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    【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题20 两角和与差的正弦、余弦和正切(含解析)
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    【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题20 两角和与差的正弦、余弦和正切(含解析)

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    考点20 两角和与差的正弦、余弦和正切
    1、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=a2+bc,A=,则角C=(  )
    A.  B.  
    C.或 D.或
    2、△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=,c=4,cos B=,则△ABC的面积为(  )
    A.3        B.
    C.9 D.
    3、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是(  )
    A.a=c   B.b=c
    C.2a=c D.a2+b2=c2
    4、已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,sin A∶sin B=1∶,c=2cos C=,则△ABC的周长为(  )
    A.3+3 B.2[来源:学&科&网Z&X&X&K]
    C.3+2 D.3+
    5、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=60°,b=1,S△ABC=,则c=(  )
    A.1  B.2 
    C.3 D.4
    6、在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是(  )
    A. B.
    C. D.
    7、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若<cos A,则△ABC为(  )
    A.钝角三角形 B.直角三角形
    C.锐角三角形 D.等边三角形
    8、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(  )
    A.a=2b B.b=2a
    C.A=2B D.B=2A
    9、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=3,c=2,则A=(  )
    A.   B. 
    C. D.
    10、已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B等于(  )
    A. B.
    C. D.
    11、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a2+b2-c2)tan C=ab,则角C的大小为(  )
    A.或   B.或
    C. D.
    12、在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=(  )
    A. B.
    C.- D.-
    13、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A+sin A-=0,则的值是(  )
    A.1 B.
    C. D.2
    14、△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=(  )
    A.   B. 
    C. D.
    15、在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sin C=2 sin B,则A=(  )
    A.150°  B.120°
    C.60° D.30°
    16、在△ABC中,A=,b2sin C=4sin B,则△ABC的面积为________.
    17、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2(bcos A+acos B)=c2,b=3,3cos A=1,则a的值为________.
    18、在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=5,B=,△ABC的面积为,则cos 2A=________.
    19、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC=________.
    20、已知△ABC中,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是________,cos∠BDC=________.
    21、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2+c2=2a2,则cos A的最小值为________.
    22、△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.
    (1)求sin Bsin C;
    (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.[来源:学科网]
    23、如图,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acos A=bcos C+ccos B.

    (1)求角A的大小;
    (2)若点D在边AC上,且BD是∠ABC的平分线,AB=2,BC=4,求AD的长.
    24、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
    (1)证明:sin Asin B=sin C.
    (2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.
    25、在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2B+cos B=1-cos Acos C.
    (1)求证:a,b,c成等比数列;
    (2)若b=2,求△ABC的面积的最大值.[来源:Zxxk.Com]
    26、在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且4sin Acos2A-cos(B+C)=sin 3A+.
    (1)求A的大小;
    (2)若b=2,求△ABC面积的取值范围.
    27、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.
    (1)证明:a+b=2c;[来源:学科网ZXXK]
    (2)求cos C的最小值.[来源:学+科+网]
    28、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
    (1)若23cos2 A+cos 2A=0,且△ABC为锐角三角形,a=7,c=6,求b的值;
    (2)若a=,A=,求b+c的取值范围.











    考点20 两角和与差的正弦、余弦和正切
    1、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=a2+bc,A=,则角C=(  )
    A.  B.  
    C.或 D.或
    【答案】B
    【解析】在△ABC中,由余弦定理得cos A=,即=,所以b2+c2-a2=bc.又b2=a2+bc,所以c2+bc=bc,即c=(-1)b<b,则a=b,所以cos C==,解得C=.故选B.
    2、△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=,c=4,cos B=,则△ABC的面积为(  )
    A.3        B.
    C.9 D.
    【答案】B
    【解析】.由余弦定理b2=c2+a2-2accos B,得7=16+a2-6a,解得a=3,∵cos B=,∴sin B=,∴S△ABC=casin B=×4×3×=.故选B.
