中考数学 专项训练 考点42 圆中折叠问题的巧妙应用

专题42 圆中折叠问题的巧妙应用

初中数学中的圆,从静止的角度来看就是一个单纯的几何图形,从运动的角度来看,往往会跟旋转联系在一起.而折叠问题自然属于轴对称变换的范畴,这两者怎么就联手了呢?圆如何来帮助我们解决与折叠相关的问题呢

【典例7】如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，π≈314，≈1.41，≈1.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（     ）

A．3.2        B．3.6         C．3.8         D．4.2

【分析】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，根据折叠的性质得到OE=OF，求出∠ACB度数即可．

【解答】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E．连接OB，BC．

由折叠的性质可知，EF=OE=OF，∴OE=12OA，

在Rt△AOE中，OE=OA，∴∠CAB=30°，

∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∠BOC=2∠BAC=60°，

∵AB=4，∴BC=AB=2，AC=BC=2，

∴线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积为

S=•AC•BC+S扇形OBC-S△OBC=×2×2+-×22=+π≈3.8，故选：C．

【小结】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

2、如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=6，DB=7，则BC的长是（    ）

A．    B．    C．    D．

【分析】连接CA、CD，根据翻折的性质可得弧CD所对的圆周角是∠CBD，再根据AC弧所得的圆周角也是∠CBA，然后求出AC=CD，过点C作CE⊥AB于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED= AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后求出△ACE和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE2，再求出BE，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC．

【解答】如图，连接CA、CD， 根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，

∵弧AC所对的圆周角是∠CBA，∠CBA=∠CBD，

∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等），

过点C作CE⊥AB于E， 则AE=ED=AD=×6=3，

∴BE=BD+DE=7+3=10，

∵AB是直径，∴∠ACB=90°， ∵CE⊥AB，

∴∠ACB=∠AEC=90°，

∴∠A+∠ACE=∠ACE+∠BCE=90°，

∴∠A=∠BCE，

∴△ACE∽△CBE，

∴ = ， 即CE2=AE•BE=3×10=30，

在Rt△BCE中，BC= = = ，

故选：D．

【小结】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD是解题的关键．

3、如图，在⊙O中，点C在优弧 上，将弧 沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（    ）

A．AC=CD     B． + =     C．OD⊥AB     D．CD平分∠ACB

【分析】A、作辅助线，构建折叠的性质可得AD=CD；

B、相等两弧相加可作判断；

C、根据垂径定理可作判断；

D、延长OD交⊙O于E，连接CE，根据垂径定理可作判断．

【解析】A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，

由折叠得：CD=CD'，∠ABC=∠CBD'，

∴AC=CD'=CD，故①正确；

B、∵AC=CD'，∴ ＝ ，由折叠得：＝ ′，

∴+=，故②正确；

C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；

D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，

∴∠ACE=∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．

【小结】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．

4、如图，△ABC内接于⊙O，BC=，∠BAC=45°，将劣弧和分别沿直线AB、AC折叠后交于点M，点S、T是弦AB、AC上的动点，则△MST的周长的最小值为（    ）

A．       B．4        C．           D．8

【分析】作点M关于AB的对称点M′，关于AC的对称点M″，根据折叠的性质得到点M′，M″在圆周上，连接M′M″，交AB于S，交AC于T，则△MST的周长最小，连接AM′，AM″，OB，OC，根据圆周角定理得到M′M″是⊙O的直径，即可得到结论．

【解析】作点M关于AB的对称点M′，关于AC的对称点M″，

∵将劣弧AB和AC分别沿直线AB、AC折叠后交于点M，

∴点M′，M″在圆周上，

连接M′M″，交AB于S，交AC于T，则△MST的周长最小，

连接AM′，AM″，OB，OC，则∠M′AM″=2∠BAC，

∵∠BAC=45°，

∴∠M′AM″=∠BOC=90°，

∵BC=2，∴OB=2，

∴M′M″=2OB=4，

∴△MST的周长的最小值为4，故选：B．

【小结】本题考查了三角形的外接圆与外心，轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

5、如图，在⊙O中，点C在优弧⌢ACB上，将弧沿⌢BC折叠后刚好经过AB的中点D，若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是       ．

【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．

【解析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，

∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD=BD=AB=2，

在Rt△OBD中，OD===1，

∵将弧 沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴和所在的圆为等圆，

∴=，∴AC=DC，∴AE=DE=1，

易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，

在Rt△OCF中，CF===2，

∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，

∴BC=3．故答案为3．

【小结】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．

6、如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD是等边三角形，③EO的最小值为1，其中正确的是      ．（请将正确答案的序号填在横线上）

【分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确，EO的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便可解决问题．

