甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2021届高三上学期 期中考试数学文科试卷
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高三数学（文科）
一、选择题:本题共12小題,毎小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知复数满足 (i为虚数单位）,则在复平面内复数对应的点的坐标为( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(-1,-2) D.(-2,- 1)
4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝log2x B．y＝2x－1 C．y＝x2－2 D．y＝－x3
5. 造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用．某小学三年级共有学生名，随机抽查名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有人，据此估计该校三年级的名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的图象可能是（ ）
A B C D
8．函数在处有极值为10，则a的值为（ ）
A. 3 B. -4 C. -3 D. -4或3
9．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知抛物线的准线与双曲线交于，两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12．若，则下列不等式成立的是（ ）
二. 填空题(每小题5分, 共20分)
13．已知平面向量， 的夹角为，且， ，则__________．
14 ．已知为等差数列的前项和，且，，则______．
15．若，满足约束条件，则的最小值为_______________．
16．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和是_______．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）设的内角的对边分别为,且.
（1）求角的大小;
（2）若,求的值及的周长.
18．(12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下列联表：
| 分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 |
线上学习时间不少于5小时 |
| 4 | 19 |
线上学习时间不足5小时 | 10 |
|
|
合计 |
|
| 45 |
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求每周线上学习时间不足5小时的人数为1人的概率．
（下面的临界值表供参考）
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式其中）
19．（12分）如图，直四棱柱中，，，，点是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
20．（12分）已知抛物线的焦点为点为抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线与抛物线交于两个不同的点，若,求实数的值．
21.（12分）已知函数．
判断在定义域上的单调性；
若在上的最小值为2，求a的值．
22. （10分）在平面直角坐标系中，已知直线为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值。
永昌县第一高级中学2020-2021-1期中试卷答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | C | B | B | C | A | C | B | C | A | D | D |
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 14 . 120 15. 16. 4
三、解答题（17、18、19、20、21每题12分,22题10分）
17. 解：（1）∵
由正弦定理得 ∵在中,
∴,即;
（2）∵,由正弦定理得
又 ∴
解得 (负根舍去), ∴的周长
18. 解：（1）
| 分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 |
线上学习时间不少于5小时 | 15 | 4 | 19 |
线上学习时间不足5小时 | 10 | 16 | 26 |
合计 | 25 | 20 | 45 |
∵
∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”
（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生人，线上学习时间不足5小时的学生2人，所以5名学生中随机抽取2人包含的基本事件总数数为10，设每周线上学习时间不足5小时的人数为1人为事件A,则A包含的基本事件数为6，故
19． （1）取的中点为，连接，，
∵点是的中点，∴，，
∵，，，，∴，，
即四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面．
（2）设点到平面的距离为，连接，，，，
∵平面，，
∴，
∵平面，∴，，
∴，∵，∴，解得．
20：
21解：（1）由题意得f（x）的定义域为（0，+∞）， (2分)
①当a≥0时，f'（x）＞0，故f（x）在上为增函数； (3分)
②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝﹣a；由f'（x）＞0得x＞﹣a；
由f'（x）＜0得x＜﹣a；
∴f（x）在（0，﹣a]上为减函数；在（﹣a，+∞）上为增函数． (5分)
所以，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，﹣a]上是减函数，在（﹣a，+∞）上是增函数． (6分)
（2）∵，x＞0．由（1）可知：
①当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，得a＝﹣2，矛盾! (7分)
②当0＜﹣a≤1时，即a≥﹣1时，f（x）在（0，+∞）上也是增函数，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，∴a＝﹣2（舍去）． (9分)
③当1＜﹣a＜e时，即﹣e＜a＜﹣1时，f（x）在[1，﹣a]上是减函数，在（﹣a，e]上是增函数，
∴f（x）min＝f（﹣a）＝ln（﹣a）+1＝2，得a＝﹣e（舍去）． (11分)
④当﹣a≥e时，即a≤﹣e时，f（x）在[1，e]上是减函数，有，
∴a＝﹣e．
综上可知：a＝﹣e．
22．解：（1）把，展开得，
两边同乘得①．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入①，
即得曲线的直角坐标方程为②．
（2）将代入②式，得，点M的直角坐标为（0，3）．
设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则t1+t2=-3. t1.t2=3
∴ t1＜0， t2＜0
则由参数t的几何意义即得
