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【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题29 等差数列及其前n项和（含解析）
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考点29 等差数列及其前n项和
1、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若－＝1，则其公差d＝( )
A. B．2
C．3 D．4
2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是( )
A．30 B．29
C．28 D．27
3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝8，S6＝54，则数列{an}的公差为( )
A．2 B．3
C．4 D．
4、等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于( )
A．18 B．12
C．9 D．6
5、已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 ( )
A．24 B．39
C．104 D．52
6、在等差数列{an}中，a1＝－2 017，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 020＝( )
A．2 020 B．－2 020
C．4 040 D．－4 040
7、设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak＝24，则正整数k的值为 ( )
A．9 B．10
C．11 D．12
8、已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
A．Sn＜2Tn B．b4＝0
C．T7＞b7 D．T5＝T6
9、已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为 ( )
A．7 B．8
C．7或8 D．8或9
10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升 B．升
C.升 D．升
11、已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若＝，则＝( )
A．4 B．2
C. D．
12、下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
13、设Sn为等差数列{an}的前n项和，且(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，则 ( )
A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8
C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7
14、数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于( )
A．0 B．3
C．8 D．11
15、在等差数列{an}中，已知a3＝5，a7＝－7，则S10的值为( )
A．50 B．20
C．－70 D．－25
16、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
17、已知数列{an}为等差数列，若＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn＞0的n的最大值为________．
18、若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为________．
19、在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.
20、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．
21、已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝________.
22、设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
23、设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
24、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
25、记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
26、在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．
(1)若数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差．
27、已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
28、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；
(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
考点29 等差数列及其前n项和
1、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若－＝1，则其公差d＝( )
A. B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】由－＝1，得－＝1，即a1＋d－＝1，∴d＝2.
2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是( )
A．30 B．29
C．28 D．27
【答案】C
【解析】由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故选C.
3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝8，S6＝54，则数列{an}的公差为( )
A．2 B．3
C．4 D．
【答案】A
【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d＝8，S6＝6a1＋15d＝54，解得a1＝4，d＝2.故选A.
4、等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于( )
A．18 B．12
C．9 D．6
【答案】D
【解析】.由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.
5、已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 ( )
A．24 B．39
C．104 D．52
【答案】D
【解析】因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48.所以a4＋a10＝8.其前13项的和为＝＝＝52，故选D.
6、在等差数列{an}中，a1＝－2 017，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 020＝( )
A．2 020 B．－2 020
C．4 040 D．－4 040
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则＝An＋B，∴是等差数列．∵－＝2，∴的公差为1，又＝＝－2 017，∴是以－2 017为首项，1为公差的等差数列，∴＝－2 017＋2 019×1＝2，∴S2 020＝4 040.故选C.
7、设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak＝24，则正整数k的值为 ( )
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】A
【解析】依题意，得S11＝＝11a6＝132，a6＝12，于是有a3＋ak＝24＝2a6，因此3＋k＝2×6＝12，k＝9，故选A.
8、已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
A．Sn＜2Tn B．b4＝0
C．T7＞b7 D．T5＝T6
【答案】D
【解析】因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以Sn＝n2－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D.
9、已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为 ( )
A．7 B．8
C．7或8 D．8或9
【答案】C
【解析】由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－的等差数列，所以an＝5－(n－1)＝.该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n＝7或8.故选C.
10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升 B．升
C.升 D．升
【答案】B
【解析】设该等差数列为{an}，公差为d，
由题意得即
解得
∴a5＝＋4×＝.故选B.
11、已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若＝，则＝( )
A．4 B．2
C. D．
【答案】D
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则＝，可得a1＝d，故＝＝＝.故选D.
12、下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
【答案】D
【解析】{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因为d＞0，所以{an}是递增数列，故p1正确；对p2，举反例，令a1＝－3，a2＝－2，d＝1，则a1＞2a2，故{nan}不是递增数列，p2不正确；＝d＋，当a1－d＞0时，{}递减，p3不正确；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d＞0，{an＋3nd}是递增数列，p4正确．故p1，p4是正确的，选D.
