中考数学 专项训练 考点03 一线三垂直模型构造全等三角形(基础)
展开专题03 一线三垂直模型构造全等三角形
1、如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.
解析：[来源:Z.xx.k.Com]
(1)过点B作BD⊥x轴于点D,
∴∠BCD+∠DBC=90°
由等腰Rt△ABC可知，BC=AC,∠ACB=90°
∴∠BCD+∠AC0=90°
∴∠DBC=∠ACO
在△BCD和△CAO中
∠BDC=∠AOC
∠DBC=∠ACO[来源:Z+xx+k.Com]
BC=AC
∴△BCD≌△CAO
∴CD=OA,BD=OC
(2)的证明方法一样
2、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点 .
如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN.
在（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______
解析：
（1）∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B,PC⊥AF于C，
∴PB=PC
在Rt△PBM和Rt△PCN中
PB=PC
PM=PN
∴Rt△PBM≌Rt△PCN
∴BM=CN
（2）在Rt△PBA和Rt△PCA中
PB=PC
AP=AP
∴Rt△PBA≌Rt△PCA
∴AB=AC
∴AM+CN=AM+BM=AB=AC
3、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.
当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.
解析：
∵∠B=40°[来源:学,科,网Z,X,X,K]
∴∠BAD+∠BDA=140°
∵∠ADE=40°
∴∠CDE+∠BDA=140°
∴∠BAD=∠CDE
在△ABD和△DCE中
∠B=∠C
∠BAD=∠CDE
AB=DC
∴△ABD≌△DCE
4、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB交于点F，求证：BE=DF.
解析：
过点D做DG∥AC交BE的延长线于点G
BE与DH的延长线交于G点，如图，
∵DH∥AC
∠BDH=∠C=45°
∴△HBD为等腰直角三角形
∴HB=HD
而∠EBF=22.5°
∵∠EDB=∠C=22.5°
∴DE平分∠BDG
而DE⊥BG
∴BE=GE,即BE=BG
∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°
∴∠DFH=∠G
∵∠GBH=90°-∠G,∠FDH=90°-∠G
∴∠GBH=∠FDH
在△BGH和△DFH中
∠G=∠DFH
∠GBH=∠FDH
BH=DH
∴△BGH≌△DFH(AAS)
∴BG=DF
∴BE=FD
5、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD
证明：BF平分∠ABC
证明：AB+AE=BC
【解析】（1）作AC的垂线交AD的延长线于点M
证△BAE≌△ACM（ASA）得CM=AE=CD
∴∠M=∠CDM=∠AEB=∠BAD[来源:学科网]
∴AB=BD
∴BF平分∠ABD（等腰三角形三线合一）[来源:学|科|网Z|X|X|K]
（2）AB+AE=BD+DC=BC
