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高中物理人教版 (2019)必修 第二册第八章 机械能守恒定律4 机械能守恒定律学案设计
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册第八章 机械能守恒定律4 机械能守恒定律学案设计，共13页。学案主要包含了学习素养·明目标等内容，欢迎下载使用。
【学习素养·明目标】 物理观念：1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化.2.能够根据动能定理、重力做功与重力势能变化间的关系，推导出机械能守恒定律.3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题．
科学思维：1.通过机械能守恒定律的推导，培养科学思维能力.2.通过机械能守恒定律的应用，培养逻辑思维能力和综合分析能力．
一、追寻守恒量
伽利略的斜面实验探究如图所示．
1．过程：将小球由斜面A上某位置由静止释放，小球运动到斜面B上．
2．现象：小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同．
3．结论：这一事实说明某个量是守恒的，在物理学上我们把这个量叫作能量或者能．
二、动能、势能的相互转化
1．动能与重力势能间的转化
只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能，若重力做负功，则动能转化为重力势能，转化过程中，动能与重力势能之和保持不变．
2．动能与弹性势能间的转化
被压缩的弹簧把物体弹出去，射箭时绷紧的弦把箭弹出去，这些过程都是弹力做正功，弹性势能转化为动能．
3．机械能
动能、重力势能和弹性势能统称为机械能，在重力或弹力做功时，不同形式的机械能可以发生相互转化．
三、机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
2．守恒定律表达式
(1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减．
(2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.
(3)E2＝E1.
3．守恒条件
物体系统内只有重力或弹力做功．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加．(×)
(2)通过重力或弹力做功，机械能可以转化为非机械能．(×)
(3)合力为零，物体的机械能一定守恒．(×)
(4)合力做功为零，物体的机械能一定守恒．(×)
(5)只有重力做功，物体的机械能一定守恒．(√)
2．关于机械能，以下说法正确的是( )
A．质量大的物体，重力势能一定大
B．速度大的物体，动能一定大
C．做平抛运动的物体机械能时刻在变化
D．质量和速率都相同的物体，动能一定相同
D [重力势能的大小与零势能面的选取有关，质量大但重力势能不一定大，A错误；动能的大小与质量以及速度大小有关，所以速度大，动能不一定大，B错误；平抛运动过程中只受重力作用，机械能守恒，C错误；根据Ek＝eq \f(1,2)mv2可知质量和速率都相同的物体，动能一定相同，D正确．]
3．(多选)下列选项中物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)( )
CD [物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒，选项C、D正确．]
[观察探究]
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下．(忽略轨道的阻力和其他阻力)
过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？动能和势能怎么变化？机械能守恒吗？
提示：过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功，动能增加，重力势能减少，机械能保持不变．
[探究归纳]
1．对机械能守恒条件的理解
(1)从能量转化的角度看，系统内只有动能和势能相互转化，而没有其他形式能量(如内能)的转化，并且系统与外界没有任何能量转化，则系统的机械能守恒．
(2)从做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现如下：
①只受重力作用，例如所有做抛体运动的物体机械能守恒．
②系统内只有重力和弹力作用，如图甲、乙、丙所示．
甲 乙 丙
图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力则只有重力做功，小球的机械能守恒．
图乙中，各接触面光滑，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒．但对A来说，B对A的弹力做负功，这个力对A来说是外力，A的机械能不守恒．
图丙中，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒．但对球来说，机械能不守恒，这一点需要特别注意．
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
【例1】 (多选)如图所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中( )
A．弹簧的弹性势能不断增大
B．弹簧的弹性势能不断减小
C．小球和弹簧组成的系统机械能不断减小
D．小球和弹簧组成的系统机械能保持不变
AD [从B到C，小球克服弹力做功，弹簧的弹性势能不断增加，A正确，B错误；对小球、弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C错误，D正确．]