13、设Sn为等差数列{an}的前n项和，且(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，则 ( )
A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8
C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7
【答案】D
【解析】由条件，得＜，即＜，
所以an＜an＋1.所以等差数列{an}为递增数列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零．所以Sn的最小值为S7.故选D.
14、数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于( )
A．0 B．3
C．8 D．11
【答案】B
【解析】∵{bn}为等差数列，设其公差为d，
由b3＝－2，b10＝12，
∴7d＝b10－b3＝12－(－2)＝14，∴d＝2，
∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6，
∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d
＝7×(－6)＋21×2＝0，
又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3，
∴a8－3＝0，∴a8＝3.故选B.
15、在等差数列{an}中，已知a3＝5，a7＝－7，则S10的值为( )
A．50 B．20
C．－70 D．－25
【答案】D
【解析】设等差数列{an}的公差为d.∵a7－a3＝4d＝－12，∴d＝－3，∴a10＝a7＋3d＝－16，a1＝a3－2d＝11，∴S10＝＝－25.故选D.
16、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
【答案】A
【解析】作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.
∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，
∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.
设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，
则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，
∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]
＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，
∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列．
17、已知数列{an}为等差数列，若＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn＞0的n的最大值为________．
【答案】19．
【解析】∵＜－1，且Sn有最大值，
∴a10＞0，a11＜0，且a10＋a11＜0，
∴S19＝＝19·a10＞0，
S20＝＝10(a10＋a11)＜0，
故使得Sn＞0的n的最大值为19.
18、若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为________．
【答案】23．
【解析】因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以使ak·ak＋1＜0的k值为23.
19、在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.
【答案】99
【解析】∵a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99.
20、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．
【答案】21
【解析】由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项和为390，于是有＝390，解得a30＝21，即该女最后一天织21尺布．
21、已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝________.
【答案】－1
【解析】因为a5是a3与a11的等比中项，所以a＝a3·a11，即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)·(a1＋10d)，解得a1＝－1.
22、设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
【答案】
【解析】因为{an}，{bn}为等差数列，所以＋＝＋＝＝.因为＝＝＝＝，所以＋＝.
23、设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
【答案】130
【解析】由an＝2n－10(n∈N*)，知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0；当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
24、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】(1) 2n＋2 (2) －n2＋10n Tn＝
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，
S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，
所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.
(2)令cn＝13－an＝11－2n，
bn＝|cn|＝|11－2n|＝
设数列{cn}的前n项和为Qn，则Qn＝－n2＋10n.
当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n.
当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50.
∴Tn＝
25、记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
【答案】(1) (－2)n. (2) Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列
【解析】(1)设{an}的公比为q，由题设可得
解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n·.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n·
＝2＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
26、在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．
(1)若数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差．
【答案】(1) . (2) －1或1
【解析】(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，
由a1，a4，a8成等比数列可得a＝a1·a8，即(a1＋3d)2＝a1·(a1＋7d)，解得a1＝9d.
由数列{an}的前10项和为45得10a1＋45d＝45，即90d＋45d＝45，所以d＝，a1＝3.
故数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×＝.
(2)因为bn＝＝，
所以数列{bn}的前n项和Tn＝＋＋…＋＝，
即Tn＝＝＝＝－，
因此＝1，解得d＝－1或d＝1.
故数列{an}的公差为－1或1.
27、已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
【答案】(1) a＝2，k＝10 (2)
【解析】(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，
故a＝2，k＝10.
(2)由(1)，得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.
28、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；
(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 2n－1 n2 (2) 存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列
【解析】(1)设{an}的公差为d，由题意得
解得a1＝1，d＝2，
故an＝2n－1，Sn＝n2.
(2)由(1)知bn＝，
要使b1，b2，bm成等差数列，必须有2b2＝b1＋bm，
即2×＝＋，
移项得＝－＝，
整理得m＝3＋.
因为m，t为正整数，
所以t只能取2,3,5.
