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    中考数学 专项训练 考点65 胡不归中的双线段模型与最值问题
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    中考数学 专项训练 考点65 胡不归中的双线段模型与最值问题

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    专题65 胡不归中的双线段模型与最值问题

    【专题说明】

    胡不归模型问题解题步骤如下;

    1、将所求线段和改写为“PA+PB的形式(<1),若>1,提取系数,转化为小于1的形式解决。

    2、在PB的一侧,PA的异侧,构造一个角度α,使得sinα=

    3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题

    【模型展示】

    如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1<V2AB为定点,点C在直线MN上,确定点C的位置使的值最小.

    ,记

    即求BC+kAC的最小值.

    构造射线AD使得sinDAN=kCH/AC=kCH=kAC

       

    将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BHADMN于点C,交ADH点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小.在求形如PA+kPB式子最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将PA+kPB型问题转化为PA+PC型.

    【例题】

    1在平面直角坐标系中,将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与轴交于点(在点的左侧),经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点,且与抛物线的另一个交点为的面积为5

    (1)求抛物线和一次函数的解析式;

    (2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方,求面积的最大值,并求出此时点E的坐标;

    (3)若点轴上任意一点,在(2)的结论下,求的最小值.

    【解析】

     (1)将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线解析式为

    的坐标为

    代入抛物线的解析式得,

    抛物线的解析式为,即

    ,解得

    的面积为5

    代入抛物线解析式得,,解得

    设直线的解析式为

    ,解得:

    直线的解析式为

    (2)过点轴交,如图,设,则

    时,的面积有最大值,最大值是,此时点坐标为

         

    (3)关于轴的对称点,连接轴于点,过点于点,交轴于点

    关于轴对称,

    ,此时最小,

    的最小值是3

    2如图,△ABC中,ABAC10tanA2BEAC于点ED是线段BE上的一个动点,则的最小值是(     )

    【解析】

    如图,作DHABHCMABM

    BEAC∴∠AEB=90°

    tanA==2,设AE=aBE=2a

    则有:100=a2+4a2a2=20a=2-2(舍弃),BE=2a=4

    AB=ACBEACCMABCM=BE=4(等腰三角形两腰上的高相等))

    ∵∠DBH=∠ABEBHD=∠BEA

    DH=BD

    CD+BD=CD+DH

    CD+DHCM

    CD+BD≥4

    CD+BD的最小值为4

    故选B

    3已知抛物线过点两点,与y轴交于点C

    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

    (2)过点A,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形;

    (3)P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当面积最大时,求点P的坐标;

    (4)若点Q为线段OC上的一动点,问:是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.

    【解析】

    (1)函数的表达式为:,即:,解得:

    故抛物线的表达式为:,则顶点

    (2)

    A(1,0)B(3,0)OB=3OA=1AB=2

    D(2-1)AD=BD=

    AM=MB=AD=BD四边形ADBM为菱形,

    菱形ADBM为正方形;

    (3)设直线BC的解析式为y=mx+n

    将点BC的坐标代入得:,解得:

    所以直线BC的表达式为:y=-x+3

    过点Py轴的平行线交BC于点N

    设点,则点N

    ,故有最大值,此时,故点

    (4)存在,理由:

    如图,过点C作与y轴夹角为的直线CFx轴于点F,过点A,垂足为H,交y轴于点Q,此时

    最小值

    RtCOF中,COF=90°FOC=30°OC=3tanFCO=

    OF=F(-0)

    利用待定系数法可求得直线HC的表达式为:…①

    ∵∠COF=90°FOC=30°∴∠CFO=90°-30°=60°

    ∵∠AHF=90°∴∠FAH=90°-60°=30°

    OQ=AOtanFAQ=Q(0,)

    利用待定系数法可求得直线AH的表达式为:…②

    联立①②并解得:,故点,而点

    ,即的最小值为

    4已知抛物线为常数,)经过点,点轴正半轴上的动点.

    )当时,求抛物线的顶点坐标;

    )点在抛物线上,当时,求的值;

    )点在抛物线上,当的最小值为时,求的值.

    【解析】

    抛物线经过点.即

    时,

    抛物线的顶点坐标为

    )由()知,抛物线的解析式为

    在抛物线上,

    ,得

    在第四象限,且在抛物线对称轴的右侧.

    如图,过点轴,垂足为,则点

    .得

    中,

    由已知

    在抛物线上,

    可知点在第四象限,且在直线的右侧.

    考虑到,可取点

    如图,过点作直线的垂线,垂足为轴相交于点

    ,得

    则此时点满足题意.

