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初中人教版第二十二章 二次函数综合与测试精品同步达标检测题
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这是一份初中人教版第二十二章 二次函数综合与测试精品同步达标检测题，共32页。试卷主要包含了1 二次函数的图象和性质等内容，欢迎下载使用。
22.1 二次函数的图象和性质
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( )
A．2>y1>y2 B．2>y2>y1
C．y1>y2>2 D．y2>y1>2
2. 抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，则此抛物线的解析式为( )
A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－3
3. 某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：
根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的( )
A．3.2
4. 2019·丹东 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－2，0)，对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a＋c＞0；③若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x＋2)(4－x)＝－2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则－2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5. 矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为( )
A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14
C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋3
6. 2019·资阳 如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是( )
A．m≥1 B．m≤0
C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0
7. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1
A．c<-3B．c<-2
C．c
10. 如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外(点B′与C重合)停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是( )
eq \a\vs4\al()
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的关系式为s＝5t2＋2t，则当物体运动时间为4 s时，该物体所经过的路程为________．
12. 【2018·淮安】将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________．
13. (2019•武汉)抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是__________．
14. 已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝________，c＝________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于D，C两点．若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为________．(用含a的代数式表示)
16. (2019•天水)二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为__________．(填“”、“”或“”)
17. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点为P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c＜0；②若(－eq \f(3,2)，y1)，(－eq \f(1,2)，y2)，(eq \f(1,2)，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③若关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n；④当n＝－eq \f(1,a)时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)
18. 如图，平行于x轴的直线AC与函数y1＝x2(x≥0)，y2＝eq \f(1,3)x2(x≥0)的图象分别交于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC交y2的图象于点E，则eq \f(DE,AB)＝________．
三、解答题（本大题共4道小题）
19. 已知抛物线的顶点坐标是(2，3)，并且经过点(0，－1)，求它的解析式．
20. 如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)求直线AB对应的函数解析式．
21. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若关于x的方程|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
22. 如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出B、C两点的坐标；
(3)求过O，B，C三点的圆的面积．(结果用含π的代数式表示)
注：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－eq \f(b,2a)，eq \f(4ac－b2,4a))
人教版 九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】A [解析] 根据题意，可得抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．∵－1＜1＜2，∴2＞y1＞y2，故选A.
2. 【答案】B [解析] 由抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)．
又因为抛物线与y轴交于点(0，－3)，把x＝0，y＝－3代入y＝a(x＋1)(x－3)，得－3＝a(0＋1)(0－3)，即－3a＝－3，解得a＝1，故此抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3.故选B.
3. 【答案】B [解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y随x的增大而增大，且x＝3.3时，y＝－0.17<0，x＝3.4时，y＝0.08>0，故y＝0一定在3.3
4. 【答案】A
5. 【答案】A [解析] 因为矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，所以矩形ABCD关于坐标原点成中心对称．因为A，C是矩形对角线上的两个点，所以点A，C关于原点对称，所以点C的坐标为(－2，－1)，所以抛物线向左平移了4个单位长度，向下平移了2个单位长度，所以平移后抛物线的函数解析式为y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.
6. 【答案】C
7. 【答案】D [解析] 由一次函数y＝ax＋a可知，其图象与x轴交于点(－1，0)，排除A，B；
当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限；当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象开口向下，一次函数y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限．排除C.
8. 【答案】C [解析] ①∵抛物线开口向上，∴a＞0.
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0.
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，所以①错误．
②当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.
∵－eq \f(b,2a)＝1，∴b＝－2a.
把b＝－2a代入a－b＋c＞0中，得3a＋c＞0，所以②正确．
③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0.
当x＝－1时，y>0，∴a－b＋c>0，
∴(a＋b＋c)(a－b＋c)<0，
即(a＋c)2－b2＜0，所以③正确．
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c，
∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c(m为实数)，
即a＋b≤m(am＋b)，所以④正确．
故选C.
