湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2021届高三上学期期中联考 数学（含答案） 试卷

湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟

2021届高三上学期期中联考

数学试题

一、单选题

1．若集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先利用函数的定义域求法化简集合B，再利用交集的运算求解.

【详解】

因为集合，集合，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

2．某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为，小高层底部的俯角为，那么这栋小高层的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意作图,先求出，再求出，即得这栋小高层的高度.

【详解】

依题意作图所示：，仰角，俯角，

在等腰直角中，，

在直角中，，

，

小高层的高度为．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查解三角形的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得；

【详解】

解：；；.

所以

故选：A.

【点睛】

本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.

4．已知命题，，，则为　　

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．

【详解】

解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以：命题，，，则为，．

故选：．

【点睛】

本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．

5．函数的大致图象为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】将函数表达式化为，由函数奇偶性得到BC不正确，再由特殊值得到最终结果.

【详解】

因为是奇函数排除，且当时，.

故答案为A.

【点睛】

这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.

6．若函数的图象关于轴对称，则实数的值为（   ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【解析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到，进而得到恒成立，根据对应项系数相同可得方程求得结果.

【详解】

图象关于轴对称，即为偶函数   

即：

恒成立，即：

，解得：

本题正确选项：

【点睛】

本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.

7．等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先通过数列性质判断，再通过数列的正负判断的最小值.

【详解】

∵等差数列中，，∴，即.又，∴的前项和的最小值为.

故答案选C

【点睛】

本题考查了数列和的最小值，将的最小值转化为的正负关系是解题的关键.

8．设函数.若曲线上存在点，使得，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得存在，，使成立，即在，上有解，即，，．利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得的范围．

【详解】

由题意可得，，，

曲线上存在点，使得，

存在，，使成立．

函数在它的定义域内单调递增，

下面证明．

假设，则（c），不满足．

同理假设，则不满足．

综上可得：．

则问题等价于方程，有解，即在有解，分离参数可得，令，∵，所以函数在上单调递增，

所以，所以.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查正弦函数的图象和性质，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．

二、多选题

9．下列说法中正确的有（    ）

A．不等式恒成立 B．存在a，使得不等式成立

C．若，则 D．若正实数x，y满足，则

【答案】BCD

【解析】根据基本不等式的条件和结论对所有选择支分别判断．

【详解】

不等式恒成立的条件是，，故A不正确；

当a为负数时，不等式成立.故B正确；

由基本不等式可知C正确；

对于，

当且仅当，即时取等号，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，基本不等式的条件不能忘记，如果用基本不等式求最值一定要注意一正二定三相等．另外存在性命题举例可说明正确，全称性命题需证明才能说明正确性．

10．已知等比数列的公比为，前4项的和为，且，，成等差数列，则的值可能为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】AC

【解析】运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比的值．

【详解】

解：因为，，成等差数列，

所以，

因此，，

故．

又是公比为的等比数列，

所以由，

得，即，

解得或．

故选：AC．

【点睛】

本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

11．已知函数，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（    ）

A． B．在上存在零点，则a的最小值为

C．在上单调递增 D．在有且仅有一个极大值点

【答案】BC

【解析】首先求出，即可得到的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数，最后结合正弦函数的性质一一验证即可；

【详解】

解：因为，所以，

所以

因为为奇函数，则，即，所以，，因为，所以，

对于A，，故A错误；

对于B，令，得，，若在上存在零点，则且a的最小值为，故B正确；

对于C，，当时，，则在上单调递增，故C正确.

对于D，因为，当时，，当时，，

∴在上存在一个极小值点，没有极大值点，故D错误.

故选：BC.

【点睛】

本题考查正弦函数的性质的应用，利用三角恒等变换公式化简，属于中档题.

12．设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】BC

【解析】先利用导数研究函数的单调性作出函数的图象，由图象可知当时，有三个不同的x与对应，设，方程有六个不等的实数根，所以在内有两个不等的实根，再利用二次方程的根的分布求解.

【详解】

当时，，则

由得，即，此时为减函数，

由得，即，此时为增函数，

即当时，取得极小值，作出的图象如图：

由图象可知当时，有三个不同的x与对应，

设，方程有六个不等的实数根，

所以在内有两个不等的实根，

设

即

，

则实数a可取的值可能是，1

故选：BC.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的零点，考查二次函数的根的分布，考查函数图象的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

三、填空题

13．已知则________.

【答案】14

【解析】根据函数解析式，由内而外，逐步计算， 即可得出结果.

【详解】

因为，所以，

则.

故答案为：14.

【点睛】

本题主要考查求分段函数值，属于基础题型.

