,{}递减,p3不正确;an+3nd=4nd+a1-d,4d>0,{an+3nd}是递增数列,p4正确.故p1,p4是正确的,选D.
    13、设Sn为等差数列{an}的前n项和,且(n+1)Sn<nSn+1(n∈N*).若<-1,则 (  )
    A.Sn的最大值是S8   B.Sn的最小值是S8
    C.Sn的最大值是S7   D.Sn的最小值是S7
    【答案】D
    【解析】由条件,得<,即<,
    所以an<an+1.所以等差数列{an}为递增数列.又<-1,所以a8>0,a7<0,即数列{an}前7项均小于0,第8项大于零.所以Sn的最小值为S7.故选D.
    14、数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8等于(  )
    A.0 B.3
    C.8 D.11
    【答案】B
    【解析】∵{bn}为等差数列,设其公差为d,
    由b3=-2,b10=12,
    ∴7d=b10-b3=12-(-2)=14,∴d=2,
    ∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6,
    ∴b1+b2+…+b7=7b1+d
    =7×(-6)+21×2=0,
    又b1+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=a8-a1=a8-3,
    ∴a8-3=0,∴a8=3.故选B.
    15、在等差数列{an}中,已知a3=5,a7=-7,则S10的值为(  )
    A.50  B.20 
    C.-70  D.-25
    【答案】D
    【解析】设等差数列{an}的公差为d.∵a7-a3=4d=-12,∴d=-3,∴a10=a7+3d=-16,a1=a3-2d=11,∴S10==-25.故选D.
    16、如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(  )

    A.{Sn}是等差数列 B.{S}是等差数列
    C.{dn}是等差数列 D.{d}是等差数列
    【答案】A
    【解析】作A1C1,A2C2,A3C3,…,AnCn垂直于直线B1Bn,垂足分别为C1,C2,C3,…,Cn,则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.
    ∵|AnAn+1|=|An+1An+2|,
    ∴|CnCn+1|=|Cn+1Cn+2|.
    设|A1C1|=a,|A2C2|=b,|B1B2|=c,
    则|A3C3|=2b-a,…,|AnCn|=(n-1)b-(n-2)a(n≥3),
    ∴Sn=c[(n-1)b-(n-2)a]
    =c[(b-a)n+(2a-b)],
    ∴Sn+1-Sn=c[(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)]=c(b-a),∴数列{Sn}是等差数列.
    17、已知数列{an}为等差数列,若<-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的n的最大值为________.
    【答案】19.
    【解析】∵<-1,且Sn有最大值,
    ∴a10>0,a11<0,且a10+a11<0,
    ∴S19==19·a10>0,
    S20==10(a10+a11)<0,
    故使得Sn>0的n的最大值为19.
    18、若数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2,则使ak·ak+1<0的k值为________.
    【答案】23.
    【解析】因为3an+1=3an-2,所以an+1-an=-,所以数列{an}是首项为15,公差为-的等差数列,所以an=15-·(n-1)=-n+,令an=-n+>0,得n<23.5,所以使ak·ak+1<0的k值为23.
    19、在等差数列{an}中,a15=33,a25=66,则a35=________.
    【答案】99
    【解析】∵a25-a15=10d=66-33=33,∴a35=a25+10d=66+33=99.
    20、《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.则月末日织几何?”其意思为今有女子善织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布.若第一天织5尺布,现在一个月(按30天计)共织390尺布,则该女最后一天织________尺布.
    【答案】21
    【解析】由题意得,该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列,设为{an},其中a1=5,前30项和为390,于是有=390,解得a30=21,即该女最后一天织21尺布.
    21、已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,则a1=________.
    【答案】-1
    【解析】因为a5是a3与a11的等比中项,所以a=a3·a11,即(a1+4d)2=(a1+2d)·(a1+10d),解得a1=-1.
    22、设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有=,则+的值为________.
    【答案】
    【解析】因为{an},{bn}为等差数列,所以+=+==.因为====,所以+=.
    23、设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________.
    【答案】130
    【解析】由an=2n-10(n∈N*),知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0,得n≥5,∴当n≤5时,an≤0;当n>5时,an>0,∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.
    24、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,满足a1+a2=10,S5=40.
    (1)求数列{an}的通项公式;
    (2)设bn=|13-an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
    【答案】(1) 2n+2 (2) -n2+10n Tn=
    【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
    由题意知,a1+a2=2a1+d=10,
    S5=5a3=40,即a3=8,所以a1+2d=8,
    所以所以an=4+(n-1)·2=2n+2.
    (2)令cn=13-an=11-2n,
    bn=|cn|=|11-2n|=
    设数列{cn}的前n项和为Qn,则Qn=-n2+10n.
    当n≤5时,Tn=b1+b2+…+bn=Qn=-n2+10n.
    当n≥6时,Tn=b1+b2+…+bn=c1+c2+…+c5-(c6+c7+…+cn)=-Qn+2Q5=n2-10n+2(-52+10×5)=n2-10n+50.
    ∴Tn=
    25、记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
    (1)求{an}的通项公式;
    (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
    【答案】(1) (-2)n. (2) Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列
    【解析】(1)设{an}的公比为q,由题设可得

    解得q=-2,a1=-2.
    故{an}的通项公式为an=(-2)n.
    (2)由(1)可得Sn==-+(-1)n·.
    由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n·
    =2=2Sn,
    故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
    26、在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a4,a8成等比数列.
    (1)若数列{an}的前10项和为45,求数列{an}的通项公式;
    (2)若bn=,且数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn=-,求数列{an}的公差.
    【答案】(1) . (2) -1或1
    【解析】(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),
    由a1,a4,a8成等比数列可得a=a1·a8,即(a1+3d)2=a1·(a1+7d),解得a1=9d.
    由数列{an}的前10项和为45得10a1+45d=45,即90d+45d=45,所以d=,a1=3.
    故数列{an}的通项公式为an=3+(n-1)×=.
    (2)因为bn==,
    所以数列{bn}的前n项和Tn=++…+=,
    即Tn====-,
    因此=1,解得d=-1或d=1.
    故数列{an}的公差为-1或1.
    27、已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.
    (1)求a及k的值;
    (2)设数列{bn}的通项bn=,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.
    【答案】(1) a=2,k=10 (2)
    【解析】(1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,
    由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,
    所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.
    由Sk=110,得k2+k-110=0,
    解得k=10或k=-11(舍去),
    故a=2,k=10.
    (2)由(1),得Sn==n(n+1),则bn==n+1,
    故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,
    即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,
    所以Tn==.
    28、设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.
    (1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;
    (2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1) 2n-1 n2 (2) 存在正整数t,使得b1,b2,bm成等差数列
    【解析】(1)设{an}的公差为d,由题意得
    解得a1=1,d=2,
    故an=2n-1,Sn=n2.
    (2)由(1)知bn=,
    要使b1,b2,bm成等差数列,必须有2b2=b1+bm,
    即2×=+,
    移项得=-=,
    整理得m=3+.
    因为m,t为正整数,
    所以t只能取2,3,5.
    当t=2时,m=7;当t=3时,m=5;
    当t=5时,m=4.
    所以存在正整数t,使得b1,b2,bm成等差数列.



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