中考数学 专项训 练考点10 母抱子模型解直角三角形(基础)

专题10 母抱子模型解直角三角形

【模型展示】

【中考真题】

1、如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．

解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，

由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，

在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH•tan∠CAH，

∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×（米），

∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，

在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，

∴CE==（4+）（米），答：拉线CE的长为（4+）米．

2、如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

【答案】10．

考点：解直角三角形的应用；探究型．

【精典例题】

1、如图，一艘轮船在A处时观测得小岛C在船的北偏东60°方向，轮船以40海里/时的速度向正东方向航行1.5小时到达B处，这时小岛C在船的北偏东30°方向．已知小岛C周围50海里范围内是暗礁区．

（1）求B处到小岛C的距离

（2）若轮船从B处继续向东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．

（参考数据：≈1.73）

解：（1）由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，

∴∠CAB＝∠ACB，∴CB＝AB＝40×1.5＝60（海里），∴B处到小岛C的距离为60海里；

（2）过点C作CE⊥AD，垂足为点E，

∵CE＝CB×sin∠CBE＝60×sin60°＝30≈51.96海里，∴CE＞50，

∴轮船从B处继续向正东方向航行，没有触礁危险．

2、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

[来源:Zxxk.Com]

解：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，

∴ME＝DC＝3．CM＝ED，

在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝x，

在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，

∴DF＝3，

在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，

∵ED＝CM，∴AM＝ED，

∵AM＝AE﹣ME，ED＝EF+DF，∴x﹣3＝x+3，∴x＝6+3，

∴AE＝（6+3）＝6+9，∴AB＝AE﹣BE＝9+6﹣1≈18.4米．

答：旗杆AB的高度约为18.4米．

3、如图，为了测得电视塔AB的高度，在D处用高为1 m 的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔AB的高度(单位：m)为(　C　)

A．50              B．51                C．50＋1               D．101

4、(2019·山东菏泽定陶三模)如图，小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，测得B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知热气球离地面的高度为120 m，且大桥与地面在同一水平面上，求大桥BC的长度．(结果保留整数，≈1.73)

解：如图，作AD⊥CB交CB所在直线于点D.

由题意知，∠ACD＝45°，∠ABD＝60°.

在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，

∴CD＝AD＝120 m.

在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，

∴tan 60°＝，[来源:Z#xx#k.Com]

∴BD＝AD＝40 m，

∴BC＝CD－BD＝120－40≈51(m)．

答：大桥BC的长度约为51 m.

5、某数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C．从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得树梢A的仰角为30°，则树高为　   　米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

解：根据题意可知：

∠ABC＝90°，CD＝10，

在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，

∴AB＝CB，

在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，BD＝CD+BC＝10+AB，

∴tan30°＝，

即＝，

解得AB≈13.7（米）．

答：树高约为13.7米．

故答案为：13.7[来源:学§科§网]

6、某矩形交通指示牌CDEF如图所示，AB的距离为5m，从A点测得指示牌顶端D点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度CD约为　   　m．（精确到0.1m．参考数据：≈1.414，≈1.732）

解：在Rt△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝5，

∵tan∠DAB＝，

∴BD＝5•tan60°＝5，

在Rt△BAC中，∵∠CAB＝45°，

∴AB＝BC＝5，

∴CD＝BD﹣BC＝（5﹣5）m≈3.7（m）．

故答案为：3.7．

7、为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为　   　米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）

解：如图，

根据题意可知：

DE⊥BE，AB⊥BE，

过点D作DC⊥AB于点C，

所以四边形DEBC是矩形，

∴BC＝ED＝1.70，

DC＝EB＝15，

在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，

∴tan30°＝，

即＝，

解得AC＝5，

∴AB＝AC+CB＝5+1.70≈10.4（米）．

答：无人机距离地面的高度约为10.4米．

8、广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，位于广州市海珠区赤岗塔附近，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔BD附近有一大厦AC高150米，张强在楼底A处测得塔顶D的仰角为45°，上到大厦顶C处测得塔顶D的仰角为37°，求广州塔BD的高．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，即四边形ACEB是矩形，[来源:学科网]

∴BE＝AC＝150，CE＝AB，

根据题意可知：

∠DAB＝45°，

∴DB＝AB＝CE，

∴DE＝DB﹣BE＝DB﹣150，

在Rt△CDE中，∠DCE＝37°，

∴DE＝CE•tan37°，

即DB﹣150≈0.75DB，

解得DB≈600（米）．

答：广州塔BD的高约为600米．

9、如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．求大树BC的高度约为多少米？（≈1.732，结果精确到0.1）

解：作DH⊥AE于点H，作DG⊥BC于点G，如图，

则四边形DGCH为矩形，

在Rt△ADH中，∵，

∴AH＝2DH，

∵AH2+DH2＝AD2，

∴．

∴DH＝CG＝3m，

∴AH＝2DH＝6m，

设BC＝xm，则BG＝（x﹣3）m，

在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，

∴AC＝BC＝xm，

∴CH＝DG＝（x+6）m，

在Rt△BDG中，∠BDG＝30°，[来源:学科网ZXXK]

∵tan30°＝，

∴，

解得，x＝≈15.3．

答：大树BC的高度约为15.3米．