专题04 直线和圆的方程（解答题）（10月）（人教A版2019）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递_数学》

专题04 直线和圆的方程（解答题）
一、解答题
1．（黑龙江省肇东市第四中学校2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（理））已知圆，直线，当为何值时，
（1）圆与直线有两个公共点；
（2）圆与直线只有一个公共点；
（3）圆与直线没有公共点．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】求得圆的标准方程，求出圆心到直线的距离d，分别求得d=r、d＜r、d＞r时，b的值，可得直线与圆相切、相交、相离时，b的范围．
【解析】方法一：圆心到直线的距离为，圆的半径．
（1）当，即时，直线与圆相交，有两个公共点；
（2）当，即时，直线与圆相切，有一个公共点；
（3）当，即或时，直线与圆相离，无公共点．
方法二：联立直线与圆的方程，得方程组，
消去得，则．
（1）当，即时，直线与圆有两个公共点；
（2）当，即时，直线与圆有一个公共点；
（3）当，即或时，直线与圆无公共点．
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
2．（黑龙江省肇东市第四中学校2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（理））已知点在圆C：上．
（1）求该圆的圆心坐标及半径长；
（2）过点M（﹣1，1），斜率为的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．
【答案】（1）圆心，半径；（2）弦长
【分析】（1）将点代入圆方程可得，然后将圆方程转化为标准方程形式可得结果．（2）根据点斜式可得直线方程，然后计算圆心到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果．
【解析】（1）由题可知：，
所以圆的标准方程为，所以圆心，半径.
（2）直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
所以弦长.
【点睛】本题考查圆的方程以及圆的弦长公式，掌握公式，特别识记圆的弦长公式，便于计算，属基础题．
3．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12
【分析】（1）求出半径，从而可得圆的标准方程；（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积．
【解析】（1）圆C的半径为 ，
从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，
在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，
所以，
所以|AB|＝2|AD|＝8，
所以△ABC的面积．

4．（黑龙江省肇东市第四中学校2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（理））分别求出满足下列条件的直线的方程：
（1）过原点作直线的垂线，垂足为，求直线的方程；
（2）与直线平行，且相距为2的直线方程；
（3）求过点(2，1)，且与垂直的直线方程．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）由题可得直线与直线垂直，则可求出斜率，进而可得直线方程；（2）设与直线平行的直线为，由两平行直线的距离公式列方程求解即可；（3）设与垂直的直线为，代入点(2，1)即可求出．
【解析】（1）直线与直线垂直，故斜率，
则直线方程为，即；
（2）设与直线平行的直线为，
则，解得或，
故所求直线方程为或；
（3）设与垂直的直线为，
代入点(2，1)得，解得，
故所求直线方程为．
5．（安徽省淮南市第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试）已知的三个顶点，，．
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求边上的高线所在直线的方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算边的中点，然后计算，根据点斜式，可得结果．
（2）计算，然后根据垂直关系，可得边上的高线的斜率，利用点斜式，可得结果．
【解析】（1）由题意得：边的中点为，
所以直线的斜率，
所以边上的中线所在直线方程为，即．
（2）由题意得：直线的斜率，
所以边上的高所在直线方程为，即．
6．（福建省普通高中2019-2020学年高二1月学业水平合格性考试）已知圆：，点，直线过点且倾斜角为．
（1）判断点与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，求直线被圆所戴得的弦的长．
【答案】（1）点在圆内，理由见解析；（2）．
【分析】（1）根据可得结果；（2）利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据勾股定理可求得弦长．
【解析】（1）点在圆内，理由如下：
由已知得圆的圆心为，半径，
因为，所以．
因为，所以点在圆内．
（2）因为，所以直线的斜率为．
因为直线过点，所以直线的方程为，即，
由圆心到直线的距离，
所以．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，考查了直线方程的点斜式，考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
7．（江西省上饶市横峰中学（统招班）2020-2021学年高二上学期开学考试数学（理））已知圆与轴相切，圆心在射线，且被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若点在圆上，求点到直线的距离的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据条件可设圆方程为，利用几何法可建立弦长关系，求出；（2）可知点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径．
【解析】（1）圆心在射线上，则可设圆心为，其中，
圆与轴相切，圆的半径为，圆的方程为，
设圆心到直线的距离为，则，
由弦长的几何关系得，即，解得，
则圆的方程为；
（2）圆心到直线的距离为，
则直线与圆相离，点到直线的距离的最小值为．
8．（河北省鸡泽县第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试）已知点．
（1）求中边上的高所在直线的方程；
（2）求过三点的圆的方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）边上的高所在直线方程斜率与边所在直线的方程斜率之积为-1，可求出高所在直线的斜率，代入即可求出高所在直线的方程．（2）设圆的一般方程为，代入即可求得圆的方程．
【解析】（1）因为所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的斜率为
所以边上的高所在直线的方程为，即
（2）设所求圆的方程为
因为在所求的圆上，故有，
所以所求圆的方程为.
