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福建省永安市第一中学2021届高三上学期期中考试 数学（含答案）
展开永安一中2020—2021学年高三上学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 总分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.1．已知集合，则 A． B． C． D．2．已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点，则该双曲线的虚轴长为A． B． C． D．3．若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知实数x，y满足，则的最大值为A．0 B．2 C．4 D．65．如图所示的流程图中，输出的含义是A.点到直线的距离B.点到直线的距离的平方C.点到直线的距离的倒数D.两条平行线间的距离 6．设正项等比数列的前项和为，若，则公比A． B．4 C． D．27．函数的图象大致为8.直线截圆所得劣弧所对圆心角为 A． B． C． D．9．已知等腰梯形中，，，分别为，的中点，为的中点，若记，，则A． B． C． D．10．已知是奇函数，且当时，则不等式的解集为A． B． C． D． 11．已知函数在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是A． B． C． D．12．若曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.13．已知，，则______．14. 已知是椭圆的两个焦点，是上的一点．若且，则C的离心率为 ．15． 已知数列的前项和为，其首项，且满足，则_______．16．已知四棱锥的底面为矩形，平面平面于点，，则四棱锥外接球的半径为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。17．（12分）设三角形的内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求三角形面积的最大值. 18．（12分）已知为公差不为的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和. 19.（12分）如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，，． （1）证明：； （2）若点为的中点，求三棱锥的体积． 20.（12分）已知抛物线的焦点为，经过点作直线与抛物线相交于两点,设．(1)求的值；(2)是否存在常数,当点M在抛物线上运动时,直线都与以为直径的圆相切？若存在,求出所有的值；若不存在,请说明理由． 21．（12分）已知函数. （1）若，求的极值和单调区间； （2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为：为参数，)，曲线的极坐标方程为：.（1）写出曲线的直角坐标方程;（2）设直线与曲线相交于两点, 若，求直线的斜率. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数（1）解不等式；（2）若不等式有解，求实数的取值范围. 参考答案一选择题：题号123456789101112答案DCCBADADBBCC二、填空题：13．; 14. ; 15．; 16．2三、解答题：17．解：（1）由正弦定理：可化为 ………1分 即 ………………………………2分即 ………………………………3分所以 ………………………………4分又, 所以 ………………………………5分因为，所以 ………………………………6分（2）由余弦定理得 即所以，所以 ………………………………10分所以三角形面积 ………………12分 18．解：（1）成等比数列，所以 ………………………………1分即，即. ………………………………3分因为，所以， ………………………………4分所以. ………………6分（2）由题意得：，， ………………8分所以. ………………12分19. 解：（1）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC的中点M，所以， ………………………………2分又，所以， …………………3分又因为，而，且，…4分所以平面，又因为，所以． ………………6分（2）解：如图，因为是的中点，所以…………………………10分………………………12分20.解：(1)法一：依题意过点的直线可设为，……………………1分 由，得， ……………………3分设，则， …………………4分 ∴y1y2＝－16. …………………………………5分法二:∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)，∴(x2－4，y2)． …………1分∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)在一条直线上，∴(x1－4)y2－(x2－4)y1＝0. …………2分∵A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线y2＝4x上，∴x1＝，x2＝， …………3分∴y2－y1＝0，即(y1－y2)＝－4(y1－y2)． …………4分根据已知得y1≠y2，∴y1y2＝－16. …………5分(2)存在． …………6分∵F是抛物线P的焦点，∴F(1,0)．设M(x，y)，则MF的中点为N，|MF|＝1＋x. …………7分 ∵直线x＝a与以MF为直径的圆相切的充要条件是N到直线x＝a的距离等于，即＝，∴ax＝a2－a. …………9分∵对于抛物线P上的任意一点M，直线x＝a都与以MF为直径的圆相切，∴关于x的方程ax＝a2－a对任意的x≥0都要成立．∴解得a＝0. …………11分∴存在常数a，并且仅有a＝0满足“当点M在抛物线P上运动时，直线x＝a都与以MF为直径的圆相切”． …………12分21．解：（1）， ………1分 令，得 当x变化时，的变化情况如下表：x1-0+减极小值增 ……4分当时，函数有极小值1；函数的单调减区间为，单调增区间为； ………………5分（2）若在区间上至少存在一点，使成立，即在区间上的最小值小于0 ………………6分令，得 …………7分 ①当时， 函数在区间上单调递减函数在区间上的最小值为由得，即 ………8分②当时，（i）当即时，函数在区间上单调递减函数在区间上的最小值为显然，这与在区间上的最小值小于0不符 ……9分 （ii）当即时 当x变化时，的变化情况如下表：x－0+减极小值增函数在区间上的最小值为 ………10分 由，得，即 ……………11分综上述，实数a的取值范围是． ………………12分22.解：（1）， ………1分由,得. ……… 3分所以曲线的直角坐标方程为. ………4分（2）把 代入，整理得 ………5分设其两根分别为 ，则 ………6分 ………7分得，， ………9分所以直线的斜率为. ………10分23.解：（1）由已知得当时， 当时， 当时，舍综上得的解集为 …………5分（2）有解，或的取值范围是. …………10分
