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    【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题18 三角函数的图像与性质(含解析)

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    考点18 三角函数的图像与性质
    1、下列函数中,存在最小正周期的是(  )
    A.y=sin|x|  B.y=cos|x| 
    C.y=tan|x| D.y=(x2+1)0
    2、下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上为减函数的是(  )
    A.y=sin 2x        B.y=2|cos x|
    C.y=cos D.y=tan(-x)
    3、已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是(  )
    A.2   B.3
    C.+2 D.2-
    4、函数y=-2cos2+1是(  )
    A.最小正周期为π的奇函数
    B.最小正周期为π的偶函数
    C.最小正周期为的奇函数
    D.最小正周期为的非奇非偶函数
    5、函数f(x)=tan的单调递增区间是(  )
    A.(k∈Z)
    B.(k∈Z)
    C.(k∈Z)
    D.(k∈Z)
    6、若函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称,则|φ|的最小值为(  )
    A. B.
    C. D.
    7、若函数f(x)=sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈,则x0=(  )
    A.    B.
    C. D.
    8、已知函数f(x)=sin x+cos x,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是(  )
    A.a C.b 9、已知函数f(x)=sin(2x-)(x∈R),下列结论错误的是(  )
    A.函数f(x)是偶函数    
    B.函数f(x)的最小正周期为π
    C.函数f(x)在区间上是增函数
    D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
    10、函数y=sin x2的图象是(  )

    11、已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)是偶函数,则θ的值为(  )
    A.0 B.
    C. D.
    12、设ω>0,m>0,若函数f(x)=msin cos 在区间上单调递增,则ω的取值范围是(  )
    A. B.
    C. D.[1,+∞)
    13、将函数y=sin的图象向左平移个单位长度后所得函数图象的一条对称轴方程是(  )
    A.x=   B.x=
    C.x= D.x=-
    14、已知函数f(x)=cos-cos 2x,其中x∈R,给出下列四个结论:①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数;②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=;③函数f(x)图象的一个对称中心为;④函数f(x)的递增区间为,k∈Z.则正确结论的个数是(  )
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    15、已知函数f(x)=sin(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为(  )
    A. B.2
    C. D.
    16、已知函数f(x)=sin,其中x∈.若f(x)的值域是,则实数a的取值范围是(  )
    A.   B.
    C. D.
    17、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,f(α)=-1,f(β)=1,若|α-β|的最小值为,且f(x)的图象关于点对称,则函数f(x)的单调递增区间是(  )
    A.,k∈Z
    B.,k∈Z
    C.,k∈Z
    D.,k∈Z
    18、设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.
    19、已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=________.
    20、已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期是π,则函数f(x)的图象的对称轴方程为________.
    21、已知函数f(x)=sin2 x-cos2 x-2sin xcos x(x∈R).
    (1)求f的值;
    (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
    22、已知函数f(x)=4tan x·sin·cos(x-)-.
    (1)求f(x)的定义域与最小正周期;
    (2)讨论f(x)在区间上的单调性.
    23、已知函数f(x)=2sin2x+bsin x·cos x满足f=2.
    (1)求实数b的值以及函数f(x)的最小正周期;
    (2)记g(x)=f(x+t),若函数g(x)是偶函数,求实数t的值.
    24、设函数f(x)=sin+sin(ωx-),其中0<ω<3,已知f=0.
    (1)求ω;
    (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.
    25、已知a>0,函数f(x)=-2a·sin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.
    (1)求常数a,b的值;
    (2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.