【点睛】（1）求直线方程一般通过直线点斜式方程求解，即知道点和斜率．（2）圆的一般方程为，三个未知数三个点代入即可．
9．（河北省鸡泽县第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试）已知两直线：和：．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）本题先建立方程，再求实数的值；
（2）本题先建立方程，再求实数的值，最后验证是否符合题意．
【解析】（1）若，则，
解得，故所求实数的值为．
（2）若，得，即，解得或．
当时，的方程为，的方程为，显然两直线重合，不符合题意．
当时，的方程为，的方程为，显然两直线平行，符合题意．
综上，当时，．
10．（四川省宜宾市第四中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文））已知直线：，直线：．
（1）若直线与直线平行，求实数a的值；
（2）若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意利用两条直线平行的条件求得实数a的值．（2）由题意利用两条直线垂直的条件求得a的值，再把两直线与的方程联立方程组，从而求得交点坐标．
【解析】已知直线：，直线：．
（1）若直线与直线平行，则有，求得．
（2）若直线与直线垂直，则有，求得，
两直线即直线：，直线：，
由求得，直线与的交点坐标为
11．（河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知直线l：kx－y＋1－2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k＝－1
【分析】（1）证直线过定点法一：可化为点斜式．法二：化为恒等式．
（2）由题：分别求出两坐标轴上的截距，由条件|OA|=|OB|建立关于k的方程可得．
【解析】（1）证明：法一：直线l的方程可化为y－1＝k（x－2），
故无论k取何值，直线l总过定点（2，1）．
法二：设直线过定点（x0，y0），则kx0－y0＋1－2k＝0对任意k∈R恒成立，
即（x0－2）k－y0＋1＝0恒成立，∴x0－2＝0，－y0＋1＝0，
解得x0＝2，y0＝1，故直线l总过定点（2，1）．
（2）因直线l的方程为y＝kx－2k＋1，
则直线l在y轴上的截距为1－2k，在x轴上的截距为2－，
依题意：1－2k＝2－>0解得k＝－1 或k＝（经检验，不合题意）
所以所求k＝－1.
12．（河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知两直线：，：求分别满足下列条件的a，b的值．
（1）直线过点，并且直线与垂直；
（2）直线与直线平行，并且坐标原点到，的距离相等．
【答案】（1），；（2），或，．
【分析】（1）利用直线过点，直线与垂直，斜率之积为，得到两个关系式，求出a，b的值．（2）类似（1）直线与直线平行，斜率相等，坐标原点到，的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．
【解析】（1），，即
又点在上，
由得，．
（2），，，
故和的方程可分别表示为：，，
又原点到与的距离相等．，或，
，或，．
【点睛】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．
13．（黑龙江省鹤岗市第一中学2020-2021学年高二10月月考数学（理））在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和，所在直线的方程为．
（1） 求对角线所在直线的方程；
（2） 求所在直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据坐标求得和中点；根据菱形特点可知对角线互相垂直且平分，可得直线斜率和在直线上，利用点斜式写出直线方程；（2）由直线和的方程解得点坐标，从而求得；由平行关系可知，利用点斜式写出直线方程．
【解析】（1）由和得：，中点
四边形为菱形 ，且为中点，
对角线所在直线方程为：，即：
（2）由，解得：，，
，，直线的方程为：，即：
【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够通过菱形的特点得到所求直线斜率与已知斜率之间的关系，从而运用直线点斜式方程求得结果．
14．（黑龙江省双鸭山市第一中学2020-2021学年高二10月月考数学（文））直线l过点P（4，1），
（1）若直线l过点Q（－1，6），求直线l的方程；
（2）若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）由题，此直线经过两点，故采用直线的两点式方程，将P（4，1），Q（－1，6），代入到两点式方程中，得到直线方程；
（2）由题，经过一点的直线可设为直线的点斜式方程，将点坐标代入，得到y－1＝k（x－4），分别将x，y轴上的截距表示出来，由题中的关系可得到的关系式，求解即可．
【解析】（1）直线l的方程为＝，化简，得x＋y－5＝0．
（2）由题意知直线有斜率且不为零，设直线l的方程为y－1＝k（x－4），
l在y轴上的截距为1－4k，在x轴上的截距为4－，
故1－4k＝2（4－），得k＝或k＝－2，
直线l的方程为或y＝－2x＋9．
15．（四川省泸县第五中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（理））已知直线：x+y-1=0．
（1）求过原点且与直线平行的直线方程．
（2）求过点(2，3)且与直线垂直的直线方程．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用两直线平行时的斜率关系即可求解；（2）利用两直线垂直时的斜率关系即可求解．
【解析】（1）直线的斜率为，
过原点且与直线平行的直线方程为：，即；
（2）直线的斜率为，
与直线垂直的直线的斜率为1，
过点且与直线垂直的直线方程为：，即．
16．（宁夏吴忠市吴忠中学2020-2021学年高二上学期开学分科考试）（1）直线在两坐标轴上的截距相等，且点到直线的距离为，求直线的方程．
（2）圆心在直线上，且与直线：相切于点，求圆的方程．
【答案】（1）或或；（2）．
【解析】（1）当所求直线经过坐标原点时，设其方程为，
由点到直线的距离公式可得，解．
故所求直线的方程为．
当直线不经过坐标原点时，设所求直线为，即．
由题意可得．解或．
故所求直线的方程为或．
综上可知，所求直线的方程或或．
（2）法一：设圆的标准方程为，
则有解得，，．
所求圆的方程为
法二：过切点且与垂直的直线，
