2021年 中考数学 专题复习：四边形（含答案）

2021年 中考数学 专题复习：四边形

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 一个正六边形共有n条对角线，则n的值为(　　)

A．6     B．7     C．8     D．9

2. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以作2条对角线，则这个多边形是(　　)

A．四边形        B．五边形

C．六边形        D．七边形

3. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为              (　　)

A.4    B.4    C.10     D.8

4. 如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为              (　　)

A.28          B.24     

C.21          D.14

5. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.有下列结论:①∠CAD=30°，②S▱ABCD=AB·AC，③OB=AB，④OE=BC，其中正确的有              (　　)

A.1个    B.2个    C.3个    D.4个

6. 下列哪一个度数可以作为某一个多边形的内角和 (　　)

A．240°    B．600°   C．540°    D．2180°

7. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是(　　)

A．六边形        B．五边形    

C．四边形        D．三角形

8. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为

A．12 B．14 C．24 D．21

9. 如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是

A．360° B．540° C．630° D．720°

10. 若在n边形内部任意取一点P，将点P与各顶点连接起来，可以把n边形分成n个三角形，利用这个事实，可以探索到n边形的内角和为(　　)

A．180°×n        B．180°×n－180°

C．180°×n＋180°      D．180°×n－360°

二、填空题（本大题共7道小题）

11. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．

12. 如图，小明从点A出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了________米．

13. 如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．

14. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．

15. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝________．

16. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是　　　　形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是　　　　. 

17. 如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于________．

三、解答题（本大题共4道小题）

18. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG.

(1)求证:△ABE≌△CDF.

(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形?请说明理由.

19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？

20. 如图，是平行四边形内任意一点，分别是的中点．若，交于，，交于，，交于，，交于，求证：．

21. 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．

2021年 中考数学 专题复习：四边形-答案

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 【答案】D　[解析] 六边形的对角线的条数为＝9.

2. 【答案】B　[解析] 设这个多边形的边数是n.由题意，得n－3＝2，解得n＝5.

3. 【答案】A　[解析]连接AE，如图，

∵EF是AC的垂直平分线，

∴OA=OC，AE=CE.

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠OAF=∠OCE.

在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE(ASA)，

∴CE=AF=5，∴AE=CE=5，BC=BE+CE=3+5=8.

在Rt△ABE中，AB===4，

∴AC===4.故选A.

4. 【答案】D　[解析]因为平行四边形的对角线互相平分，OE⊥BD，所以OE垂直平分BD，所以BE=DE，从而△ABE的周长等于AB+AD，即▱ABCD的周长的一半，所以△ABE的周长为14，故选D.

5. 【答案】C　[解析]∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°.

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°，

∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE.

∵AB=BC，

∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，

故①正确;

∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB·AC，

故②正确;

∵AB=BC，OB=BD，BD>BC，

∴AB≠OB，故③错误;

∵CE=BE，CO=OA，

∴OE=AB=BC，

故④正确.

6. 【答案】C　[解析] ∵多边形内角和公式为(n－2)×180°，

∴多边形内角和一定是180°的倍数．

∵540°＝3×180°，

∴540°可以作为某一个多边形的内角和．

7. 【答案】A　[解析] 剪去一个角的方法有三种：经过两个顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．所以一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或(n＋1)边形或(n－1)边形．

8. 【答案】A

【解析】∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，

∴BC==5，

∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，

∴EH=FG=BC，EF=GH=AD，

∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，

又∵AD=7，

∴四边形EFGH的周长=7+5=12．故选A．

9. 【答案】C

【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，

只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．故选C．

10. 【答案】D

二、填空题（本大题共7道小题）

11. 【答案】AD∥BC(答案不唯一)　【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB∥DC的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD∥BC”．

12. 【答案】120　[解析] 由题意得360°÷36°＝10，

则他第一次回到出发地点A时，一共走了12×10＝120(米)．故答案为120.