    过点轴于点,则点

    中,可知

    .解得

     

    5如图,在平面在角坐标系中,抛物线y=x2-2x-3x轴交与点AB(点A在点B的左侧)交y轴于点C,点D为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点E

    1)连结BD,点M是线段BD上一动点(点M不与端点BD重合),过点MMNBD交抛物线于点N(点N在对称轴的右侧),过点NNHx轴,垂足为H,交BD于点F,点P是线段OC上一动点,当MN取得最大值时,求HF+FP+PC的最小值;

    2)在(1)中,当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时,把点P向上平移个单位得到点Q,连结AQ,把AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度0°<<360°),得到AOQ,其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中,是否存在一点G使得?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

    【解析】(1)如图1

    抛物线yx2﹣2x﹣3x轴交于点AB(点A在点B的左侧),交y轴于点C

    y0解得:x1﹣1x23,令x0,解得:y﹣3

    A﹣10),B30),C0﹣3

    D为抛物线的顶点,且﹣4

    D的坐标为D1﹣4,直线BD的解析式为:y2x﹣6

    由题意,可设点Nmm2﹣2m﹣3),则点Fm2m﹣6

    ∴|NF|=(2m﹣6m2﹣2m﹣3)=m2+4m﹣3

    m2时,NF 取到最大值,此时MN取到最大值,此时HF2

    此时,N2﹣3),F2﹣2),H20

    x轴上找一点K0),连接CK,过点FCK的垂线交CK于点J点,交y轴于点P

    sinOCK ,直线KC的解析式为:,且点F2﹣2),

    PJPC,直线FJ的解析式为:,J ,

    FP+PC的最小值即为FJ的长,且,

    2)由(1)知,点P0),

    把点P向上平移 个单位得到点Q,Q0﹣2

    RtAOQ中,AOG90°AQ,取AQ的中点G,连接OG,则OGGQAQ,此时,AQOGOQ

    AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度αα360°),得到AOQ,其中边AQ交坐标轴于点G

    如图2

    G点落在y轴的负半轴,则G0),过点Q'Q'Ix轴交x轴于点I,且GOQ'Q'

    IOQ'OA'Q'OAQ

    sinOAQ,,解得:|IO|

    RtOIQ'中根据勾股定理可得|OI|,Q'的坐标为Q');

    如图3

    G点落在x轴的正半轴上时,同理可得Q'

    如图4

    G点落在y轴的正半轴上时,同理可得Q'

    如图5

    G点落在x轴的负半轴上时,同理可得Q'

    综上所述,满足条件的点Q坐标为:(),(),(),(


    2019长沙中考】如图,ABC中,AB=AC=10tanA=2BEAC于点ED是线段BE上的一个动点,则的最小值是_______

    【分析】本题关键在于处理,考虑tanA=2ABE三边之比为,故作DHABABH点,则

        

    问题转化为CD+DH最小值,故CDH共线时值最小,此时

     

    【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来,只需分析角度的三角函数值,作出垂线DH,即可解决问题,若稍作改变,将图形改造如下:

    则需自行构造α,如下图,这一步正是解决胡不归问题关键所在.

     

    2019南通中考】如图,平行四边形ABCD中,DAB=60°AB=6BC=2P为边CD上的一动点,则的最小值等于________

    【分析】考虑如何构造,已知A=60°,且sin60°=,故延长AD,作PHAD延长线于H点,即可得,将问题转化为:求PB+PH最小值.

    BPH三点共线时,可得PB+PH取到最小值,即BH的长,解直角ABH即可得BH长.


    2014成都中考】如图,已知抛物线k为常数,且k>0轴从左至右依次交于AB两点,与y轴交于点C,经过点B的直线与抛物线的另一交点为D

    1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;

    2)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?

    【分析】第一小问代点坐标,求解析式即可,此处我们直接写答案:A-2,0),B4,0),直线解析式为D点坐标为,故抛物线解析式为,化简为:.另外为了突出问题,此处略去了该题的第二小问.

    M运动的时间为,即求的最小值.

            

    接下来问题便是如何构造,考虑BDx轴夹角为30°,且DF方向不变,故过点DDMx轴,过点FFHDMDMH点,则任意位置均有FH=

    AFH共线时取到最小值,根据AD两点坐标可得结果.

     

     


    2018重庆中考】抛物线x轴交于点AB(点A在点B的左边),与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点,PFx轴于点FPF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移,线段OB的对应线段是O1B1,当的值最大时,求四边形PO1B1C周长的最小值,并求出对应的点O1的坐标.(为突出问题,删去了两个小问)

    【分析】根据抛物线解析式得ABC,直线AC的解析式为:,可知ACx轴夹角为30°. 

    根据题意考虑,P在何处时,PE+取到最大值.过点EEHy轴交y轴于H点,则CEH=30°,故CH=,问题转化为PE+CH何时取到最小值.

    考虑到PECH并无公共端点,故用代数法计算,设,则

    P点坐标为时,取到最小值,故确定PC、求四边形面积最小值,运用将军饮马模型解题即可.

     

     

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