福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考 数学（含答案） 试卷
展开2020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷
高中三年数学科试卷
命题学校：永泰一中 命题教师：审核教师：
考试日期：11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150 分
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知：“函数在上是增函数”，：“”，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）
A．直线与直线平行 B．直线与直线相交
C．直线与直线异面且垂直 D．直线与直线异面且所成的角为60°
5．记为正项等比数列的前项和，若，则（ ）．
A． B． C． D．
6．已知，则的最小值为（ ）
A．36 B．16 C．8 D．4
7．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
8．已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
9．已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．
C．复数的实部为 D．复数对应复平面上的点在第二象限
10．已知，如下四个结论正确的是（ ）
A．； B．四边形为平行四边形；
C．与夹角的余弦值为； D．
11．在中，角A，B，C的对边分别是 a，b，c， 若 ，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的面积为6
12．已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为
B．无论点在上怎么运动，都有
C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且
D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，则________．
14．已知数列的前项和，则__________．
15．在三棱锥中，垂直平面，，，则三棱锥外接球的表面积为_________ .
16．函数满足，当时，，若有个不同的实数解，则实数的取值范围是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
已知是数列的前项和，且
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）
在① ，②，
③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的角，，对边分别为，，而且______．
（1）求；
（2）求周长的范围．
19．（本小题满分12分）
已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为，C、D两点在半圆弧上满足，设，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由和组成．
（1）若，求观光通道l的长度；
（2）用表示观光通道的长l，并求观光通道l的最大值；
21．（本小题满分12分）
已知函数的极值为.
（1）求的值并求函数在处的切线方程；
（2）已知函数，存在，使得成立，求得最大值。
22．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若不等式在时恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：.
2020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷
高中三年数学科试卷
参考答案
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1-5: B A C DD 6-8: C A B
二、选择题题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
9.BD 10.BD 11.ABD 12.ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
解：（1）因为，
所以.
相减得， 2分
所以，
所以.
又，解得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
即的通项公式为. 5分
（2）由（1）可得. 8分
所以. 10分
18．（本小题满分12分）
解：(1)选①:
由正弦定理得
即： 2分
因为 3分
因为 4分
选②:
由正弦定理得
因为 2分
因为，所以， 3分
因为 4分
选③:
因为,
所以,即, 2分
所以, 3分
因为,所以; 4分
(2)由(1)可知:,
在中,由余弦定理得,即, 6分
所以,
所以,当且仅当时等号成立, 10分
所以,即周长的最大值为.
又因为，所以周长的取值范围为 12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）在图①中，连接，如图所示：
因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.
因为为的中点，所以，. 2分
又，所以.
在图②中，，所以，即.
因为，所以，. 4分
又，，平面.
所以平面. 5分
又平面，所以平面平面. 6分
（2）由（1）知，，.
因为，，平面.
所以平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，.
因为为的中点，所以.
所以，. 8分
设平面的一个法向量为，
由得.
令，得.
设平面BDA的一个法向量为.
因为，
由 得
令 得 10分
设二面角的大小为，由题意知该二面角为锐角.
则.
所以二面角的余弦值为. 12分
若有其他解法，可酌情给分！
20．（本小题满分12分）
（1）因为 所以 1分
在中，利用余弦定理可得
所以 2分
同理 3分
所以观光通道长 4分
（2）作，垂足为E，在直角三角形中，，
则有， 6分
同理作，垂足为F，，
即：， 8分
从而有： 10分
因为，所以当时，l取最大值5，即观光通道长l的最大值为． 12分
若有其他解法，可酌情给分！
21．（本小题满分12分）
解：（1）定义域为R
因为 1分
若则在R上单调递增，无极值，不合题意，舍去 2分
若则令得
所以解得 3分
经检验，符合题意。
因为切线斜率
又因为所以切点为
所以切线方程为：
即切线方程为： 5分
（2）因为存在，使得成立
则
即
即
即
即 （*） 6分
由（1）得
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增 7分
因为，所以，所以
即且
所以存在使得
所以存在使得
即
令 所以 9分
因为得
所以在区间上单调递增，在区间单调递减
所以的最大值为
所以又因为，所以 11分
所以m的最大值为 12分
若有其他解法，可酌情给分！
22．（本小题满分12分）
解：（1）因为 所以
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增 3分
（2）求导数可得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由可得，
函数在上单调递增，在上单调递减； 5分
①当时，函数在上单调递增，
，即不等式在时恒成立，
②当时，函数在上单调递减，
存在使得，所以不合题意，舍去。
综上可知实数的取值范围为，； 7分
（3）由（2）得当时，不等式在时恒成立，
即，，． 9分
即，
，，，，
将上述式子相加可得
原不等式得证． 12分
若有其他解法，可酌情给分！
欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org
