中考数学 专项训练 考点03 一线三垂直模型构造全等三角形

专题03 一线三垂直模型构造全等三角形【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：                         图1                                      图21、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.解析：∵AD∥BC,DG⊥BC∴∠GDF=90°又∵∠EDC=90°∴∠1=∠2在△CGD和△EFD中∠DGC=∠DFE∠1=∠2CD=DE∴△DCG≌△DEF∴EF=CG∵AD∥BC,AB⊥BC,AD=2，BC=3∴BG=AD=2∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP解析：过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N∵四边形ACFG是正方形∴AC=AG,∠CAG=90°∴∠CAH+∠ACH=90°∴∠ACH=∠GAM在△ACH和△GAM中∠AHC=∠GMA∠ACH=∠GAMAC=GA∴△ACH≌△GAM∴CH=AM,AH=GM同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.解析：（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE∴∠BDA=∠AEC=90°∴∠ABD+∠BAD=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠EAC=90°[来源:学科网ZXXK]∴∠ABD=∠EAC在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA=90°∠ABD=∠EACAB=CA∴△ABD≌△CAE(AAS)AD=CE,BD=AE∵AE=AD+DE∴BD=DE+CE（2）在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA=90°AB=CA∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AD=CE,BD=AE[来源:学科网]∵AE=DE-AD∴BD=DE-CE.4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC的长为（  ）解析:∵AD是△ABC的高∴∠ADB=90°[来源:Zxxk.Com]∵∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴∠ABC=∠BAD∴AD=BD∵∠CAD+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，∠AFE=∠BFD∴∠AFE=∠C在△BDF和△ADC中∠CAD=∠FBDAD=BD∠BDF=∠ADC∴△BDF≌△ADC（ASA）∴DF=CD=4∴AD=AF+DF=2+4=6=BD∴BC=BD+CD=6+4=10[来源:学科网]5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（  ）解析：∵ABCD是正方形∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°∵∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE∴∠ABF=∠DAE在△AFB和△AED中∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD∴△AFB≌△AED∴AF=DE=4，BF=AE=3∴EF=AF+AE=4+3=76、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（  ）解析：∵矩形ABCD中，EF⊥EC,∴∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEF=90°∴∠AEF=∠DCE,又∵EF=EC∴△AEF≌△DCE（AAS）∴AE=CD∵矩形的周长为16，即2CD+2AD=16，∴CD+AD=8∴AD-2+AD=8AD=5∴AE=AD-DE=5-2=3.7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=BD.[来源:学|科|网]解析：延长CE、BA相交于点F.∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°∴∠EBF=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=CF在△BCE和△BFE中∠EBF=∠CBEBE=BE∠CEB=∠FEB∴△BCE≌△BFE(ASA)∴CE=EF∴CE=CF=BD