由，得，所以圆心为，
所以半径，
所以所求圆的方程为．
17．（广东省深圳市宝安区第一外国语学校2019-2020学年高一下学期期中）求经过直线l1：2x＋3y－5＝0，l2：3x－2y－3＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程．
【答案】26x＋13y－47＝0
【分析】先求出两直线交点，又所求直线与直线2x＋y－3＝0平行，则斜率为－2，利用点斜式写出直线方程，即26x＋13y－47＝0．
【解析】由，得，
由平行于2x＋y－3＝0，可得直线的斜率为－2，
∴直线方程为，即26x＋13y－47＝0．
18．（四川省资阳市2019-2020学年高一下学期期末）已知直线：和：的交点为．
（1）若直线经过点且与直线：平行，求直线的方程；
（2）若直线经过点且与轴，轴分别交于，两点，为线段的中点，求的面积（其中为坐标原点）．
【答案】（1）；（2） ．
【分析】（1）先求出交点的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．（2）先求出、两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得的面积．
【解析】1）由，求得，可得直线：和：的交点为．
由于直线的斜率为，故过点且与直线平行的直线的方程为，
即．
（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，
由于直线与轴，轴分别交于，两点，且为线段的中点，
故，，且点的坐标满足直线的方程，
∴，且，求得．则
故的面积为．
19．（黑龙江省牡丹江一中2020-2021学年高二上开学测试）求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；
（2）经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
【答案】（1）（2）或
【分析】（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线．（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为．
【解析】（1）已知，
直线方程为化简得
（2）由题意可知，所求直线的斜率为．
又过点，由点斜式得，
所求直线的方程为或
20．（四川省宜宾市叙州区第二中学校2020-2021学年高二上学期开学考试数学（理））已知在平行四边形ABCD中，．
（1）求点D的坐标；
（2）试判断平行四边形ABCD是否为菱形．
【答案】（1）D(－1，6)．（2）▱ABCD为菱形．
【分析】（1）利用平行四边形的特征，kAB＝kCD，kAD＝kBC，得出D点坐标；
（2）判断kAC·kBD＝－1，利用两直线垂直的斜率关系即可．
【解析】 （1）设D(a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，∴，解得．∴D(－1，6)．
（2）∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
∴kAC·kBD＝－1．∴AC⊥BD．∴▱ABCD为菱形．
21．（湖北省部分重点中学（郧阳中学、恩施高中、随州二中、沙市中学）2020-2021学年高二上学期第一次联考）设直线，()．
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（3）设直线与轴､轴的正半轴交于点，，求当(点为（1）中的定点)取得最小值时直线的方程．
【答案】（1）证明见解析，坐标；（2）或；（3）．
【分析】（1）根据直线方程，列出方程组，求解，即可得出定点坐标；
（2）根据直线在两坐标轴上的截距相等，分别讨论直线过原点，和直线不过原点，两种情况，分别求解，即可得出结果；（3）设，，则直线的方程可设为，根据直线过定点得到，再由，结合基本不等式求解，即可得出结果．
【解析】（1）因为，
由，解得，则定点为；
（2）因为直线在两坐标轴上的截距相等，
当直线过原点时，，则，此时直线的方程为；
当直线不过原点时，直线方程化为，
则，解得，所求直线为；
综上，直线方程为或；
（3）设，，则直线的方程可设为，
又直线过点，则，
而

当且仅当时等号成立，此时直线的方程为．
22．（广东省深圳市宝安区第一外国语学校2019-2020学年高一下学期期中）在平面直角坐标系中，已知经过原点O的直线与圆交于两点．
（1）若直线与圆相切，切点为B，求直线的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）若圆与轴的正半轴的交点为D，设直线l的斜率，令，设面积为，求
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）由直线与圆相切可求得，再由切点，得直线的方程；（2）取AB中点M，设，由圆心到直线的距离为，根据勾股定理求得，再由点到直线的距离可求得直线的方程；（3）设A，B两点的纵坐标分别为，先求点，设AB方程为，与圆的方程联立，得，运用韦达定理表示，再由面积公式可得答案．
【解析】（1）由相切得化简得：，解得或，由于，故，
由直线与圆解得切点，得；
（2）取AB中点M，则，又，所以，设：，圆心到直线的距离为，由勾股定理得：，解得，设所求直线的方程为，，解得，
（3）设A，B两点的纵坐标分别为，且异号，因为圆，令得，
所以，且，设AB方程为，
由消元得，
＝，则 ．
23．（湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期暑期拓展摸底测试）已知圆经过、，圆心在直线上，过点，且斜率为的直线与圆相交于、两点．
（1）求圆的方程；
（2）（1）请问是否为定值．若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）若为坐标原点，且，求直线的方程．
【答案】（1）;（2）（1）7; （2）．
【分析】（1） 设圆的方程为，将已知条件代入，解出方程组，即可求得圆的方程；（2） （1）过点作直线与圆相切，切点为，则，根据数量积的定义代入可得为定值;（2）依题意可知，直线的方程为，联立直线与圆方程，消去y，将韦达定理代入 ，即可求出，进而求得直线方程．
【解析】（1）设圆的方程为，
则依题意，得解得∴圆的方程为．
（2）（1）为定值．
过点作直线与圆相切，切点为，则，
∴，∴为定值，且定值为7．
（2）依题意可知，直线的方程为，
设，，将代入并整理得：
，∴，，
∴ ，
即，解得，又当时，∴，
所以直线的方程为．
