甘肃省金昌市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理 ）试题（含答案）
展开金昌市第一中学2020-2021学年第二学期期中考试试题
高二理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知是虚数单位，若，则（ ）
A. B. C. D.
2.空间任意四个点，，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
3.下列函数存在极值的是（ ）
A. B.
B. D.
4.若复数满足，则（ ）
A. B. C.1 D.5
5.已知向量，，则与的夹角为（ ）
A.0° B.45° C.90° D.180°
6.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
7.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
8.函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
9.在长方体中，，与平面所成的角为30°，则该长方体的体积为（ ）
A.8 B. C. D.
10.若方程有三个不同的实数根，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
11.若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A.1 B. C. D.
12.若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
13.若，则______.
14.曲线在点处的切线与直线垂直，则______.
15.已知函数的图象过点，且在点处的切线方程，则______.
16.已知函数的单调递减区间为，其极小值为2，则的极大值是______.
三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
已知复数，，，它们在复平面上所对应的点分别为，，，若（），求的值.
18.（本小题12分）
已知函数，是的一个极值点，求：
（1）实数的值；
（2）在区间上的最大值和最小值.
19.（本小题12分）
已知函数，且和是的两根.
（1），的值；
（2）的单调区间.
20.（本小题12分）
如图所示，在直三棱柱中，，，，点是的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
21.（本小题12分）
如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
22.（本小题12分）
已知函数（）.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.
高二理科数学答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | D | B | C | C | D | C | D | C | B | D | A |
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.答案： 14.答案： 15.答案：0 16.答案：6
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解 由题意知，，，三点在复平面内坐标分别为，，，
，
.
解得
.
18.解：（1）在处有极值，.
，
，.
（2）由（1）知，
，.
令，得，.
当变化时，的变化情况如下表：
0 | 2 | 3 | |||||
| 0 | 0 |
| ||||
2 | 2 |
从上表可知在区间上的最大值是2，最小值是.
19.解：（1），
又和为的两根，
，
故有，
解方程组得，.
（2），，
，
令得，，，
当时，；
当时，，
的单调递增区间为和，单调递减区间为和.
20.解 （1）以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
，
又异面直线所成角的范围是，
异面直线与所成角的余弦值为.
（2）是平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
，，
即
取.
设平面与平面所成二面角的大小为，
则，
，
平面与平面所成二面角的正弦值为.
21.（1）证明 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，.
，，
，，
又，，平面，
平面.
（2）解 由（1）可知平面的法向量.
设平面的法向量为，，，
则令，则，，
可得，，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
22.解：（1）当时，，，则，，
所以，在处的切线方程为，即；
（2），则.
，当时，.
当时，；当时，.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减.
故在处取得极大值.
又，，
，则，
在上的最小值是.
又在上有两个零点，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
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