中考数学 专项训练 考点65 胡不归中的双线段模型与最值问题
展开专题65 胡不归中的双线段模型与最值问题
【专题说明】
胡不归模型问题解题步骤如下; 1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式(<1),若>1,提取系数,转化为小于1的形式解决。 2、在PB的一侧,PA的异侧,构造一个角度α,使得sinα= 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题 |
【模型展示】
如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1<V2,A、B为定点,点C在直线MN上,确定点C的位置使的值最小.
,记,
即求BC+kAC的最小值.
构造射线AD使得sin∠DAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.
将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小.在求形如“PA+kPB”式子最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.
【例题】
1、在平面直角坐标系中,将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧),,经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点,且与抛物线的另一个交点为,的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式;
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方,求面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
(3)若点为轴上任意一点,在(2)的结论下,求的最小值.
【解析】
(1)将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线解析式为,
∵,∴点的坐标为,
代入抛物线的解析式得,,∴,
∴抛物线的解析式为,即.
令,解得,,∴,
∴,
∵的面积为5,∴,∴,
代入抛物线解析式得,,解得,,∴,
设直线的解析式为,
∴,解得:,
∴直线的解析式为.
(2)过点作轴交于,如图,设,则,
∴,
∴,
∴当时,的面积有最大值,最大值是,此时点坐标为.
(3)作关于轴的对称点,连接交轴于点,过点作于点,交轴于点,
∵,,∴,,∴,
∵,∴,∴,
∵、关于轴对称,∴,
∴,此时最小,
∵,,∴,
∴.∴的最小值是3.
2、如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是( )
【解析】
如图,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M.
∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°,
∵tanA==2,设AE=a,BE=2a,
则有:100=a2+4a2,∴a2=20,∴a=2或-2(舍弃),∴BE=2a=4,
∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AB,∴CM=BE=4(等腰三角形两腰上的高相等))
∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA,∴,
∴DH=BD,
∴CD+BD=CD+DH,
∴CD+DH≥CM,
∴CD+BD≥4,
∴CD+BD的最小值为4.
故选B.
3、已知抛物线过点,两点,与y轴交于点C,.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)过点A作,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形;
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当面积最大时,求点P的坐标;
(4)若点Q为线段OC上的一动点,问:是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)函数的表达式为:,即:,解得:,
故抛物线的表达式为:,则顶点;
(2),,
∵A(1,0),B(3,0),∴ OB=3,OA=1,∴AB=2,
∴,
又∵D(2,-1),∴AD=BD=,
∴AM=MB=AD=BD,∴四边形ADBM为菱形,
又∵,菱形ADBM为正方形;
(3)设直线BC的解析式为y=mx+n,
将点B、C的坐标代入得:,解得:,
所以直线BC的表达式为:y=-x+3,
过点P作y轴的平行线交BC于点N,
设点,则点N,
则,
,故有最大值,此时,故点;
(4)存在,理由:
如图,过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F,过点A作,垂足为H,交y轴于点Q,此时,
则最小值,
在Rt△COF中,∠COF=90°,∠FOC=30°,OC=3,tan∠FCO=,
∴OF=,∴F(-,0),
利用待定系数法可求得直线HC的表达式为:…①,
∵∠COF=90°,∠FOC=30°,∴∠CFO=90°-30°=60°,
∵∠AHF=90°,∴∠FAH=90°-60°=30°,
∴OQ=AO•tan∠FAQ=,∴Q(0,),
利用待定系数法可求得直线AH的表达式为:…②,
联立①②并解得:,故点,而点,
则,即的最小值为.
4、已知抛物线(为常数,)经过点,点是轴正半轴上的动点.
(Ⅰ)当时,求抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)点在抛物线上,当,时,求的值;
(Ⅲ)点在抛物线上,当的最小值为时,求的值.
【解析】
(Ⅰ)∵抛物线经过点,∴.即.
当时,,
∴抛物线的顶点坐标为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,抛物线的解析式为.
∵点在抛物线上,
∴.
由,得,,
∴点在第四象限,且在抛物线对称轴的右侧.
如图,过点作轴,垂足为,则点.
∴,.得.
∴在中,.∴.
由已知,,∴.∴.
(Ⅲ)∵点在抛物线上,
∴.
可知点在第四象限,且在直线的右侧.
考虑到,可取点,
如图,过点作直线的垂线,垂足为,与轴相交于点,
有,得,
则此时点满足题意.
过点作轴于点,则点.
在中,可知.
∴,.
∵点,
∴.解得.
∵,
∴.
∴.
5、如图,在平面在角坐标系中,抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A,B(点A在点B的左侧)交y轴于点C,点D为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点E.