    考点18 三角函数的图像与性质
    1、下列函数中,存在最小正周期的是(  )
    A.y=sin|x|  B.y=cos|x| 
    C.y=tan|x| D.y=(x2+1)0
    【答案】B
    【解析】A:y=sin|x|=不是周期函数;B:y=cos|x|=cos x,最小正周期T=2π;C:y=tan|x|=不是周期函数;D:y=(x2+1)0=1,无最小正周期.故选B.
    2、下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上为减函数的是(  )
    A.y=sin 2x        B.y=2|cos x|
    C.y=cos D.y=tan(-x)
    【答案】D
    【解析】 A选项,函数在上单调递减,在上单调递增,故排除A;B选项,函数在上单调递增,故排除B;C选项,函数的周期是4π,故排除C.故选D.
    3、已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是(  )
    A.2   B.3
    C.+2 D.2-
    【答案】B
    【解析】因为函数y=2cos x的定义域为,所以函数y=2cos x的值域为[-2,1],所以b-a=1-(-2)=3.故选B.
    4、函数y=-2cos2+1是(  )
    A.最小正周期为π的奇函数
    B.最小正周期为π的偶函数
    C.最小正周期为的奇函数
    D.最小正周期为的非奇非偶函数
    【答案】A
    【解析】.因为y=-2cos2+1
    =-+1=sin 2x.y=sin 2x是最小正周期为π的奇函数.故选A.
    5、函数f(x)=tan的单调递增区间是(  )
    A.(k∈Z)
    B.(k∈Z)
    C.(k∈Z)
    D.(k∈Z)
    【答案】B
    【解析】由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z)得,-<x<+(k∈Z),所以函数f(x)=tan的单调递增区间为(k∈Z).
    6、若函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称,则|φ|的最小值为(  )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】由题意得3cos=3cos(+φ+2π)=3cos=0,
    ∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z.
    取k=0,得|φ|的最小值为.
    7、若函数f(x)=sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈,则x0=(  )
    A.    B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】由题意得=,∴T=π,ω=2.又2x0+=kπ(k∈Z),∴x0=-(k∈Z),而x0∈,∴x0=.
    8、已知函数f(x)=sin x+cos x,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是(  )
    A.a C.b 【答案】B
    【解析】 f(x)=sin x+cos x=2sin,因为函数f(x)在上单调递增,所以f 9、已知函数f(x)=sin(2x-)(x∈R),下列结论错误的是(  )
    A.函数f(x)是偶函数    
    B.函数f(x)的最小正周期为π
    C.函数f(x)在区间上是增函数
    D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
    【答案】D
    【解析】f(x)=sin(2x-)=-cos 2x,此函数为最小正周期为π的偶函数,所以A,B正确;函数图象的对称轴方程为x=(k∈Z),显然,无论k取任何整数,x≠,所以D错误.故选D.
    10、函数y=sin x2的图象是(  )