    3、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是(  )
    A.a=c   B.b=c
    C.2a=c D.a2+b2=c2
    【答案】B
    【解析】由余弦定理,得cos A===,则A=30°.又b=a,由正弦定理得sin B=sin A=sin 30°=,所以B=60°或120°.
    当B=60°时,△ABC为直角三角形,且2a=c,可知C,D成立;当B=120°时,C=30°,所以A=C,即a=c,可知A成立.故选B.
    4、已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,sin A∶sin B=1∶,c=2cos C=,则△ABC的周长为(  )
    A.3+3 B.2
    C.3+2 D.3+
    【答案】C
    【解析】因为sin A∶sin B=1∶,所以b=a,
    由余弦定理得cos C===,
    又c=,所以a=,b=3,所以△ABC的周长为3+2,故选C.
    5、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=60°,b=1,S△ABC=,则c=(  )
    A.1  B.2 
    C.3 D.4[来源:Z_xx_k.Com]
    【答案】D
    【解析】∵S△ABC=bcsin A,∴=×1×c×,∴c=4.
    6、在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是(  )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】由正弦定理及sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C可得a2≤b2+c2-bc,即b2+c2-a2≥bc,由余弦定理可得cos A=≥=,又0<A<π,所以0<A≤.故A的取值范围是.故选C.
    7、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若<cos A,则△ABC为(  )
    A.钝角三角形 B.直角三角形
    C.锐角三角形 D.等边三角形
    【答案】A
    【解析】根据正弦定理得=<cos A,
    即sin C<sin Bcos A,∵A+B+C=π,
    ∴sin C=sin(A+B)<sin Bcos A,整理得sin Acos B<0.又在三角形中sin A>0,[来源:学&科&网]
    ∴cos B<0,∴<B<π.∴△ABC为钝角三角形.
    8、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(  )
    A.a=2b B.b=2a
    C.A=2B D.B=2A
    【答案】A
    【解析】因为A+B+C=π,sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,所以sin(A+C)+2sin Bcos C=2sin Acos C+cos Asin C,所以2sin B cos C=sin Acos C.
    又cos C≠0,所以2sin B=sin A,所以2b=a,故选A.
    9、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=3,c=2,则A=(  )
    A.   B. 
    C. D.[来源:Zxxk.Com]
    【答案】C
    【解析】∵cos A===,且A∈,∴A=.故选C.
    10、已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B等于(  )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】根据正弦定理===2R,
    得==,
    即a2+c2-b2=ac,
    得cos B==,又0<B<π,
    所以B=,故选C.
    11、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a2+b2-c2)tan C=ab,则角C的大小为(  )
    A.或   B.或
    C. D.
    【答案】A
    【解析】由题意知,=⇒cos C=,∴sin C=.又C∈(0,π),∴C=或.故选A.
    12、在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=(  )
    A. B.
    C.- D.-[来源:Zxxk.Com]
    【答案】C
    【解析】如图,过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,在△ABC中,由余弦定理的推论可知,cos∠BAC===-,故选C.
    13、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A+sin A-=0,则的值是(  )
    A.1 B.
    C. D.2
    【答案】B
    【解析】因为cos A+sin A-=0,所以(cos A+sin A)(cos B+sin B)=2,所以cos Acos B+sin Asin B+sin Acos B+cos Asin B=2,即cos(A-B)+sin(A+B)=2,所以cos(A-B)=1,sin(A+B)=1,又A,B分别为三角形的内角,所以A=B,A+B=,所以a=b,C=,所以==,故选B.
    14、△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=(  )
    A.   B. 
    C. D.
    【答案】C
    【解析】∵b=c,∴B=C.
    又由A+B+C=π得B=-.由正弦定理及a2=2b2(1-sin A)得sin2A=2sin2B·(1-sin A),即sin2A=2sin2(1-sin A),即sin2A=2cos2(1-sin A),即4sin2cos2=2cos2(1-sin A),
    整理得cos2=0,即cos2(cos A-sin A)=0.