24．（江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（文））已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．
（1）求圆A的方程．
（2）当时，求直线l方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．
【解析】（1）由题意知到直线的距离为圆A半径r，
所以，所以圆A的方程为．
（2）设的中点为Q，则由垂径定理可知，且，
在中由勾股定理易知，
设动直线l方程为：或，显然符合题意．
由到直线l距离为1知得．
所以或为所求直线方程．
25．（广东省广州市第一一三中学2019-2020学年高一下学期期中）已知圆：，上，过P点作圆C的切线，，A，B为切点．
（1）求，所在直线的方程；
（2）求切线长；
（3）求直线的方程．
【答案】（1），；（2） ；（3）．
【分析】（1）当直线斜率不存在时，直线方程为，利用圆心到直线的距离验证，当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，然后利用直线到圆心的距离等于比较求解．（2）利用切线长公式，由求解；（3）先求得以PC为直径的圆的方程，再与 两方程相减求解．
【解析】（1）当直线斜率不存在时，
直线方程为，圆心到直线的距离，不成立，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离：，解得或，
所以，所在直线的方程分别为，；
（2）由切线长公式得：；
（3）以PC为直径的圆的方程为，
与圆，两方程相减得：直线的方程为：．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及切线长和公共弦方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
26．（黑龙江省佳木斯市第二中学2019-2020学年高一下学期期末考试）平面直角坐标系xoy中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
（1）求圆O的方程；
（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；
（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于ｘ轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（ｍ，０）和（ｎ，０），问ｍｎ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）x2＋y2＝2．（2）x＋y－2＝0．（3）见解析
【分析】（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1）， ，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．
【解析】（1）因为O到直线x－y＋1＝0的距离为 ，
所以圆O的半径r＝＝，故圆O的方程为x2＋y2＝2．
（2）设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，即bx＋ay－ab＝0，
由直线l与圆O相切，得＝，即＝，
所以DE2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)（）
＝2≥2
＝8(当且仅当a＝b＝2时等号成立)，此时直线l的方程为x＋y－2＝0．
（3）设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(x1，－y1)，x＋y＝2，x＋y＝2，
直线MP与x轴的交点为，即m＝ ．
直线NP与x轴的交点为，即n＝．
所以mn＝ ＝
＝＝＝2，故mn＝2为定值．
【点睛】此题考查了求圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，垂径定理，勾股定理，直线的截距式方程，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．
27．（广东省广东实验中学2019-2020学年高一下学期期中）根据条件求下列圆的方程：
（1）求经过，两点，并且圆心在直线上的圆的方程；
（2）求半径为，圆心在直线上，被直线截得的弦长为的圆方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）计算线段AB的垂直平分线方程为，解得圆心，半径，得到圆方程．（2）设圆的方程为，计算得到，，解得答案．
【解析】（1），中点为，故线段AB的垂直平分线方程为．
∴ 由，解得，圆心，半径，
故所求圆的方程为．
（2）设圆的方程为，圆心在直线上，故．
由圆被直线截得的弦长为．
将代入，得．
设直线交圆C于，．
则，
，，，
故，即，又，故或．
所求圆的方程为或．
【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力．
28．（江西省新余一中、樟树中学等六校2019-2020学年高一下学期第二次联考数学（理，创新班））已知圆C：x2+y2﹣4y+1＝0，点M（﹣1，﹣1），从圆C外一点P向该圆引一条切线，记切点为T．
（1）若过点M的直线l与圆交于A，B两点且|AB|＝2，求直线l的方程；
（2）若满足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值时点P的坐标．
【答案】（1）x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；（2）（，）
【分析】（1）首先判断斜率不存在时，符合题意．当斜率存在时，设出直线的方程，利用弦长列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线方程．
（2）设出点的坐标，根据切线长以及列方程，化简后求得的轨迹方程，将最小转化为到直线的距离，求得垂直直线时直线的方程，和联立求得点坐标．
【解析】（1）圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2＝3．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，此时|AB|＝2，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k﹣1＝0．
∵|AB|＝2，∴圆心C到直线l的距离d1．
