甘肃省兰州市第一中学2021届高三上学期期中考试 数学（理）(含答案)

兰州一中2020-2021-1学期期中考试试题
高三数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( 　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知z＝＋i (i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
A. B. C. D.2
3.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于(　 　)
A.12 B.18 C.24 D.36
4.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于(　 )
A.6 B.5 C.4 D.3
5.已知向量,满足||＝1，||＝2，－＝(，)，则|2－|等于(　　 )
A.2 B. C. D.2
6.设，则 ( )
A.      B. C.   D.
7.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且的充分不必要条件是，则a的取值范围是(　　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
8.函数y＝2|x|·sin 2x的图象可能是( 　　)
若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c),则2a＋2b＋2c的取值范围是(　　)
A.(16，32) B.(18，34) C.(17，35) D.(6，7)
10.函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在
[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，则t的取值范围为(　　)
A. B.∪ C. D.
11.已知函数f(x)＝kx＋1，g(x)＝ex＋1(－1≤x≤1)，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M，N，使得点M，N关于直线y＝1对称，则实数k的取值范围是(　　 )
A. B. C.[－e，＋∞) D.∪
12.已知f(x)在R上是奇函数，且f ′(x)为f(x)的导函数，对任意x∈R，均有成立，若f(－2)＝2，则不等式f(x)>－2x－1的解集为(　　 )
A.(－2，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，－2)

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
则 ________．
________.
15.若均为正数, 且, 则的值是_______________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分12分)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足
(a＋b＋c)(sin B＋sin C－sin A)＝bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋cos Bcos C的最大值.

18.(本题满分12分)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求二面角A－MA1－N的正弦值.

序号
分组（分数段）
频数（人数）
频率
1
[0, 60)
a
0.1
2
[60, 75)
15
b
3
[75, 90)
20
0.4
4
[90, 100)
c
d
合 计
50
1
19.(本题满分12分)
为迎接我校建校120周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，成绩均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：
（1）求的值；
（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.
某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列以及X的数学期望.
20.(本题满分12分)已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.

21.(本题满分12分)已知函数f(x)＝－aln x＋x＋.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝ex＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤ f (x1)，求实数m的取值范围.

选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）
22.(本题满分10分)平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
ρ(cos θ－sin θ)＝1.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程；
(2)已知直线l与y轴交于点M，且与曲线C交于A，B两点，求的值.

23.(本题满分10分)已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.





兰州一中2020-2021学年度高三第一学期期中
数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( C　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝(　B　)
A. B. C. D.2
3.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于(　D　)
A.12 B.18 C.24 D.36
4.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于(　C )
A.6 B.5 C.4 D.3
5.已知向量,满足||＝1，||＝2，－＝(，)，则|2－|等于(　A　)
A.2 B. C. D.2.6.
6.设，则 ( C )
A.     B. C.   D.
7.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是(　A　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
8.函数y＝2|x|·sin 2x的图象可能是(　D　)
9.函数f(x)＝若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是(　B　)
A.(16，32) B.(18，34) C.(17，35) D.(6，7)
10.函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在
[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，则t的取值范围为(　B　)
A. B.∪ C. D.
11.已知函数f(x)＝kx＋1，g(x)＝ex＋1(－1≤x≤1)，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M，N，使得点M，N关于直线y＝1对称，则实数k的取值范围是(　D　)
A. B. C.[－e，＋∞) D.∪
12.已知f(x)在R上是奇函数，且f′(x)为f(x)的导函数，对任意x∈R，均有f(x)>成立，若f(－2)＝2，则不等式f(x)>－2x－1的解集为(　C　)
A.(－2，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，－2)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数则 ．
14.定积分(＋x)dx＝___2π._____.
15．若均为正数, 且, 则的值是___2____________．
16．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是_0≤a<.___.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sin B＋sin C－sin A)＝bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋cos Bcos C的最大值.
解　(1)∵(a＋b＋c)(sin B＋sin C－sin A)＝bsin C，
∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，即b2＋c2－a2＝－bc.
∴由余弦定理，得cos A＝＝－.又A∈(0，π)，所以A＝π.
(2)根据a＝，A＝π及正弦定理
得＝＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C.
∴S＝bcsin A＝×2sin B×2sin C×＝sin Bsin C.
∴S＋cos Bcos C＝sin Bsin C＋cos Bcos C
＝cos(B－C).
故当B＝C＝时，S＋cos Bcos C取得最大值.

