3-4-2基本不等式的应用（一））

备课资料

备用习题

1.已知a、b是正实数，试比较an+bn与a n-1·b+abn-1的大小.

解：an+bn-a n-1b-ab n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).

①当a＞b＞0时，a-b＞0,a n-1-b n-1＞0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0;

②当b＞a＞0时，a-b＜0,a n-1-bn-1＜0,得（a-b）(a n-1-b n-1)＞0;

③当b=a＞0时，（a-b）(an-1-bn-1)=0;

所以当a≠b时，an+bn＞a n-1b+ab n-1;

当a=b时,an+bn=a n-1b+ab n-1.

2.已知△ABC内接于单位圆，且(1+tanA)(1+tanB)=2，

（1）求证:内角C为定值；（2）求△ABC面积的最大值. 

（１）证明：由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)(tanA+tanB)=0.∵(tanA+tanB)≠0,

∴，即tan(A+B)=1.∴∠C=135°.

（2）解析：由题意,可得S△ABC= AC×BCsinC= AC×BC≤ ()2.当AC=BC时，S△ABC有最大值，最大值为S△ABC= (AC)2.

再作辅助线如图，连结OC、OA，OC交AB于D得AB⊥OC，所以AD=BD=,CD=1-,

AC 2=AD2+CD2= 2-2,所以S△ABC的最大值= (AC)2=.

3.一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h的速度匀速开往400 km处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？

解析：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知t相当于：最后一辆车行驶了25个 +400 km所用的时间，因此，. 当且仅当,即x=80时取“=”.

答：这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间是10小时.

4.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A、B孔面积忽略不计)

分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知,其中k＞0且k是比例系数.依题意要使y最小，只需求ab的最大值.由题设得4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0），即a＋2b＋ab＝30（a＞0，b＞0），∵a＋2b≥2,∴2·＋ab≤30.当且仅当a＝2b时取“＝”，ab有最大值.∴当a＝2b时有2·ab＋ab＝30，即b2＋2b－1５＝0.解之，得b 1＝3，b2＝－５（舍去）.∴a＝2b＝６.故当a＝６米，b＝3米时，经沉淀后流出的水中杂质最少.

解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，由题意可知4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0），

∴a＋2b＋ab＝30（a＞0，b＞0）.∴（0＜a＜30).由题设，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值.

∴.当且仅当a＋2＝时取“＝”，即a＝６，b＝3时ab有最大值18.故当a＝６米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.

点评：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”成立.

5.如图，在△ABC中，∠Ｃ＝９0°，AC＝3，BＣ＝4，一条直线分△ABＣ的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长.

分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设中的等量关系，即S△BＥＦ＝S△ABＣ，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BE＝x，BＦ＝y.

解：设BＥ＝x，BＦ＝y(0＜x＜4，0＜y＜５），则S△BＥＦ＝BＥ·BＦsinB＝xysinB.

又S△ABＣ＝BＣ·AＣ＝×3×4＝６,依题意可知S△BＥＦ＝S△ABＣ.∴xysinB＝×６＝3.

∵，xy＝10,又,∴在△BＥＦ中，由余弦定理得ＥＦ2＝BＥ2＋BＦ2－2BＥ·BＦ·cosB＝x 2＋y 2－2xy·＝x2＋y2－1６≥2xy－1６＝4，当且仅当x＝y＝时，等号成立.故此时线段EF的长为2.

点评：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法.从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法.