江苏省泰州市2020～2021学年度第一学期期中调研测试高三数学
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高三数学试题
(考试时间：120分钟；总分：150分)
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）．
1．设集合，集合，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
2．已知，为虚数单位，则“”是“为纯虚数”的（ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（为自然对数的底数，为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，=（ ▲ ）
A. B. 0 C. D.
4. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为（ ▲ ）
A．128.4米 B．132.4米 C．136.4米 D．110.4米
5．在平行四边形中，点分别满足，，
若，则实数的值为（ ▲ ）
A． B. C. D.
6．函数的图象大致为（ ▲ ）
A． B．
C． D．
7．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条．行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型，假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才
可以驾车，则的值为（ ▲ ）（参考数据：）
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值：
驾驶行为类别 | 阈值（） |
饮酒驾车 | ［20，80） |
醉酒驾车 | ［80，+∞） |
A．5 B．6 C．7 D．8
8．若实数满足其中，则下列结论正确的是（ ▲ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 已知向量，则下列选项正确的有（ ▲ ）
A． B．
C． D．
10. 已知函数的导函数的两个零点为，则下列结论正确的有（ ▲ ）
A. B. 在区间的最大值为
C.只有一个零点 D. 的极大值是正数
11. 某港口一天内潮水的高度（单位：）随时间（单位：；）的变化近似满足关系式，则下列说法正确的有（ ▲ ）
A．在上的平均变化率为
B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为
C．当时，潮水的高度会达到一天中最低
D．时潮水起落的速度为
12. 在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点是底面上的动点，且，则下列说法正确的有（ ▲ ）
A. 与所成角的最大值为 B. 四面体的体积不变
C. 的面积有最小值 D. 平面截正方体所得截面面积不变
三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）.
13．已知，则的值为 ▲ ．
14．乒乓球被称为中国的“国球”，目前国际比赛用球的直径为4．某厂家计划生产乒
乓球包装盒，包装盒为长方体，每盒装6个乒乓球．现有两种方案，方案甲：6个乒乓球
放一排；方案乙： 6个乒乓球并排放置两排，每排放3个．乒乓球与盒子、以及乒乓球之间紧密接触，确保用料最省，则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多
▲ ．
15．已知正实数满足，则的最小值为 ▲ ．
16. 已知直三棱柱中，，，侧棱，则该三棱柱外接球的体积为 ▲ ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分10分）
设集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（本题满分12分）
已知向量，，函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的的值.
19．（本题满分12分）
已知的内角所对的边分别是，为锐角，在以下三个条件中任选一个：①；②；
③；并解答以下问题：
（1）若选______（填序号），求的值；
（2）在（1）的条件下，若，求面积的最大值．
20．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，，，为正三角形，是CB的中点，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求四棱锥的体积．
21．（本题满分12分）
已知函数，．
（1）解不等式：；
（2）当时，求函数的值域；
（3）若，，使得成立，求实数的取值范围．
22．（本题满分12分）
已知函数，．
（1）求函数的最小值；
（2）若是的切线，求实数的值；
（3）若与的图象有两个不同交点，求证：．
2020～2021学年度第一学期期中调研测试
高三数学试题参考答案
一、单项选择题：
1．A 2．B 3. C 4. C 5．B 6．A 7．B 8．D
二、多项选择题：
9. ABD 10. BC 11. BD 12. BCD
三、填空题：
13． 14.64 15． 16.
三、解答题：
17．（本题满分10分）
解：-------------------------2分
（1）当时，--------------------------------------4分
所以 -----------------------------------------6分
（2）因为，所以，有：
，解得：，
所以实数的取值范围为.-----------------------------------------10分
18．（本题满分12分）
解:(1)
-------------------------------------4分
由，
解得：，
所以函数的单调递增区间为：.--------6分
（2）因为，所以，---------------------8分
所以，即，--------------10分
当时，有最大值为0;
当时, 有最小值为.----------------------------12分
19．（本题满分12分）
解：（1）若选①，因为，由正弦定理有：
,
即，
所以，在中，，所以.--------6分
若选②, ，
，
中，,，
，,
，或（舍）, .---------------------6分
若选③，因为，由正弦定理有：
，因为在中，，所以，
又，为锐角，解得.------------------------6分
（2）由（1）可知， ，由，为锐角，得，
由余弦定理可知，
，
，当且仅当时等号成立.---------------------------9分
面积：.
所以面积的最大值为.------------------------------12分
20．（本题满分12分）
解：（1）因为为正三角形，是CB的中点，
所以，
因为，，平面，平面，
所以平面，
因为平面
所以平面平面．----------------------------------4分
（2）由（1）中平面，则，
又，所以是二面角的平面角，
因为，，所以，，
因为，，
所以，
即二面角的余弦值为．-------------------------------8分
（3）在中，过作于，
由（1）中得平面，又因为平面，
所以平面平面，
又平面，
故平面，-------------------------------10分
由为正三角形，得的面积，
的面积，四边形的面积为
在中，
所以四棱锥的体积．
----------------------------------------------------------------------------------------------------12分
21．（本题满分12分）
解：（1）由得，
即，
所以，又
所以，即不等式的解集为；-------------------------3分
（2），
①当时，；
②当时，，
令，则，，
即在上为减函数，故；
综上得：当时，函数的值域为；-----------------------------------7分
（3）由题意得，，，
当，由（2）得，所以，
所以恒成立，
即恒成立，------------------------------------------------10分
又，当且仅当时取等号，
所以实数的取值范围为．----------------------------------12分
22．（本题满分12分）
解：（1）∵，∴，
当时，，∴在上单调递减；
当时，，∴在上单调递增．
故函数的最小值为．--------------3分
（2）若是的切线，设切点为，
则过点的切线方程为，
即，即，
由题意知，----------------------------------------5分
令，则时，，
∴在上单调递增，又，
∴有唯一的实根，则．----7分
（3）由题意知，
两式相加得，
两式相减得，即，
∴，即，
不妨令，记，则，
令，则，
∴在上单调递增，则，
∴，因而，
令，则时，，∴在上单调递增，
∵，∴．--------------------12分