18.（本题满分12分）如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求二面角A－MA1－N的正弦值.
(1)证明　如图，连接B1C，ME.
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME＝B1C.
又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.
由题设知A1B1∥DC，可得B1C ∥A1D，故ME ∥ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.
又MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，
所以MN∥平面C1DE.
(2)解　由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，M(1，，2)，N(1，0，2)，＝(0，0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1，0，－2)，＝(0，－，0).
设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则
所以可取m＝(，1，0).
设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，
则所以可取n＝(2，0，－1).
于是cos〈m，n〉＝＝＝，则sin〈m，n〉＝，
所以二面角A－MA1－N的正弦值为.
19.（本题满分12分）
序号
分组（分数段）
频数（人数）
频率
1
[0, 60)
a
0.1
2
[60, 75)
15
b
3
[75, 90)
20
0.4
4
[90, 100)
c
d
合 计
50
1
为迎接我校建校110周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数为均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.
某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列以及X的数学期望.
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)X的可能取值为2，3，4.


所以分布列为：
X
2
3
4
P
0.04
0.064
0.896


20.（本题满分12分）已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解　(1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).
设Q(x0，y0)，则由＝，得代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
联立y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)
因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系得
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，解得k2<4，综上可得 则 则满足条件的斜率k的取值范围为∪.
21.（本题满分12分）已知函数f(x)＝－aln x＋x＋.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝ex＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围.
解　(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.
当a≤1时，a－1≤0，由f′(x)<0得00得x>1，
所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
当1 由f′(x)>0得01，
所以函数f(x)在(a－1，1)上单调递减，在(0，a－1)和(1，＋∞)上单调递增.
当a＝2时，a－1＝1，可得f′(x)≥0，
此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当a>2时，a－1>1，由f′(x)<0得1 由f′(x)>0得0a－1，
所以函数f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0，1)和(a－1，＋∞)上单调递增.
(2)当a＝e2＋1时，由(1)得函数f(x)在(1，e2)上单调递减，
在(0，1)和(e2，＋∞)上单调递增，
从而f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(e2)＝－e2－3.
对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，
即存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)的函数值不超过f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值－e2－3.
由ex＋mx2－2e2－3≤－e2－3得ex＋mx2≤e2，m≤.
记p(x)＝，则当x∈[1，＋∞)时，m≤p(x)max.
p′(x)＝＝－，
当x∈[1，2]时，显然有exx＋2(e2－ex)>0，p′(x)<0，
当x∈(2，＋∞)时，exx＋2(e2－ex)>exx－2ex>0，p′(x)<0，
故p(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
得p(x)max＝p(1)＝e2－e，从而m的取值范围为(－∞，e2－e].
四．选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）
22. （本题满分10分）坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程；
(2)已知直线l与y轴交于点M，且与曲线C交于A，B两点，求的值.
解　(1)将直线l的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＝1化为直角坐标方程为x－y－1＝0.
将曲线C的参数方程(θ为参数)化为普通方程为x2＋y2＝9.
(2)由(1)知点M(0，－1)，故直线l的参数方程为(t为参数)，
代入圆的方程为t2－t－8＝0，设A，B对应的参数为t1和t2，
所以t1＋t2＝，t1·t2＝－8.故＝＝.
23．（本题满分10分）已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）原不等式等价于
或
解之得.
即不等式的解集为.
（Ⅱ）.
，解此不等式得.