13. 【答案】21°

【解析】设∠ADE=x，

∵AE=EF，∠ADF=90°，

∴∠DAE=∠ADE=x，DE=AF=AE=EF，

∵AE=EF=CD，∴DE=CD，

∴∠DCE=∠DEC=2x，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠BCA=x，

∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x，

∴2x=63°﹣x，解得x=21°，即∠ADE=21°；

故答案为：21°．

14. 【答案】36°　【解析】∵在▱ABCD中，∠D＝∠B＝52°，∴∠AEF＝∠DAE＋∠D＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF＝108°，由折叠的性质得，∠AED′＝∠AED＝108°，∴∠FED′＝∠AED′－∠AEF＝108°－72°＝36°.

15. 【答案】4.8　【解析】∵S菱形＝AC·BD＝2AB·DH，∴AC·BD＝2AB·DH.∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝AC＝4，BO＝BD＝3，∴在Rt△AOB中，AB＝＝5，∴DH＝＝4.8.

16. 【答案】菱　　[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.

将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.

∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.

如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，

∴PE+PF=PE'+PF，

当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.

作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，

∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，

在Rt△ABG中，BG===，

由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，

∴PE+PF的最小值=.

17. 【答案】　【解析】设BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°，且四边形PQMN为正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的边长为a，正方形AEFG的对角线AF＝BD＝a，∵正方形对角线互相垂直，∴S正方形AEFG＝×a×a＝a2，∴＝＝.

三、解答题（本大题共4道小题）

18. 【答案】

解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，

∴∠ABE=∠CDF.

∵点E，F分别为OB，OD的中点，

∴BE=OB，DF=OD，

∴BE=DF，

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF(SAS).

(2)当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.理由如下:

∵AC=2OA，AC=2AB，

∴AB=OA.

∵E是OB的中点，

∴AG⊥OB，

∴∠OEG=90°，

同理:CF⊥OD，

∴AG∥CF，

∴EG∥CF，

∵EG=AE，OA=OC，

∴OE是△ACG的中位线，

∴OE∥CG，

∴EF∥CG，

∴四边形EGCF是平行四边形，

∵∠OEG=90°，

∴四边形EGCF是矩形.

19. 【答案】

（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为．

（2）①当M在OC上，Q在AB上时，．

在Rt△OPM中，OP＝t，，所以．

在Rt△AQE中，AQ＝2t，，所以．

于是．因此．

②当M在OC上，Q在BC上时，．

因为，所以．

因此．

③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和，解得．

因此当M、Q都在BC上，相遇前，，PM＝4，．

所以．

图2                         图3                         图4

（3）①当时，．

因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，

所以当时，S最大，最大值为．

②当时，．

因为抛物线开口向下，所以当时，S最大，最大值为．

③当时，．

因为S随t的增大而减小，所以当时，S最大，最大值为14．

综上所述，当时，S最大，最大值为．

考点伸展

第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？

此时， ．因此．

图5

20. 【答案】

设法证明四边形为平行四边形．

因为，分别为，的中点，所以

，且，

，且，

从而是中点．同理可证，是的中点（是的中位线）．所以四边形为平行四边形，

，．

同理，．因此

 ，

即四边形为平行四边形，故

．

说明  本题证明显示了用平行四边形证题的技巧，平行四边形，，像三座互相连接的桥梁一样沟通了条件与结论之间的道路．

事实上，由于为平行四边形，我们还可得到

，，，与互相平分等等一系列结论．为的中点（同样为的中点）的断言可以证明于下：

取中点，连，则且，

所以四边形为平行四边形，．因此为的中点．

21. 【答案】

方法一：设分别为的中点，要证明及三线共点．因为且，

所以且，

且，

从而四边形为平行四边形，故与互相平分．

设与的交点为，则经过中点（当然也是中点）．同理，也过中点．所以，，，三线共点于．

说明：本题证明的关键是平行四边形的获得（它是通过三角形中位线定理来证明的）．

由此可见，在某些四边形的问题中，通过构造平行四边形去解题是一种常用的技巧．

请看下例．

方法二：应用中点公式法

可设，

那么线段的中点坐标为，线段的中点坐标为

那么线段的中点坐标为

同理可得：的中点坐标也为

所以可知：，，三线共点于