当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；
当t＝5时，m＝4.
所以存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．
1、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若－＝1，则其公差d＝( )
A. B．2
C．3 D．4
2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是( )
A．30 B．29
C．28 D．27
3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝8，S6＝54，则数列{an}的公差为( )
A．2 B．3
C．4 D．
4、等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于( )
A．18 B．12
C．9 D．6
5、已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 ( )
A．24 B．39
C．104 D．52
6、在等差数列{an}中，a1＝－2 017，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 020＝( )
A．2 020 B．－2 020
C．4 040 D．－4 040
7、设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak＝24，则正整数k的值为 ( )
A．9 B．10
C．11 D．12
8、已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
A．Sn＜2Tn B．b4＝0
C．T7＞b7 D．T5＝T6
9、已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为 ( )
A．7 B．8
C．7或8 D．8或9
10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升 B．升
C.升 D．升
11、已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若＝，则＝( )
A．4 B．2
C. D．
12、下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
13、设Sn为等差数列{an}的前n项和，且(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，则 ( )
A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8
C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7
14、数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于( )
A．0 B．3
C．8 D．11
15、在等差数列{an}中，已知a3＝5，a7＝－7，则S10的值为( )
A．50 B．20
C．－70 D．－25
16、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
17、已知数列{an}为等差数列，若＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn＞0的n的最大值为________．
18、若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为________．
19、在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.
20、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．
21、已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝________.
22、设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
23、设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
24、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
25、记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
26、在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．
(1)若数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差．
27、已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
28、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；
(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
考点29 等差数列及其前n项和
1、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若－＝1，则其公差d＝( )
A. B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】由－＝1，得－＝1，即a1＋d－＝1，∴d＝2.
2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是( )
A．30 B．29
C．28 D．27
【答案】C
【解析】由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故选C.
3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝8，S6＝54，则数列{an}的公差为( )
A．2 B．3
C．4 D．
【答案】A
【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d＝8，S6＝6a1＋15d＝54，解得a1＝4，d＝2.故选A.
4、等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于( )
A．18 B．12
C．9 D．6
【答案】D
【解析】.由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.
5、已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 ( )
A．24 B．39
C．104 D．52
【答案】D
【解析】因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48.所以a4＋a10＝8.其前13项的和为＝＝＝52，故选D.
6、在等差数列{an}中，a1＝－2 017，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 020＝( )
A．2 020 B．－2 020
C．4 040 D．－4 040
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则＝An＋B，∴是等差数列．∵－＝2，∴的公差为1，又＝＝－2 017，∴是以－2 017为首项，1为公差的等差数列，∴＝－2 017＋2 019×1＝2，∴S2 020＝4 040.故选C.
7、设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak＝24，则正整数k的值为 ( )
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】A
【解析】依题意，得S11＝＝11a6＝132，a6＝12，于是有a3＋ak＝24＝2a6，因此3＋k＝2×6＝12，k＝9，故选A.
8、已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
A．Sn＜2Tn B．b4＝0
C．T7＞b7 D．T5＝T6
【答案】D
【解析】因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以Sn＝n2－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D.
9、已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为 ( )
A．7 B．8
C．7或8 D．8或9
【答案】C
【解析】由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－的等差数列，所以an＝5－(n－1)＝.该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n＝7或8.故选C.
10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升 B．升
C.升 D．升
【答案】B
【解析】设该等差数列为{an}，公差为d，
由题意得即
解得
∴a5＝＋4×＝.故选B.
11、已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若＝，则＝( )
A．4 B．2
C. D．
【答案】D
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则＝，可得a1＝d，故＝＝＝.故选D.
12、下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
【答案】D
【解析】{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因为d＞0，所以{an}是递增数列，故p1正确；对p2，举反例，令a1＝－3，a2＝－2，d＝1，则a1＞2a2，故{nan}不是递增数列，p2不正确；＝d＋，当a1－d＞0时，{}递减，p3不正确；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d＞0，{an＋3nd}是递增数列，p4正确．故p1，p4是正确的，选D.