14．已知，条件，条件（），若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】先解出命题所对应的集合，再根据条件分析集合包含关系，进行求解．

【详解】

因为x∈R，条件p：x2＜x，所以p对应的集合为A＝（0，1）；

因为条件q：a（a＞0），所以q对应的集合为B＝（0，]；

因为p是q的充分不必要条件，

所以A⫋B，

所以，

所以0＜a≤1，

故答案为：（0，1]．

【点睛】

本题考查集合包含关系，以及简易逻辑，属于基础题．

15．若函数的零点为，且，，则的值为______.

【答案】

【解析】先得到函数在单调递增，再证明，即得解.

【详解】

因为都是上的增函数，

所以函数在单调递增（增函数+增函数=增函数），

因为，

，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查零点定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16．已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则______.

【答案】

【解析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，是小于1的正有理数，通过验证的方法可以求解.

【详解】

解：由已知，

，

∵

∴，

且，∴，

∴，

又q为小于1的正有理数，

∴是一个完全平方数，

可得或或或，则（舍）或或（舍）或（舍）

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，考查运算能力，是一道中档题．

四、解答题

17．已知的内角的对应边分别为，

在①

②

③

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求的最大值.

【答案】见解析

【解析】根据正弦定理或余弦定理计算得到，再计算，得到最值.

【详解】

若选①，则由正弦定理，

，，

若选②，则由正弦定理知：

，，，

若选③，则有正弦定理知，

，由余弦定理知：，，

，

，，所以当时，的最大值是.

【点睛】

本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

18．已知数列的前项和为，且2，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意知，两式作差可得，从而得到数列的通项公式；

（2）由（1）可得，用错位相减法得到数列的前项和.

【详解】

（1）由题意知2，成等差数列，所以①，

可得②

①②得，又，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴

（2）由（1）可得，用错位相减法得：

①

②

①②可得.

【点睛】

本题考查数列递推关系，考查错位相减法求和，考查运算能力与逻辑推理能力，属于中档题.

19．如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）根据线面垂直的性质，结合正方形的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

（1）证明：因为平面，面，所以.

因为是正方形，所以

又，面，面，故平面

（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示.

因为平面，且与平面所成角为，即，

所以，由已知，可得，.

则，，，，，

所以，.

设平面的法向量为，则，即.

令，则

因为平面，所以为平面的法向量，.

所以.

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查了线面垂直的证明方法，考查了利用空间向量夹角公式求二面角余弦值问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线(的斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）为定值.

【解析】（1）由面积的最大值为，得到，又求解.

（2）设直线，与椭圆方程联立，然后求得弦长和直线AB的垂直平分线求得点P的坐标求解.

【详解】

（1）面积的最大值为，则：

又，，

解得：，，

∴椭圆C的方程为：.

（2）为定值，设直线，

设，，线段的中点为，

由，消去x可得：，

∵恒成立，

∴，

，

∴，，

∴，

直线，

令，则，

，

故为定值.

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21．某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.

（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.

（2）玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减少的原因.

【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）答案见解析.

【解析】（1）根据击鼓三次，出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分，得到X可能的取值为1，2，5，，然后分别求得其相应概率，列出分布列；

（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件，根据每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立得到，然后利用对立事件的概率求解.

（3）根据（1）的结论，算出随机变量X的数学期望即可.

【详解】

（1）X可能的取值为1，2，5，

根据题意，有，

，

，

.

所以X的分布列为：

（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件，

则.

所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为.

因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是

（3）由（1）知，随机变量X的数学期望为.

这表明，获得分数X的均值为负.

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.

【点睛】

本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的应用以及独立事件和对立事件的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

22．已知函数，.

（1）若在区间上的最大值为，求实数的取值范围；

（2）设，，记为从小到大的零点，当时，讨论的零点个数及大小.

【答案】（1）；（2）当时，有三个零点：.

【解析】（1）求导得到函数单调区间，计算的极大值为，，根据题意得到，解得答案.

（2）考虑和两种情况，求导得到的单调区间，根据，得到在上有一个零点，构造函数，根据零点存在定理得到在上有一个零点，得到答案.

【详解】

（1）∵，

∴在和上单调递增，在上单减，

的极大值为，的极小值为，

又，若的最大值是，则，∴.

（2），

当时，，此时，

∴在有一个零点，；

当时，，∴在上单调递减，在上单调递增.

又，∴，

由于，时，，

∴在上有一个零点；

又，令，，

∴在上单增，，

∴，

再令，

∴在上单调递增，从而，

∴在上单调递增，从而，

∴在上有一个零点，

综上所述：当时，有三个零点：.

【点睛】

本题考查了根据函数的最值求参数，求函数零点个数与范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，构造新函数是解题的关键.