1．下列实例中的运动物体，机械能守恒的是(均不计空气阻力)( )
A．被起重机吊起的货物正在加速上升
B．物体水平抛出去
C．物体沿粗糙斜面匀速下滑
D．一个轻质弹簧上端固定，下端系一重物，重物沿竖直方向做上下振动
B [起重机吊起货物做匀加速上升运动，起重机对物体做正功，机械能增加，故A错误；平抛运动只有重力做功，机械能守恒，故B正确；沿着粗糙斜面(斜面固定不动)匀速下滑的物体，摩擦力做负功，机械能减少，故不守恒，故C错误；轻质弹簧上端固定，重物系在弹簧的下端做上下振动过程中只有重力和系统内弹力做功，故系统机械能守恒，但物体机械能不守恒，故D错误．]
[观察探究]
如图所示，是运动员投掷铅球的动作，如果忽略铅球所受空气的阻力．
(1)铅球在空中运动过程中，机械能是否守恒？
(2)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
(3)在求解铅球落地的速度大小时，可以考虑应用什么规律？
提示：(1)由于阻力可以忽略，铅球在空中运动过程中，只有重力做功，机械能守恒．
(2)根据机械能守恒定律，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关．
(3)可以应用机械能守恒定律，也可以应用动能定理．
[探究归纳]
1．机械能守恒定律的不同表达式
2.应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)．
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒．
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能．
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解．
【例2】 如图所示，质量m＝2 kg的小球用长L＝1.05 m的轻质细绳悬挂在距水平地面高H＝6.05 m的O点．现将细绳拉直至水平状态，自A点无初速度释放小球，运动至悬点O的正下方B点时细绳恰好断裂，接着小球做平抛运动，落至水平地面上C点．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)细绳能承受的最大拉力；
(2)细绳断裂后小球在空中运动所用的时间；
(3)小球落地瞬间速度的大小．
[解析] (1)根据机械能守恒
mgL＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
由牛顿第二定律得
F－mg＝meq \f(v\\al(2,B),L)
故最大拉力F＝3mg＝60 N
(2)细绳断裂后，小球做平抛运动，且
H－L＝eq \f(1,2)gt2
故t＝eq \r(\f(2H－L,g))
＝eq \r(\f(2×6.05－1.05,10)) s＝1 s
(3)整个过程，小球的机械能不变，故：
mgH＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)
所以vC＝eq \r(2gH)＝eq \r(2×10×6.05) m/s＝11 m/s
[答案] (1)60 N (2)1 s (3)11 m/s
2．(多选)在竖直平面内有一条光滑弯曲轨道，轨道上各个高点的高度如图所示．一个小环套在轨道上，从1 m的高处以8 m/s的初速度下滑，则下列说法正确的是( )
A．到达第(1)高点的速度约为8.6 m/s
B．到达第(1)高点的速度约为74 m/s
C．小环能越过第(3)高点
D．小环不能越过第(4)高点
AC [根据机械能守恒可以得到：mgh＋eq \f(1,2)mv2＝mgh1＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，则小环到达第(1)高点的速度为：v1＝eq \r(2gh－h1＋v2)＝eq \r(74) m/s≈8.6 m/s，A对，B错；设小球能够上升的最大高度为H，则根据机械能守恒定律：得到：mgh＋eq \f(1,2)mv2＝mgH，则：H＝4.2 m，即小环能越过第(3)和(4)高点，C对，D错．]
[要点归纳]
多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路
(1)首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒．
(2)若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE1＝－ΔE2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少．
【例3】 如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8 m．求：
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度.(g取10 m/s2)
[解析] (1)方法一：由E1＝E2.
对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，则mBgh＝mAgh＋eq \f(1,2)(mA＋mB)v2.
v＝eq \r(\f(2mB－mAgh,mA＋mB))＝eq \r(\f(2×5－3×10×0.8,3＋5)) m/s＝2 m/s.
方法二：由ΔEk增＝ΔEp减，得
mBgh－mAgh＝eq \f(1,2)(mA＋mB)v2，
得v＝2 m/s.
方法三：由ΔEA增＝ΔEB减，得
mBgh－eq \f(1,2)mBv2＝mAgh＋eq \f(1,2)mAv2
得v＝2 m/s.
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒可得mAgh′＝eq \f(1,2)mAveq \\al(2,A)，h′＝eq \f(v\\al(2,A),2g)＝eq \f(22,2×10) m＝0.2 m.