    【答案】D
    【解析】.因为y=sin x2为偶函数,所以函数的图象关于y轴对称,排除A,C选项;当x2=,即x=± 时,ymax=1,排除B选项.
    11、已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)是偶函数,则θ的值为(  )
    A.0 B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】据已知可得f(x)=2sin,若函数为偶函数,则必有θ+=kπ+(k∈Z),又由于θ∈,故有θ+=,解得θ=,经代入检验符合题意.故选B.
    12、设ω>0,m>0,若函数f(x)=msin cos 在区间上单调递增,则ω的取值范围是(  )
    A. B.
    C. D.[1,+∞)
    【答案】B
    【解析】.f(x)=msin cos =msin ωx,若函数在区间上单调递增,则=≥+=,即ω∈.
    13、将函数y=sin的图象向左平移个单位长度后所得函数图象的一条对称轴方程是(  )
    A.x=   B.x=
    C.x= D.x=-
    【答案】A
    【解析】由题意知平移后的函数解析式为y=sin=sin.
    令2x+=kπ+(k∈Z),则x=+(k∈Z).结合选项知,选A.
    14、已知函数f(x)=cos-cos 2x,其中x∈R,给出下列四个结论:①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数;②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=;③函数f(x)图象的一个对称中心为;④函数f(x)的递增区间为,k∈Z.则正确结论的个数是(  )
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    【答案】C
    【解析】由已知得,f(x)=cos-cos 2x=cos 2xcos -sin 2xsin -cos 2x=-sin,不是奇函数,故①错误;当x=时f=-sin=1,故②正确;当x=时f=-sin π=0,故③正确;令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,故④正确.综上,正确的结论个数为3.
    15、已知函数f(x)=sin(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为(  )
    A. B.2
    C. D.
    【答案】D
    【解析】因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,
    所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,
    所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·,
    即ω2≤,即ω2=,所以ω=.
    16、已知函数f(x)=sin,其中x∈.若f(x)的值域是,则实数a的取值范围是(  )
    A.   B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】若-≤x≤a,则-≤x+≤a+,∵当x+=-或x+=时,sin=-,∴要使f(x)的值域是,则有≤a+≤,≤a≤π,即a的取值范围是.
    17、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,f(α)=-1,f(β)=1,若|α-β|的最小值为,且f(x)的图象关于点对称,则函数f(x)的单调递增区间是(  )
    A.,k∈Z
    B.,k∈Z
    C.,k∈Z
    D.,k∈Z
    【答案】B
    【解析】由题意可知f(x)的最小正周期T=4|α-β|min=4×=3π,则=3π,ω=,
    因为f(x)的图象关于点对称,所以
    2sin+1=1,即sin=0.
    因为|φ|<,所以φ=-,
    则f(x)=2sin +1.
    令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
    解得3kπ-≤x≤3kπ+π,k∈Z,
    所以函数f(x)的单调递增区间是[-+3kπ,π+3kπ],k∈Z,选B.
    18、设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.
    【答案】
    【解析】∵f(x)≤f对任意x∈R恒成立,∴f为f(x)的最大值,∴f=cos=1,∴ω-=2kπ,解得ω=8k+,k∈Z,又∵ω>0,∴当k=0时,ω的最小值为.
    19、已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=________.
    【答案】
    【解析】由题意,两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离,设相邻的两交点坐标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),易知|PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2,其中|y2-y1|=-(-)=2,|x2-x1|为函数y=2sin ωx-2cos ωx=2sin的两个相邻零点之间的距离,恰好为函数最小正周期的一半,所以(2)2=+(2)2,ω=.
    20、已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期是π,则函数f(x)的图象的对称轴方程为________.
    【答案】x=+(k∈Z)
    【解析】由T=π=⇒ω=2,∴f(x)=sin,则对称轴为2x+=kπ+⇒x=+(k∈Z),所以对称轴方程为x=+(k∈Z).
    21、已知函数f(x)=sin2 x-cos2 x-2sin xcos x(x∈R).
    (1)求f的值;
    (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
    【答案】(1) 2 (2) (k∈Z)
    【解析】(1)由sin =,cos =-,得
    f=--2××,
    所以f=2.
    (2)由cos 2x=cos2 x-sin2 x与sin 2x=2sin xcos x得
    f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.
    所以f(x)的最小正周期是π.
    由正弦函数的性质得
    +2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
    解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
    所以f(x)的单调递增区间是
    (k∈Z).
    22、已知函数f(x)=4tan x·sin·cos(x-)-.
    (1)求f(x)的定义域与最小正周期;
    (2)讨论f(x)在区间上的单调性.
    【答案】(1) π (2) 当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减
    【解析】(1)f(x)的定义域为.
    f(x)=4tan xcos xcos-
    =4sin xcos-
    =4sin x-
    =2sin xcos x+2sin2 x-
    =sin 2x+(1-cos 2x)-
    =sin 2x-cos 2x
    =2sin.
    所以f(x)的最小正周期T==π.
    (2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.
    由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,
    得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
    设A=,
    B=,易知A∩B=.
    所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
    23、已知函数f(x)=2sin2x+bsin x·cos x满足f=2.
    (1)求实数b的值以及函数f(x)的最小正周期;
    (2)记g(x)=f(x+t),若函数g(x)是偶函数,求实数t的值.
    【答案】(1) π (2) +,k∈Z
    【解析】(1)由f =2,得2×+b××=2,解得b=2 .
    则f(x)=2sin2x+2sin xcos x=1-cos 2x+sin 2x=1+2sin,
    所以函数f(x)的最小正周期T==π.
    (2)由(1)得f(x+t)=2sin[2(x+t)-]+1,
    所以g(x)=2sin+1.
    又函数g(x)是偶函数,则对于任意的实数x,均有g(-x)=g(x)成立.
    所以sin=sin,
    整理得cos(2t-)sin 2x=0.
    则cos=0,得2t-=kπ+,k∈Z,所以t=+,k∈Z.
    24、设函数f(x)=sin+sin(ωx-),其中0<ω<3,已知f=0.
    (1)求ω;
    (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.
    【答案】(1) 2 (2) -
    【解析】(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx
    =sin ωx-cos ωx

    =sin.
    由题设知f=0,
    所以-=kπ,k∈Z.
    故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,
    所以ω=2.
    (2)由(1)得f(x)=sin,
    所以g(x)=sin=sin
    因为x∈,
    所以x-∈.
    当x-=-,
    即x=-时,g(x)取得最小值-.
    25、已知a>0,函数f(x)=-2a·sin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.
    (1)求常数a,b的值;
    (2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.
    【答案】(1) a=2,b=-5 (2) ,k∈Z
    【解析】(1)∵x∈,
    ∴2x+∈.
    ∴sin∈,
    ∴-2asin∈[-2a,a].
    ∴f(x)∈[b,3a+b],
    又∵-5≤f(x)≤1,
    ∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.
    (2)由(1)得,f(x)=-4sin-1,
    g(x)=f
    =-4sin-1
    =4sin-1,又由lg g(x)>0,得g(x)>1,
    ∴4sin-1>1,
    ∴sin>,
    ∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
    其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,
    g(x)单调递增,即kπ ∴g(x)的单调增区间为,k∈Z.
    又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,
    g(x)单调递减,即kπ+ ∴g(x)的单调减区间为,k∈Z.




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