∴d1．解得k，则直线l的方程为4x﹣3y+1＝0．
∴所求直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；
（2）设P（x0，y0），|PT|，
∵|PT|＝|PM|，∴，
化简得2x0+6y0+1＝0，∴点P（x0，y0）在直线2x+6y+1＝0．
当|PT|取得最小值时，即|PM|取得最小值，
即为点M（﹣1，﹣1）到直线2x+6y+1＝0的距离，
此时直线PM垂直于直线2x+6y+1＝0，
∴直线PM的方程为6x﹣2y+4＝0，即3x﹣y+2＝0．
由 ，解得 ，∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查与圆有关的弦长问题，考查最值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．
29．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）求下列圆的方程
（1）已知点A(4，5)，B(6，1)，以线段AB为直径的圆的方程．
（2）过两点C(1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出圆心坐标和圆的半径即可得；（2）设圆心坐标为，利用圆上两点到圆心距离相等求得，然后再求得圆半径，得圆方程．
【解析】（1）由题意线段中点坐标为，半径为，
∴所求圆方程为；
（2）设圆心坐标为，∵圆过两点，
∴，解得，，
∴圆方程为．
30．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．
（1）求圆心P的轨迹方程;
（2）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．
【答案】（1）（2）或
【分析】（1）设，圆的半径为，则，可得圆心的轨迹方程；（2）设，则 ，又根据点到直线距离公式得，解出，进而可得圆的半径，求得圆的方程．
【解析】（1）设，圆的半径为，
由题设，从而，故的轨迹方程为．
（2）设，由已知得，
又点在双曲线上，从而得．
由，得，此时，圆的半径，
由，得，此时，圆的半径，
故圆的方程为或．
【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题．求轨迹方程的常见方法有：①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入．本题（1）就是利用方法①求的轨迹方程的．
31．（湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一（下）期末）圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．

（1）若点的坐标为，求直线、的方程；
（2）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）和；（2）证明见解析，（1，1）．
【分析】（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径列式求得，则切线方程可求；（2）根据题意，设，可得是圆与以为直径的两圆的公共弦，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程联立，消去二次项可得直线的方程，再由直线系方程可得定点的坐标．
【解析】（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为，
即．由，解得或．
所求切线方程分别为和；
（2）根据题意，点为直线上一动点，设，
，是圆的切线，，，
是圆与以为直径的两圆的公共弦，
可得以为直径的圆的方程为，
即，①
又圆的方程为：，②，
①②，得，即，则该直线必过点．
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，考查运算求解能力，属于中档题．
32．（湖北省部分重点中学（郧阳中学、恩施高中、随州二中、沙市中学）2020-2021学年高二上学期第一次联考）已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为．
①求的方程，并说明是什么图形；
②试探究：在直线上是否存在定点(异于原点)，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）①，是圆；②存在， ．
【分析】（1）设圆心，根据题意，得到半径，根据弦长的几何表示，由题中条件，列出方程求解，得出，从而可得圆心和半径，进而可得出结果；（2）①设，根据向量的坐标表示，由题中条件，得到，代入圆的方程，即可得出结果；②假设存在一点满足（其中为常数），设，根据题意，得到，再由①，得到，两式联立化简整理，得到，推出，求解得出，即可得出结果．
【解析】（1）设圆心，则由圆与轴正半轴相切，可得半径．
∵圆心到直线的距离，由，解得．
故圆心为或，半径等于．
∵圆与轴正半轴相切，圆心只能为，
故圆的方程为；
（2）①设，则：，，
，
∵点A在圆上运动，
即：，
所以点的轨迹方程为，
它是一个以为圆心，以为半径的圆；
②假设存在一点满足（其中为常数），
设，则：，
整理化简得：，
∵在轨迹上，，
化简得：，
所以，
整理得，
，解得：；存在满足题目条件．
33．（广东省深圳市2020-2021学年高二上学期调研）已知圆，点P在直线上运动．
（1）若点P的横坐标为，且过点P的直线l被圆O截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）若直线，与圆O相切，且A，B为切点，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）或；（2）证明见解析；．
【分析】（1）先根据弦长求得圆心O到直线l的距离，利用距离列关系求斜率即可，注意考虑斜率不存在的情况；（2）先判断A，B也在以OP为直径的圆上，两圆作差即得相交弦所在直线的方程，再判断定点即可．
【解析】（1）∵点P在上，且横坐标为，∴，
又∵l被圆截得的弦长为，∴圆心O到直线l的距离，
①当直线l斜率不存在，即时，满足题意；
②当直线l斜率存在时，设，则，解得，
∴，即l的方程为；
综上所述，直线l的方程为或
（2）依题意，直线，与圆O相切，，，
故A，B也在以OP为直径的圆上，
设，则的中点坐标为，∴以为直径的圆的半径为，
∴以为直径的圆的方程为
整理得 ①，
又∵为切点，圆O的方程②，
由①-②可得直线的方程为，易见时，
故直线恒过定点．
34．（甘肃省平凉市庄浪县第一中学2019-2020学年高一第二学期期中考试）已知点及圆C：．