    ∵0<A<π,∴0<<,∴cos≠0,
    ∴cos A=sin A.又0<A<π,∴A=.
    15、在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sin C=2 sin B,则A=(  )
    A.150°  B.120°
    C.60° D.30°
    【答案】D
    【解析】由a2-b2=bc,得sin2A-sin2B=sin B·sin C,
    ∵sin C=2 sin B,∴sin A=sin B,∴c=2 b,a=b,
    由余弦定理得cosA==,∴A=30°.故选D.
    16、在△ABC中,A=,b2sin C=4sin B,则△ABC的面积为________.
    【答案】2
    【解析】因为b2sin C=4sin B,所以b2c=4b,即bc=4,故S△ABC=bcsin A=×4×=2.
    17、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2(bcos A+acos B)=c2,b=3,3cos A=1,则a的值为________.
    【答案】3
    【解析】由正弦定理可得
    2(sin Bcos A+sin Acos B)=csin C,
    ∵2(sin Bcos A+sin Acos B)=2sin(A+B)=2sin C,∴2sin C=csin C,∵sin C>0,∴c=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=22+32-2×2×3×=9,∴a=3.
    18、在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=5,B=,△ABC的面积为,则cos 2A=________.
    【答案】
    【解析】由三角形的面积公式,得S△ABC=acsin B=×a×5×sin=××5a=,解得a=3.
    由b2=a2+c2-2accos B=32+52-2×3×5×=49,得b=7.由=⇒sin A=sin B=sin =,∴cos 2A=1-2sin2A=1-2×=.
    19、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC=________.
    【答案】
    【解析】因为角A,B,C依次成等差数列,所以B=60°.由正弦定理,得=,解得sin A=.因为0°<A<180°,所以A=30°或150°(舍去),此时C=90°,所以S△ABC=ab=.
    20、已知△ABC中,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是________,cos∠BDC=________.
    【答案】;
    【解析】由余弦定理得cos∠ABC==,
    ∴cos∠CBD=-,sin∠CBD=,
    ∴S△BDC=BD·BC·sin∠CBD=×2×2×=.
    又cos∠ABC=cos 2∠BDC=2cos2∠BDC-1=,
    0<∠BDC<,
    ∴cos∠BDC=.
    21、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2+c2=2a2,则cos A的最小值为________.
    【答案】
    【解析】因为b2+c2=2a2,则由余弦定理可得a2=2bccos A,所以cos A==×≥×=(当且仅当b=c时等号成立),即cos A的最小值为.
    22、△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.
    (1)求sin Bsin C;
    (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.
    【答案】
    【解析】(1)由题设得acsin B=,即csin B=.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
    由正弦定理得sin Csin B=.
    故sin Bsin C=.
    (2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,
    即cos(B+C)=-.
    所以B+C=,故A=.
    由题设得bcsin A=,a=3,即bc=8.
    由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,由bc=8,
    得b+c=.
    故△ABC的周长为3+.
    23、如图,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acos A=bcos C+ccos B.

    (1)求角A的大小;
    (2)若点D在边AC上,且BD是∠ABC的平分线,AB=2,BC=4,求AD的长.
    【答案】
    【解】(1)由题意及正弦定理得2sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A. 
    ∵sin A≠0,∴cos A=.∵A∈(0,π),∴A=.
    (2)在△ABC中,由余弦定理得,
    BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A,即16=4+AC2-2AC,
    解得AC=1+,或AC=1-(负值,舍去).
    ∵BD是∠ABC的平分线,AB=2,BC=4,
    ∴==,∴AD=AC=.
    24、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
    (1)证明:sin Asin B=sin C.
    (2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.