[答案] (1)2 m/s (2)0.2 m
多物体机械能守恒问题的分析技巧
(1)对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒．
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
(3)列机械能守恒方程时，可选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
3．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B.eq \f(5R,3)
C.eq \f(4R,3) D.eq \f(2R,3)
C [设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面，B恰运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，机械能守恒，故有2mgR－mgR＝eq \f(1,2)(2m＋m)v2，当A落地后，B球以速度v竖直上抛，到达最高点时上升的高度为h′＝eq \f(v2,2g)，故B上升的总高度为R＋h′＝eq \f(4,3)R，选项C正确．]
1．关于物体机械能是否守恒的叙述，正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒
C．外力对物体所做的功等于零，机械能一定守恒
D．物体若只有重力做功，机械能一定守恒
D [做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒，比如：降落伞匀速下降，机械能减小，故A错误；做匀变速直线运动的物体机械能可能守恒，故B错误；外力对物体做功为零时，动能不变，但是势能有可能变化，机械能不一定守恒，比如匀速上升的运动，故C错误；只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒，故D正确．]
2．如图所示，压缩的轻质弹簧将一物块沿光滑轨道由静止弹出，物块的质量为0.2 kg，上升到0.1 m的高度时速度为1 m/s，g取10 m/s2，弹簧的最大弹性势能是( )
A．0.1 J B．0.2 J
C．0.3 J D．0.4 J
C [取物体初位置所在水平面为参考平面，对于物体和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，则根据系统的机械能守恒得：Ep弹＝mgh＋eq \f(1,2)mv2＝0.2×10×0.1 J＋eq \f(1,2)×0.2×12 J＝0.3 J，故选项C正确．]
3．如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面．若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能是(不计空气阻力)( )
A.eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mgh
B.eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)－mgh
C.eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
D.eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mg(H－h)
C [由机械能守恒定律可知，小球在A点的机械能与小球在桌面上的机械能相等，其大小为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，故C正确．]
4．如图所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3eq \r(gR)，求：
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升的高度.
[解析] (1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点．设物体在B处的速度为vB，则
mg·3R＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，
得v0＝eq \r(3gR).
(2)设从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒可得mgHB＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，HB＝4.5R
所以离开C点后还能上升
HC＝HB－R＝3.5R.
[答案] (1)eq \r(3gR) (2)3.5R
机械能守恒的条件及判断
机械能守恒定律的应用
表达式
物理意义
从不同状态看
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化
角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移
角度看
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
物体系统的机械能守恒
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.动能和势能统称为机械能，即E＝Ek＋Ep.
2.在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变，这叫作机械能守恒定律.
3.机械能守恒定律的表达式为：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp.
4.机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功.
【学习素养·明目标】 物理观念：1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化.2.能够根据动能定理、重力做功与重力势能变化间的关系，推导出机械能守恒定律.3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题．
科学思维：1.通过机械能守恒定律的推导，培养科学思维能力.2.通过机械能守恒定律的应用，培养逻辑思维能力和综合分析能力．
一、追寻守恒量
伽利略的斜面实验探究如图所示．
1．过程：将小球由斜面A上某位置由静止释放，小球运动到斜面B上．
2．现象：小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同．
3．结论：这一事实说明某个量是守恒的，在物理学上我们把这个量叫作能量或者能．
二、动能、势能的相互转化
1．动能与重力势能间的转化
只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能，若重力做负功，则动能转化为重力势能，转化过程中，动能与重力势能之和保持不变．
2．动能与弹性势能间的转化
被压缩的弹簧把物体弹出去，射箭时绷紧的弦把箭弹出去，这些过程都是弹力做正功，弹性势能转化为动能．
3．机械能
动能、重力势能和弹性势能统称为机械能，在重力或弹力做功时，不同形式的机械能可以发生相互转化．
三、机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
2．守恒定律表达式
(1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减．
(2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.
(3)E2＝E1.