（1）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为，求l的方程；
（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
【答案】（1） x＝0或3x－4y＋20＝0；（2）x2+y2+2x﹣11y+30＝0
【分析】（1）讨论直线l斜率是否存在，由题意斜率不存在时符合题意，当斜率存在时利用点到直线的距离公式求得直线斜率，即可得直线方程；（2）设弦的中点为M（x，y），由题意得CM⊥PM，利用斜率之积为-1得出轨迹方程．
【解析】（1）圆C：，圆心为，半径r＝4，
∵直线l被圆C截得的线段长为，
∴圆心C到直线l的距离d＝＝2，
若直线l斜率不存在，则直线方程为x＝0，此时圆心到直线l的距离为2，符合题意；
若直线l斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y＝kx+5，即kx﹣y+5＝0，
∴，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x+5，即3x－4y＋20＝0
综上，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0．
（2）设所求轨迹上任意一点为M（x，y），
则kCM＝（x≠﹣2），kPM＝（x≠0），∴•，
整理得x2+y2+2x﹣11y+30＝0，
经验证当x＝﹣2时，弦的中点为（﹣2，5）或（﹣2，6），符合上式，
当x＝0时，弦的中点为（0，6），符合上式，
∴过P点的圆C弦的中点的轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30＝0．
35．（河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知三边所在直线的方程为AB：，BC：，CA：，求AC边上的高所在的直线方程．
【答案】
【分析】先解方程组解出B的坐标，再由高线BD和CA垂直，斜率之积等于-1，求出高线的斜率，点斜式写高线的方程，并化为一般式．
【解析】由解得交点的坐标为．
设交于点，∴，
∴边上的高所在的直线方程为，即．
36．（黑龙江省鹤岗市第一中学2020-2021学年高二10月月考数学（理））已知直线方程为，．
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程．
【答案】（1）（2）或
【分析】（1）将含有的项提取出来，再令所乘的式为0，不含的项也为0，列方程求解即可．（2）算出直线在轴上的截距令其相等求解即可．
【解析】（1） 由化简得，
令 ，故直线恒过定点
（2）由题得中．
令有 ，故在轴上的截距为．
令有．故在轴上的截距为．
故，故或．
当时， 化简得，当时，化简得，
故直线的方程为或.
37．（黑龙江省双鸭山市第一中学2020-2021学年高二10月月考数学（文））已知直线恒过定点．
（1）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）求出定点的坐标，设要求直线的方程为，将点的坐标代入方程可求得的值，即可写出直线的方程；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式即可得到答案.
【解析】直线可化为，
由可得，所以点A的坐标为．
（1）设直线的方程为，
将点A代入方程可得，所以直线的方程为，
（2）①当直线斜率不存在时，因为直线过点A，所以直线方程为，
符合原点到直线的距离等于3．
②当直线斜率不存在时，设直线方程为，即，
因为原点到直线的距离为3，所以，解得，
所以直线的方程为，
综上所以直线的方程为或．
38．（江苏省苏州市高新区第一中学2020-2021学年高二上学期期初）已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程．
【答案】（1）x＋y－3＝0（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40
【分析】（1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出的值，即得圆P的方程．
【解析】（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）．
所以．则直线CD的方程为y－2＝－（x－1），
所以直线CD的方程为x＋y－3＝0．
（2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0．①
又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，
所以（a＋1）2＋b2＝40．②
由①②解得或
所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）．
所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40．
39．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（理））已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）；；（2）8．
【分析】（1）设点，即可表示出点的坐标，由在上及在直线上得到方程组，解得即可；同理可求的坐标；（2）求出边长，以及对应边上的高，计算的面积．
【解析】（1）设点，则点，
由已知有，故点，
同理设则，则点，
（2）由（1）知、，所以
且，所以直线的方程为，即
边上的高即点到直线的距离为

40．（广东省广州市第一一三中学2019-2020学年高一下学期期中）已知圆及直线：．
（1）证明：不论取什么实数，直线与圆C总相交；
（2）求直线被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．
【答案】（1）证明见解析；（2） ，．
【分析】（1）根据直线过的定点在圆内，得出直线与圆总相交．（2）作图分析出当直线与半径CM垂直与点M时|AB|最短，利用勾股定理求出此时|AB|的长，再运用两直线垂直时斜率相乘等于−1，求出此时直线的方程．
【解析】（1）证明：直线的方程可化为，
由方程组，解得，所以直线过定点M(3，1)，
圆C化为标准方程为，所以圆心坐标为(1，2)，半径为5，
因为定点M(3，1)到圆心(1，2)的距离为√，
所以定点M(3，1)在圆内，故不论m取什么实数，过定点M(3，1)的直线与圆C总相交；