【解析】如图1，连接OA和OB，作OF⊥AB．

由题知：沿着弦AB折叠，正好经过圆心O

∴OF=OA=OB

∴∠AOF=∠BOF=60°

∴∠AOB=120°

∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等）

∠D=∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）

∴∠ACD=180°-∠ACB=60°

∴△ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）

故，①②正确

下面研究问题EO的最小值是否是1

如图2，连接AE和EF

∵△ACD是等边三角形，E是CD中点

∴AE⊥BD（三线合一）

又∵OF⊥AB

∴F是AB中点即，EF是△ABE斜边中线

∴AF=EF=BF即，E点在以AB为直径的圆上运动．

所以，如图3，当E、O、F在同一直线时，OE长度最小

此时，AE=EF，AE⊥EF

∵⊙O的半径是2，即OA=2，OF=1

∴AF=（勾股定理）

∴OE=EF-OF=AF-OF=-1

所以，③不正确

综上所述：①②正确，③不正确．故答案为①②．

【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．

7、如图，将沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D，连接BC．

（1）求证：BC=BD；

（2）若AC=1，CD=4，=120°，求弦AB的长和圆的半径．

【分析】（1）作点C关于AB的对称点C′，连接AC′，BC′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；（2）连接OA，OB，作OM⊥AB于M，AH⊥BC交BC延长线于H．解直角三角形求出AB，OA即可；

【解答】（1）证明：作点C关于AB的对称点C′，连接AC′，BC′．

由翻折不变性可知：BC=BC′，∠CAB=∠BAC′，∴=′，∴BD=BC′，∴BC=BD．

（2）解：连接OA，OB，作OM⊥AB于M，AH⊥BC交BC的延长线于H．

∵=120°，∴∠D=×120°=60°，∴∠AOB=∠ACB=2∠D=120°，

∵BC=BD，∴△BCD是等边三角形，∴BC=DC=4，在Rt△ACH中，

∵∠H=90°，∠ACH=60°，AC=1，∴CH=，AH=，

∴AB===，

∵OM⊥AB，∴AM=BM=，在Rt△AOM中，

∵∠OAM=30°，∠AMO=90°，∴OA=AMcos30°=

【小结】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

8、如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC

（1）求CD的长；

（2）求证：PC是⊙O的切线；

（3）点G为 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交 于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

【分析】（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；

（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；

（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到GE•GF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．

【解答】（1）如图，连接OC，

∵ 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，

∴OM=OA=×2=1，CD⊥OA，

∵OC=2，

∴CD=2CM=2=2=2；

（2）证明：

∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=，∠CMP=∠OMC=90°，

∴PC===2，

∵OC=2，PO=2+2=4，

∴PC2+OC2=（2）2+22=16=PO2，

∴∠PCO=90°，

∴PC是⊙O的切线；

（3）GE•GF是定值，证明如下，

连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF

∵点G为 的中点

∴∠GOE=90°，

∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH

∴△OGE∽△FGH

∴ =

∴GE•GF=OG•GH=2×4=8．

【小结】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．

9、如图，将半径为12的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（    ）

A．4      B．8       C．6            D．6

【分析】延长CO交AB于E点，连接OB，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长

【解析】延长CO交AB于E点，连接OB，

∵CE⊥AB，

∴E为AB的中点，

∵OC=6，CD=2OD，

∴CD=4，OD=2，OB=6，

∴DE=（2OC-CD）=（6×2-4）=×8=4，

∴OE=DE-OD=4-2=2，

在Rt△OEB中，∵OE2+BE2=OB2，

∴BE==4

∴AB=2BE=8．故选：B．

【小结】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

10、已知如图：⊙O的半径为8cm，把弧AmB沿AB折叠使弧AmB经过圆心O，再把弧AOB沿CD折叠，使弧COD经过AB的中点E，则折线CD的长为（    ）

A．8cm      B．cm      C．cm      D．4cm

【分析】连接OE并延长交CD于点F，交C′D′于点F′，交弧AmB于点G，根据翻折的性质得出OF′=6，再由勾股定理得出．

【解析】连接OE并延长交CD于点F，交C′D′于点F′，交弧AmB于点G，

∵OC′=8cm，∴OF′=6cm，

∴C′F′=CF==2cm，F

∴CD=2CD=4cm．故选：D．

【小结】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质，是基础知识要熟练掌握．

11、如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为         ．

【分析】作O关于PQ的对称点O′，O′恰好落在⊙O上，于是得到OP=，推出△OO′Q为等边三角形，根据等边三角形的性质得到OQ=O′Q=OO′=R，当cos∠POE最小时，∠POE最大，当∠QOB=0°时，∠POE=30°于是得到结论．

【解析】作O关于PQ的对称点O′，O′恰好落在⊙O上，

∴OP=，

∵△OO′Q为等边三角形，

∴OQ=O′Q=OO′=R，∠POE+∠QOB=30°，

当cos∠POE最小时，∠POE最大，

当∠QOB=0°时，∠POE=30°，

∴OP==．

【小结】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的判定和性质，正确的在才辅助线是解题的关键．

12、如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，π≈314，≈1.41，≈1.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（    ）

A．3.2       B．3.6        C．3.8       D．4.2

【分析】作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．

【解析】如图，作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，

可得M、A、M′三点共线，MA=M′A，MB=M′B′=4，M′N=MN=10．

连接AB'，

∵四边形AMNB'是圆内接四边形，

∴∠M'AB'=∠M'NM，

∵∠M'=∠M'，

∴△M'AB'∽△M'NM，

∴＝

∴M′A•M′M=M′B′•M′N，即M′A•2M′A=4×10=40．则M′A2=20，

又∵M′A2=M′N2-AN2，

∴20=100-AN2，

∴AN=4．故选：B．

【小结】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．