3．守恒条件
物体系统内只有重力或弹力做功．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加．(×)
(2)通过重力或弹力做功，机械能可以转化为非机械能．(×)
(3)合力为零，物体的机械能一定守恒．(×)
(4)合力做功为零，物体的机械能一定守恒．(×)
(5)只有重力做功，物体的机械能一定守恒．(√)
2．关于机械能，以下说法正确的是( )
A．质量大的物体，重力势能一定大
B．速度大的物体，动能一定大
C．做平抛运动的物体机械能时刻在变化
D．质量和速率都相同的物体，动能一定相同
D [重力势能的大小与零势能面的选取有关，质量大但重力势能不一定大，A错误；动能的大小与质量以及速度大小有关，所以速度大，动能不一定大，B错误；平抛运动过程中只受重力作用，机械能守恒，C错误；根据Ek＝eq \f(1,2)mv2可知质量和速率都相同的物体，动能一定相同，D正确．]
3．(多选)下列选项中物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)( )
CD [物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒，选项C、D正确．]
[观察探究]
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下．(忽略轨道的阻力和其他阻力)
过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？动能和势能怎么变化？机械能守恒吗？
提示：过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功，动能增加，重力势能减少，机械能保持不变．
[探究归纳]
1．对机械能守恒条件的理解
(1)从能量转化的角度看，系统内只有动能和势能相互转化，而没有其他形式能量(如内能)的转化，并且系统与外界没有任何能量转化，则系统的机械能守恒．
(2)从做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现如下：
①只受重力作用，例如所有做抛体运动的物体机械能守恒．
②系统内只有重力和弹力作用，如图甲、乙、丙所示．
甲 乙 丙
图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力则只有重力做功，小球的机械能守恒．
图乙中，各接触面光滑，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒．但对A来说，B对A的弹力做负功，这个力对A来说是外力，A的机械能不守恒．
图丙中，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒．但对球来说，机械能不守恒，这一点需要特别注意．
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
【例1】 (多选)如图所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中( )
A．弹簧的弹性势能不断增大
B．弹簧的弹性势能不断减小
C．小球和弹簧组成的系统机械能不断减小
D．小球和弹簧组成的系统机械能保持不变
AD [从B到C，小球克服弹力做功，弹簧的弹性势能不断增加，A正确，B错误；对小球、弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C错误，D正确．]
1．下列实例中的运动物体，机械能守恒的是(均不计空气阻力)( )
A．被起重机吊起的货物正在加速上升
B．物体水平抛出去
C．物体沿粗糙斜面匀速下滑
D．一个轻质弹簧上端固定，下端系一重物，重物沿竖直方向做上下振动
B [起重机吊起货物做匀加速上升运动，起重机对物体做正功，机械能增加，故A错误；平抛运动只有重力做功，机械能守恒，故B正确；沿着粗糙斜面(斜面固定不动)匀速下滑的物体，摩擦力做负功，机械能减少，故不守恒，故C错误；轻质弹簧上端固定，重物系在弹簧的下端做上下振动过程中只有重力和系统内弹力做功，故系统机械能守恒，但物体机械能不守恒，故D错误．]
[观察探究]
如图所示，是运动员投掷铅球的动作，如果忽略铅球所受空气的阻力．
(1)铅球在空中运动过程中，机械能是否守恒？
(2)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
(3)在求解铅球落地的速度大小时，可以考虑应用什么规律？
提示：(1)由于阻力可以忽略，铅球在空中运动过程中，只有重力做功，机械能守恒．
(2)根据机械能守恒定律，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关．
(3)可以应用机械能守恒定律，也可以应用动能定理．
[探究归纳]
1．机械能守恒定律的不同表达式
2.应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)．
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒．
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能．
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解．
【例2】 如图所示，质量m＝2 kg的小球用长L＝1.05 m的轻质细绳悬挂在距水平地面高H＝6.05 m的O点．现将细绳拉直至水平状态，自A点无初速度释放小球，运动至悬点O的正下方B点时细绳恰好断裂，接着小球做平抛运动，落至水平地面上C点．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)细绳能承受的最大拉力；
(2)细绳断裂后小球在空中运动所用的时间；
(3)小球落地瞬间速度的大小．
[解析] (1)根据机械能守恒
mgL＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
由牛顿第二定律得
F－mg＝meq \f(v\\al(2,B),L)
故最大拉力F＝3mg＝60 N
(2)细绳断裂后，小球做平抛运动，且
H－L＝eq \f(1,2)gt2
故t＝eq \r(\f(2H－L,g))
＝eq \r(\f(2×6.05－1.05,10)) s＝1 s
(3)整个过程，小球的机械能不变，故：
mgH＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)
所以vC＝eq \r(2gH)＝eq \r(2×10×6.05) m/s＝11 m/s
[答案] (1)60 N (2)1 s (3)11 m/s
2．(多选)在竖直平面内有一条光滑弯曲轨道，轨道上各个高点的高度如图所示．一个小环套在轨道上，从1 m的高处以8 m/s的初速度下滑，则下列说法正确的是( )
A．到达第(1)高点的速度约为8.6 m/s
B．到达第(1)高点的速度约为74 m/s
C．小环能越过第(3)高点
D．小环不能越过第(4)高点
AC [根据机械能守恒可以得到：mgh＋eq \f(1,2)mv2＝mgh1＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，则小环到达第(1)高点的速度为：v1＝eq \r(2gh－h1＋v2)＝eq \r(74) m/s≈8.6 m/s，A对，B错；设小球能够上升的最大高度为H，则根据机械能守恒定律：得到：mgh＋eq \f(1,2)mv2＝mgH，则：H＝4.2 m，即小环能越过第(3)和(4)高点，C对，D错．]
[要点归纳]
多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路
(1)首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒．
(2)若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE1＝－ΔE2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少．
【例3】 如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8 m．求：
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度.(g取10 m/s2)
[解析] (1)方法一：由E1＝E2.
