福建省龙岩市六县（市区）一中2021届高三上学期期中联考 数学（含答案） 试卷
展开“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市/区）一中联考
2020-2021学年第一学期半期考
高三数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
命题人：长汀一中 上杭一中 漳平一中
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的代号涂在答题卡上。
1.设全集，集合，则=（ ）
A. B. C. D.
2.命题为锐角三角形，命题中，. 则命题是命题的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.幂函数满足,则等于( )
A. B. C. D.
4.若 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.设,则下列判断中正确的是( )
- B. C. D.
6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征。函数在区间上的图象的大致形状是( )
A． B． C． D．
7.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 | 加油量（升） | 加油时的累计里程（千米） |
年月日 | ||
年月日 |
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程。在这段时间内，该车每百千米平均耗油量为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
8.若函数在R上没有零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.己知实数满足约束条件,则（ ）
A.目标函数的最小值为0 B. 目标函数的最小值为0
C.目标函数的最小值为5 D.目标函数的最小值为 4
10.设正实数，满足，则（ ）
- B．
C. D．
11.已知函数（[]表示不超过实数的最大整数部分），则（ ）
A.的最小正周期为 B. 是偶函数
C.在单调递减 D.的值域为
12.已知函数为上的可导函数，则下列判断中正确的是（ ）
A.若在处的导数值为，则在处取得极值
B.若为奇函数，则为偶函数
C.若为偶函数，则为奇函数
D.若的图像关于某直线对称，则的图像关于某点成中心对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。其中16题两空，第一空2分，第二空3分，请将正确答案填写在答题卡上。
13.不等式的解集为，则的值为_________________.
14.命题，为真命题，则实数m的取值范围是______________.
15.已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________.
16.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则面积的最大值为___________，四边形ABCD的面积为________________.(注：圆内接凸四边形对角互补）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分10分）
已知函数在处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值之和.
18.（本题满分12分）
函数，
函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，的图像关于原点对称.
在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
“已知_______，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为.”
（1）求的值；
（2）求函数在上的单调递增区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（本题满分12分）
（1）已知角的终边上有一点，求的值.
（2）已知，求的值.
20.（本题满分12分）
如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，连接.
（1）若的面积为，求的长；
（2）若，求角的大小.
21.（本题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，且存在两个极值点，
证明：.
22.（本题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的零点个数；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市/区）一中联考
2020-2021学年第一学期半期考
数学科试题参考答案及评分标准
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | C | A | A | D | B | A | C | B |
二、多项选择题
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | AD | BD | AB | BD |
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四、解答题
17.（本题满分12分）
解：（1）由已知得切点为，且，.........................1分
，即，解得.........................5分
（2）由（1）知，
令得.........................7分
则在区间上的最大值与最小值之和为..........................10分
18.（本题满分12分）
选择条件①：
依题意，相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，..........2分
，，
又的图像关于原点对称，则，由知，................5分
从而，........................7分
选择条件②：
即有：
又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，
从而，........................7分
（2），令，
解得，
从而在上的单调递增区间为.........................12分
19.（本题满分12分）
.解：（1）原式
由已知可得，故原式........................6分
（3）由，可得
又
........................12分
20.（本题满分12分）
解：(1)由已知得S△BCD＝BC·BD·sin B＝，又BC＝2，sin B＝，
∴BD＝，cos B＝．在△BCD中，由余弦定理，得
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos B＝22＋－2×2××＝．
∴CD＝．........................6分
(2) ∵CD＝AD＝，
在△BCD中，由正弦定理，得，
又∠BDC＝2A，得，
解得cos A＝，所以A＝．........................12分
21.本题满分12分）
解：解（1）的定义域为，....................2分
(i)若，则，所以在单调递增. ........................3分
(ii)若，当时，；当时，.
所以在单调递减，在单调递增........................5分
（2）因为存在两个极值点且.，
所以的两个极值点满足，
所以，不妨设，则 ........................7分
则
，........................8分
要证，只需证.
设，则，........................10分
知在单调递减，又
当时，，故，
即，所以........................12分
22.（本题满分12分）
（1）令，即
不是方程的根，........................1分
令,则........................2分
当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递减.
所以，当或时，函数有1个零点；
当时，函数亦两个零点；
当时，函数亦0个零点.........................6分
（2）不等式可化为........................7分
令，则为增函数
所以有，得到，
所以不等式对恒成立等价于不等式对恒成立........................8分
令，有
当时，因为，所以，所以，函数为增函数，所以，即时，不等式恒成立；
当时，因为时，，函数为减函数，有，与题设矛盾.
综上，当时，不等式对恒成立。........................12分
欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org