    【答案】(1)见解析 (2)4
    【解析】(1)证明:由正弦定理==,可知原式可以化简为+==1,因为A和B为三角形的内角,所以sin Asin B≠0,
    则两边同时乘以sin Asin B,可得
    sin Bcos A+sin Acos B=sin Asin B,
    由和角公式可知,sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,∴sin C=sin Asin B,故原式得证.
    (2)由b2+c2-a2=bc,根据余弦定理可知,
    cos A==.
    因为A为三角形内角,A∈(0,π),sin A>0,则sin A==,即=,由(1)可知+==1,所以==1-=1-=,所以tan B=4.
    25、在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2B+cos B=1-cos Acos C.
    (1)求证:a,b,c成等比数列;
    (2)若b=2,求△ABC的面积的最大值.
    【答案】(1)见解析 (2)
    【解析】(1)在△ABC中,cos B=-cos(A+C).
    由已知,得(1-sin2B)-cos(A+C)=1-cos Acos C,
    ∴-sin2B-(cos Acos C-sin Asin C)=-cos Acos C,化简,得sin2B=sin Asin C.
    由正弦定理,得b2=ac,∴a,b,c成等比数列.
    (2)由(1)及题设条件,得ac=4.
    则cos B==≥=,
    当且仅当a=c时,等号成立.
    ∵0<B<π,∴sin B=≤=.
    ∴S△ABC=acsin B≤×4×=.
    ∴△ABC的面积的最大值为.
    26、在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且4sin Acos2A-cos(B+C)=sin 3A+.
    (1)求A的大小;
    (2)若b=2,求△ABC面积的取值范围.
    【答案】 (1) (2) c
    【解析】(1)∵A+B+C=π,∴cos(B+C)=-cos A①,
    ∵3A=2A+A,
    ∴sin 3A=sin(2A+A)=sin 2Acos A+cos 2Asin A②,
    又sin 2A=2sin Acos A③,
    将①②③代入已知,得2sin 2Acos A+cos A=sin 2Acos A+cos 2Asin A+,
    整理得sin A+cos A=,即sin=,
    又A∈,∴A+=,即A=.
    (2)由(1)得B+C=,∴C=-B,
    ∵△ABC为锐角三角形,∴-B∈且
    B∈,
    解得B∈,
    在△ABC中,由正弦定理得=,
    ∴c===+1,
    又B∈,∴∈(0,),∴c∈(1,4),
    ∵S△ABC=bcsin A=c,∴S△ABC∈.
    27、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.
    (1)证明:a+b=2c;
    (2)求cos C的最小值.
    【答案】 (1) 见解析 (2) .
    【解析】(1)由题意知
    2=+,
    化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,
    即2sin(A+B)=sin A+sin B.
    因为A+B+C=π,
    所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.
    从而sin A+sin B=2sin C.
    由正弦定理得a+b=2c.
    (2)由(1)知c=,
    所以cos C==
    =-≥,
    当且仅当a=b时,等号成立.
    故cos C的最小值为.
    28、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
    (1)若23cos2 A+cos 2A=0,且△ABC为锐角三角形,a=7,c=6,求b的值;
    (2)若a=,A=,求b+c的取值范围.
    【答案】(1) 5 (2)b+c∈(,2]
    【解析】(1)∵23cos2 A+cos 2A=23cos2 A+2cos2 A-1=0,
    ∴cos2 A=,
    又A为锐角,∴cos A=,
    而a2=b2+c2-2bccos A,即b2-b-13=0,
    解得b=5(负值舍去),∴b=5.
    (2)解法一:由正弦定理可得b+c=2(sin B+sin C)=2=2sin,
    ∵0<B<,∴<B+<,
    ∴<sin≤1,∴b+c∈(,2].
    解法二:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A可得
    b2+c2-3=bc,
    即(b+c)2-3=3bc≤(b+c)2,当且仅当b=c时取等号,
    ∴b+c≤2,又由两边之和大于第三边可得b+c>,∴b+c的取值范围为(,2].

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