(1)连结BD,点M是线段BD上一动点(点M不与端点B,D重合),过点M作MN⊥BD交抛物线于点N(点N在对称轴的右侧),过点N作NH⊥x轴,垂足为H,交BD于点F,点P是线段OC上一动点,当MN取得最大值时,求HF+FP+PC的最小值;
(2)在(1)中,当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时,把点P向上平移个单位得到点Q,连结AQ,把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度(0°<<360°),得到△AOQ,其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中,是否存在一点G使得?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)如图1
∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),交y轴于点C
∴令y=0解得:x1=﹣1,x2=3,令x=0,解得:y=﹣3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3)
∵点D为抛物线的顶点,且﹣4
∴点D的坐标为D(1,﹣4),∴直线BD的解析式为:y=2x﹣6,
由题意,可设点N(m,m2﹣2m﹣3),则点F(m,2m﹣6)
∴|NF|=(2m﹣6)﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+4m﹣3
∴当m==2时,NF 取到最大值,此时MN取到最大值,此时HF=2,
此时,N(2,﹣3),F(2,﹣2),H(2,0)
在x轴上找一点K(,0),连接CK,过点F作CK的垂线交CK于点J点,交y轴于点P,
∴sin∠OCK= ,直线KC的解析式为:,且点F(2,﹣2),
∴PJ=PC,直线FJ的解析式为:,∴点J( , )
∴FP+PC的最小值即为FJ的长,且,∴;
(2)由(1)知,点P(0, ),
∵把点P向上平移 个单位得到点Q,∴点Q(0,﹣2)
∴在Rt△AOQ中,∠AOG=90°,AQ=,取AQ的中点G,连接OG,则OG=GQ=AQ=,此时,∠AQO=∠GOQ
把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α(0°<α<360°),得到△A′OQ′,其中边A′Q′交坐标轴于点G
①如图2
G点落在y轴的负半轴,则G(0,﹣),过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I,且∠GOQ'=∠Q'
则∠IOQ'=∠OA'Q'=∠OAQ,
∵sin∠OAQ===,∴,解得:|IO|=
∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|=,∴点Q'的坐标为Q'(,﹣);
②如图3,
当G点落在x轴的正半轴上时,同理可得Q'(,)
③如图4
当G点落在y轴的正半轴上时,同理可得Q'(﹣,)
④如图5
当G点落在x轴的负半轴上时,同理可得Q'(﹣,﹣)
综上所述,满足条件的点Q′坐标为:(,﹣),(,),(﹣,),(,﹣)
【2019长沙中考】如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是_______.
【分析】本题关键在于处理“”,考虑tanA=2,△ABE三边之比为,,故作DH⊥AB交AB于H点,则.
问题转化为CD+DH最小值,故C、D、H共线时值最小,此时.
【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来,只需分析角度的三角函数值,作出垂线DH,即可解决问题,若稍作改变,将图形改造如下:
则需自行构造α,如下图,这一步正是解决“胡不归”问题关键所在.
【2019南通中考】如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则的最小值等于________.
【分析】考虑如何构造“”,已知∠A=60°,且sin60°=,故延长AD,作PH⊥AD延长线于H点,即可得,将问题转化为:求PB+PH最小值.
当B、P、H三点共线时,可得PB+PH取到最小值,即BH的长,解直角△ABH即可得BH长.
【2014成都中考】如图,已知抛物线(k为常数,且k>0)与轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;
(2)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
【分析】第一小问代点坐标,求解析式即可,此处我们直接写答案:A(-2,0),B(4,0),直线解析式为,D点坐标为,故抛物线解析式为,化简为:.另外为了突出问题,此处略去了该题的第二小问.
点M运动的时间为,即求的最小值.
接下来问题便是如何构造,考虑BD与x轴夹角为30°,且DF方向不变,故过点D作DM∥x轴,过点F作FH⊥DM交DM于H点,则任意位置均有FH=.
当A、F、H共线时取到最小值,根据A、D两点坐标可得结果.
【2018重庆中考】抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点,PF⊥x轴于点F,PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移,线段OB的对应线段是O1B1,当的值最大时,求四边形PO1B1C周长的最小值,并求出对应的点O1的坐标.(为突出问题,删去了两个小问)
【分析】根据抛物线解析式得A、B、C,直线AC的解析式为:,可知AC与x轴夹角为30°.
根据题意考虑,P在何处时,PE+取到最大值.过点E作EH⊥y轴交y轴于H点,则∠CEH=30°,故CH=,问题转化为PE+CH何时取到最小值.
考虑到PE于CH并无公共端点,故用代数法计算,设,则,,,,
当P点坐标为时,取到最小值,故确定P、C、求四边形面积最小值,运用将军饮马模型解题即可.