中考数学 专项训 练考点08 相似三角形中的基本模型
展开专题08 相似三角形中的基本模型
相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。复习时我们首先要掌握本章节内容的重难点。
模型一、“8”字型及其变形
(1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔＝＝.
(2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔＝＝.
图1 图2[来源
1、如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，BD和CE相交于点F.如果DF＝2，那么线段BF的长度为__4__.
2、已知：如图，AD·AB＝AF·AC，求证：△DEB∽△FEC.
证明：∵AD·AB＝AF·AC，∴＝.
∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AFB，∴∠C＝∠B.[来源:Z+xx+k.Com]
∵∠DEB＝∠FEC，
∴△DEB∽△FEC.
模型二、“A”字型及其变形
(1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝.
(2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝.
(3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔＝＝.[来源:学科网]
图1 图2 图3
1、在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2，AB＝3，则BD＝____.
2、如图，已知BE，CD是△ABC的两条高，连接DE，求证：△ADE∽△ACB.
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠AEB＝∠ADC＝90°.
∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD.∴＝.∴＝.
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
3、如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝.
证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴＝.
又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴＝.
∴＋＝＋＝＝1.∴＋＝.
模型三、“手拉手”旋转型
如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com]
1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证：
(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.
证明：(1)∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠1＝∠2.
又∠3＝∠4，∴△ABD∽△CBE.
(2)∵△ABD∽△CBE，∴＝.∴＝.
又∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE.
模型四、“子母(双垂直)”型
如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为( A )
A. B. C. D．3
2、如图，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，EF⊥AB.证明：△AEF∽△ABE.
证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠DAB，∠ABE＝∠ABC.
∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠AEB＝90°.
∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°.
又∵∠BAE＝∠EAF，∴△AEF∽△ABE.
模型五、“三垂直”模型与“一线三等角”模型
(1)“三垂直”模型
如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型
如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
1、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE.
(1)求证：△ABE∽△ECD；
(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．
(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，
∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD.
(2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2.∵△ABE∽△ECD，∴＝，∴＝，∴CD＝.[
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
[来源
证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，且∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF.
∴△BDE∽△CEF.
(2)∵△BDE∽△CEF，∴＝.
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.∴＝.
又∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF.
∴∠DFE＝∠CFE，即FE平分∠DFC.