13、设Sn为等差数列{an}的前n项和，且(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，则 ( )
A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8
C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7
【答案】D
【解析】由条件，得＜，即＜，
所以an＜an＋1.所以等差数列{an}为递增数列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零．所以Sn的最小值为S7.故选D.
14、数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于( )
A．0 B．3
C．8 D．11
【答案】B
【解析】∵{bn}为等差数列，设其公差为d，
由b3＝－2，b10＝12，
∴7d＝b10－b3＝12－(－2)＝14，∴d＝2，
∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6，
∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d
＝7×(－6)＋21×2＝0，
又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3，
∴a8－3＝0，∴a8＝3.故选B.
15、在等差数列{an}中，已知a3＝5，a7＝－7，则S10的值为( )
A．50 B．20
C．－70 D．－25
【答案】D
【解析】设等差数列{an}的公差为d.∵a7－a3＝4d＝－12，∴d＝－3，∴a10＝a7＋3d＝－16，a1＝a3－2d＝11，∴S10＝＝－25.故选D.
16、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
【答案】A
【解析】作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.
∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，
∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.
设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，
则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，
∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]
＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，
∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列．
17、已知数列{an}为等差数列，若＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn＞0的n的最大值为________．
【答案】19．
【解析】∵＜－1，且Sn有最大值，
∴a10＞0，a11＜0，且a10＋a11＜0，
∴S19＝＝19·a10＞0，
S20＝＝10(a10＋a11)＜0，
故使得Sn＞0的n的最大值为19.
18、若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为________．
【答案】23．
【解析】因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以使ak·ak＋1＜0的k值为23.
19、在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.
【答案】99
【解析】∵a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99.
20、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．
【答案】21
【解析】由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项和为390，于是有＝390，解得a30＝21，即该女最后一天织21尺布．
21、已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝________.
【答案】－1
【解析】因为a5是a3与a11的等比中项，所以a＝a3·a11，即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)·(a1＋10d)，解得a1＝－1.
22、设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
【答案】
【解析】因为{an}，{bn}为等差数列，所以＋＝＋＝＝.因为＝＝＝＝，所以＋＝.
23、设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
【答案】130
【解析】由an＝2n－10(n∈N*)，知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0；当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
24、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】(1) 2n＋2 (2) －n2＋10n Tn＝
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，
S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，
所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.
(2)令cn＝13－an＝11－2n，
bn＝|cn|＝|11－2n|＝
设数列{cn}的前n项和为Qn，则Qn＝－n2＋10n.
当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n.
当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50.
∴Tn＝
25、记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
【答案】(1) (－2)n. (2) Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列
【解析】(1)设{an}的公比为q，由题设可得
解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n·.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n·
＝2＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
26、在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．
(1)若数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差．
【答案】(1) . (2) －1或1
【解析】(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，
由a1，a4，a8成等比数列可得a＝a1·a8，即(a1＋3d)2＝a1·(a1＋7d)，解得a1＝9d.
由数列{an}的前10项和为45得10a1＋45d＝45，即90d＋45d＝45，所以d＝，a1＝3.
故数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×＝.
(2)因为bn＝＝，
所以数列{bn}的前n项和Tn＝＋＋…＋＝，
即Tn＝＝＝＝－，
因此＝1，解得d＝－1或d＝1.
故数列{an}的公差为－1或1.
27、已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
【答案】(1) a＝2，k＝10 (2)
【解析】(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，
故a＝2，k＝10.
(2)由(1)，得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.
28、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；
(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 2n－1 n2 (2) 存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列
【解析】(1)设{an}的公差为d，由题意得
解得a1＝1，d＝2，
故an＝2n－1，Sn＝n2.
(2)由(1)知bn＝，
要使b1，b2，bm成等差数列，必须有2b2＝b1＋bm，
即2×＝＋，
移项得＝－＝，
整理得m＝3＋.
因为m，t为正整数，
所以t只能取2,3,5.
当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；
当t＝5时，m＝4.
所以存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．
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