对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，则mBgh＝mAgh＋eq \f(1,2)(mA＋mB)v2.
v＝eq \r(\f(2mB－mAgh,mA＋mB))＝eq \r(\f(2×5－3×10×0.8,3＋5)) m/s＝2 m/s.
方法二：由ΔEk增＝ΔEp减，得
mBgh－mAgh＝eq \f(1,2)(mA＋mB)v2，
得v＝2 m/s.
方法三：由ΔEA增＝ΔEB减，得
mBgh－eq \f(1,2)mBv2＝mAgh＋eq \f(1,2)mAv2
得v＝2 m/s.
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒可得mAgh′＝eq \f(1,2)mAveq \\al(2,A)，h′＝eq \f(v\\al(2,A),2g)＝eq \f(22,2×10) m＝0.2 m.
[答案] (1)2 m/s (2)0.2 m
多物体机械能守恒问题的分析技巧
(1)对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒．
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
(3)列机械能守恒方程时，可选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
3．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B.eq \f(5R,3)
C.eq \f(4R,3) D.eq \f(2R,3)
C [设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面，B恰运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，机械能守恒，故有2mgR－mgR＝eq \f(1,2)(2m＋m)v2，当A落地后，B球以速度v竖直上抛，到达最高点时上升的高度为h′＝eq \f(v2,2g)，故B上升的总高度为R＋h′＝eq \f(4,3)R，选项C正确．]
1．关于物体机械能是否守恒的叙述，正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒
C．外力对物体所做的功等于零，机械能一定守恒
D．物体若只有重力做功，机械能一定守恒
D [做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒，比如：降落伞匀速下降，机械能减小，故A错误；做匀变速直线运动的物体机械能可能守恒，故B错误；外力对物体做功为零时，动能不变，但是势能有可能变化，机械能不一定守恒，比如匀速上升的运动，故C错误；只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒，故D正确．]
2．如图所示，压缩的轻质弹簧将一物块沿光滑轨道由静止弹出，物块的质量为0.2 kg，上升到0.1 m的高度时速度为1 m/s，g取10 m/s2，弹簧的最大弹性势能是( )
A．0.1 J B．0.2 J
C．0.3 J D．0.4 J
C [取物体初位置所在水平面为参考平面，对于物体和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，则根据系统的机械能守恒得：Ep弹＝mgh＋eq \f(1,2)mv2＝0.2×10×0.1 J＋eq \f(1,2)×0.2×12 J＝0.3 J，故选项C正确．]
3．如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面．若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能是(不计空气阻力)( )
A.eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mgh
B.eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)－mgh
C.eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
D.eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mg(H－h)
C [由机械能守恒定律可知，小球在A点的机械能与小球在桌面上的机械能相等，其大小为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，故C正确．]
4．如图所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3eq \r(gR)，求：
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升的高度.
[解析] (1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点．设物体在B处的速度为vB，则
mg·3R＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，
得v0＝eq \r(3gR).
(2)设从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒可得mgHB＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，HB＝4.5R
所以离开C点后还能上升
HC＝HB－R＝3.5R.
[答案] (1)eq \r(3gR) (2)3.5R
机械能守恒的条件及判断
机械能守恒定律的应用
表达式
物理意义
从不同状态看
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化
角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移
角度看
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
物体系统的机械能守恒
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.动能和势能统称为机械能，即E＝Ek＋Ep.
2.在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变，这叫作机械能守恒定律.
3.机械能守恒定律的表达式为：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp.
4.机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功.
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