（2）设直线与圆交于A、B两点，当直线与半径CM垂直与点M时，直线被截得的弦长|AB|最短，此时，
此时，所以直线AB的方程为，即．
故直线被圆C截得的弦长的最小值为，此时的直线的方程为．
41．（黑龙江省佳木斯市第二中学2019-2020学年高一下学期期末考试）已知平面内两点．
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程．
【答案】（1）; （2）．
【分析】（1）首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；
（2）利用点斜式可得直线方程为．
【解析】（1）， ∴的中点坐标为
，∴的中垂线斜率为
∴由点斜式可得 ∴的中垂线方程为
（2）由点斜式 ∴直线的方程
42．（黑龙江省肇东市第四中学校2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（理））已知圆在轴上的截距为和，在轴上的一个截距为．
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线被圆截得的弦的长为，求直线的倾斜角；
（3）求过原点且被圆截得的弦长最短时的直线的方程．
【答案】（1）；（2）直线的倾斜角为30°或90°；（3）．
【分析】（1）根据题意，圆过点，，，根据弦的中垂线过圆心即可求解；（2）先考虑直线斜率不存在时的情况，易知满足条件，再讨论斜率不存在的时候，设出方程，利用垂径定理求解即可；（3）过原点且被圆截得的弦长最短时，直线与直线垂直，进而得直线的方程．
【解析】（1）设，，，
则中垂线为，中垂线为，
∴圆心满足∴，半径，
∴圆的标准方程为．
（2）当斜率不存在时，：到圆心的距离为1，
亦满足题意，直线的倾斜角为90°；
当斜率存在时，设直线的方程为，
由弦长为4，可得圆心到直线的距离为，
即：，∴，此时直线的倾斜角为30°，
综上所述，直线的倾斜角为30°或90°．
（3）当过原点且被圆截得的弦长最短时，直线与直线垂直
∵ ，∴直线：．
43．（甘肃省会宁县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文））在平面直角坐标系中，的顶点、，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
（1）求点B到直线的距离；
（2）求的面积．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由题意求得所在直线的斜率再由直线方程点斜式求的方程，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）设的坐标，由题意列式求得的坐标，再求出，代入三角形面积公式求解．
【解析】（1）由题意，，直线的方程为，即．
点到直线的距离；
（2）设，则的中点坐标为，
则，解得，即，
．
的面积．
44．（四川省宜宾市叙州区第二中学校2020-2021学年高二上学期开学考试数学（理））已知直线l方程为（m+2）x﹣（m+1）y﹣3m﹣7＝0，m∈R．
（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
【答案】（1）P（4，1），证明见解析；（2）x +y-5=0或y=
【分析】（1）先分离参数，再令参数的系数等于0，求得x、y的值，可得直线l恒过定点的坐标．（2）先求出直线l在x轴，y轴上的截距，再根据直线l在x轴，y轴上的截距相等，求得m的值，可得直线l的方程．
【解析】（1）直线l方程为（m+2）x（m+1）y3m-7=0，m∈R，
即m（xy3）+2xy7=0，令xy3=0，可得2xy7=0，
联立方程组求得，可得直线l恒过定点P（4，1）．
（2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，
令x=0，求得y=；令y=0，求得，
∴=，求得m=或，
∴直线l方程为x+y=0或x+y=0，即x +y5=0或y=．
45．（湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一（下）期末）已知直线过点．
（1）若直线在两坐标轴上截距和为零，求方程；
（2）设直线的斜率，直线与两坐标轴交点分别为、，求面积最小值．
【答案】（1） 或；（2）4．
【分析】（1）由题意利用点斜式设出直线的方程，求出斜率的值，可得结论．（2）先求出直线在坐标轴上的截距，再由题意利用基本不等式求得面积最小值．
【解析】（1）直线过点，若直线在两坐标轴上截距和为零，
设直线的方程为，即．
则它在两坐标轴上截距分别为 和，
由题意，， 或，
直线的方程为 或．
（2）设直线的斜率，
则直线与两坐标轴交点分别为，、 0，，
求面积为，
当且仅当时，等号成立，故面积最小值为4．
46．（江苏省苏州市北外附属苏州湾外国语学校2019-2020学年高一下学期期末）在平面直角坐标系xOy中，已知两直线和，定点．
（1）若与相交于点P，求直线AP的方程；
（2）若恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线，是中线CM所在的直线，求△ABC的边BC所在直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线的方程；
（2）根据题意，设，则，利用点在直线上，得，，再利用到角公式得，即可得到的直线方程．
【解析】（1）由题意，联立，解得，即两直线的交点，
所以，直线的斜率，故直线的方程为：．
（2）设点B的坐标为，则点，又点在直线上，
即，解得，故，所以，
直线的斜率，由到角公式得，，
即，解得，
所以BC所在直线方程为，化简得．
47．（吉林省长春市第二实验中学2020-2021学年高二第一学期开学考试）已知△ABC的顶点为．
（1）求BC边上的中线AM所在的直线方程；
（2）求AB边上的高所在的直线方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出中点的坐标，求出直线的斜率，即可得出其直线方程；（2）先求出直线的斜率，利用直线垂直的斜率关系，得出边上高所在直线的斜率，最后由点斜式得出方程．
【解析】（1）∵△ABC的顶点为．
，，
BC边上的中线方程为．
（2）
∴AB边上的高所在的直线方程为：，即．
48．（湖北省部分重点中学（郧阳中学、恩施高中、随州二中、沙市中学）2020-2021学年高二上学期第一次联考）已知点，．
（1）求直线的倾斜角；
（2）在轴上求一点，使得以､､为顶点的三角形的面积为．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）由斜率公式，求得，进而求得直线的倾斜角；
（2）由（1）得到直线的方程，设点，利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离，结合三角性的面积，列出方程，即可求解．
【解析】（1）由题意，点，，可得，
又因为，则直线的倾斜角为．
（2）由（1）可得直线的方程为：，
设点，则到直线的距离为，
则
解得或，所以M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系，直线方程的求解，以及点到直线的距离公式的综合应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题．
49．（江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期开学检测）在平面直角坐标系中，已知圆心在x轴上的圆C经过点，且被y轴截得的弦长为．经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点
（1）求当满足时对应的直线l的方程；
（2）若点，直线与圆C的另一个交点为R，直线与圆C的另一个交点为T，分别记直线l、直线的斜率为，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）可设圆的标准方程为，将代入求出，过点作，由向量关系得，再结合勾股定理代换，求出，设出直线的一般方程，由圆心到直线的距离公式即可求解；
（2）设，由点斜式表示出直线的方程为，联立圆的方程，由韦达定理求出点坐标，同理可求点坐标，化简即可求解；也可采用直接求证的关系，推出，从而，推出直线与直线关于轴对称，得证．
【解析】（1）由已知圆的圆心在轴上，经过点，
且被轴截得的弦长为．设圆，
代入，得圆的方程为
过点作，由得到，，
所以，即，所以
设直线的方程为（直线与轴重合时不符题意）
由圆心到直线距离公式得=，，
所以直线的方程为．

（2）法一：设，
直线的方程为，其中
与联立得，由韦达定理得，所以， 所以，同理，
所以，
所以.
法二：设，
设直线的方程为与圆的方程为联立得
，所以（）
所以
代入（）得，从而，
所以直线与直线关于轴对称，所以
【点睛】本题主要考查圆的标准方程求法，由直线与圆的位置关系求直线解析式，由韦达定理求证斜率之积为定值问题，考查了转化与化归能力，计算能力，属于难题
50．（江西省赣州市赣县区第三中学2020-2021学年高二上学期（零班，奥数班）九月月考数学（理））已知圆与直线相切于点，圆心在轴上．
（1）求圆的方程；
（2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积分别是．求的取值范围．
【答案】（1）； （2）．
【分析】（1）由题可知，设圆的方程为，列出方程组，求得，，即可得到圆的方程；（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，求得点A的坐标，同理得到点B的坐标，求得，得到所以，利用基本不等式，即可求解．
【解析】（1）由题可知，设圆的方程为，
，解得，，所以圆的方程为．
（2）由题意知，，
设直线的斜率为 ，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点的坐标为．
又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．
由题可知，，．因此，
又，同理，
所以，当且仅当时取等号．
又，所以的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据题意设出直线的方程，分别求得点A的坐标，同理得到点B的坐标，求得，进而得到 ，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
51．（江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初）已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
【答案】（1） y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）
【分析】（1）首先利用待定系数法设出切线的方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径求出切线方程；（2）PM的距离用P到圆心C的距离与半径来表示，建立PO与与PC的关系，求出P点的轨迹为一条直线，然后将求PM的最小值问题转化为原点到直线的距离问题，
【解析】（1）将圆C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，
∴圆心到切线的距离为，即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．
∴y＝(2±)x；
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，
∴圆心到切线的距离为，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．
∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
综上所述，所求切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
（2）∵|PO|＝|PM|，
∴＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，
解得方程组得，∴P点坐标为．
【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，待定系数法求方程，转化与化归的思想．本题的易错点是截距相等的直线要区分过原点和不过原点．
52．（黑龙江省双鸭山市第一中学2020-2021学年高二10月月考数学（文））在平面直角坐标系中，已知曲线的方程是（，）．
（1）当，时，求曲线围成的区域的面积；
（2）若直线：与曲线交于轴上方的两点，，且，求点到直线距离的最小值．
【答案】（1）4；（2） ．
【解析】（1）当，时，曲线的方程是，
当时，，当时，，
当时，方程等价于，
当时，方程等价于，
当时，方程等价于，
当时，方程等价于，
曲线围成的区域为菱形，其面积为；
（2）当，时，有，联立直线可得，
当，时，有，联立直线可得，
由可得，即有，化为，
点到直线距离，
由题意可得，，，即，可得，，
可得当，即时，点到直线距离取得最小值．