9. 【答案】B
【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，
所以x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等的实数根，
整理，得：x2+x+c=0，
所以=1–4c>0，
又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1
所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0，
即1+1+c<0，
综上则，
解得c<-2，
故选B．
10. 【答案】B 【解析】由题意知：在△A′B′C′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x≤1时，边长为x，此时y＝eq \f(1,2)x×eq \f(\r(3),2)x＝eq \f(\r(3),4)x2；当1＜x≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),4)；当2＜x≤3时，边长为3－x，此时y＝eq \f(1,2)(3－x)×eq \f(\r(3),2)(3－x)．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为eq \f(\r(3),4).故选B.
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 【答案】88 m [解析] 把t＝4代入函数解析式，得s＝5×16＋2×4＝88.故填88 m.
12. 【答案】y＝x2＋2 [解析] 二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，平移后的纵坐标增加3，即y＝x2－1＋3＝x2＋2.
13. 【答案】，
【解析】依题意，得：，
解得：，
所以，关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx为：，
即：，
化为：，
解得：，，
故答案为：，．
14. 【答案】3 2
15. 【答案】8a [解析] ∵抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，
∴BD＝BC＝2，
∴DC＝4.
∵y＝a(x－2)2＝ax2－4ax＋4a，
∴E(0，4a)，
∴S四边形ACED＝S△ACD＋S△CDE＝eq \f(1,2)DC·OE＝eq \f(1,2)×4×4a＝8a.
16. 【答案】<
【解析】当时，，
当时，，
，
即，
故答案为：．
17. 【答案】②④ [解析] (1)当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0.由x＝－eq \f(b,2a)＜eq \f(1,2)和a＞0可得－b＜a.∴0＜a－b＋c＜a＋a＋c＝2a＋c，即2a＋c＞0，①错误；
(2)结合图象易知②正确；
(3)方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，即ax2＋bx＋c＝c－k有实数解．∵y＝ax2＋bx＋c≥n，∴c－k≥n，即k≤c－n，③错误；
(4)设抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,n)(x－m)2＋n(n＜0)．令y＝0，得－eq \f(1,n)(x－m)2＋n＝0.
∴n2－(x－m)2＝0，∴(n－x＋m)(n＋x－m)＝0.
∴x1＝m＋n，x2＝m－n.AB＝|x1－x2|＝－2n.设对称轴交x轴于点H，则AH＝BH＝PH＝－n，∴△ABP为等腰直角三角形，④正确．
18. 【答案】3－eq \r(3) [解析] 设点A的坐标为(0，b)，则B(eq \r(b)，b)，C(eq \r(3b)，b)，D(eq \r(3b)，3b)，E(3 eq \r(b)，3b)．所以AB＝eq \r(b)，DE＝3 eq \r(b)－eq \r(3b)＝(3－eq \r(3))eq \r(b).所以eq \f(DE,AB)＝eq \f(（3－\r(3)）\r(b),\r(b))＝3－eq \r(3).
三、解答题（本大题共4道小题）
19. 【答案】
解：根据题意，设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3.
∵抛物线经过点(0，－1)，
∴－1＝a(0－2)2＋3，解得a＝－1，
∴y＝－(x－2)2＋3.
20. 【答案】
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个交点，
∴b2－4ac＝(2a)2－4a＝0，解得a＝1，a＝0(舍去)，
∴抛物线的解析式：y＝x2＋2x＋1.(3分)
(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
∵抛物线解析式y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
∴A(－1，0)，(4分)
过点B作BD⊥x轴于点D，如解图，
∵OC⊥x轴，
∴OC∥BD，
∵C是AB中点，
∴O是AD中点，
∴AO＝OD＝1，(6分)
∴点B的横坐标为1，
把x＝1代入抛物线中，得y＝(x＋1)2＝(1＋1)2＝4，
∴B的坐标为(1，4)．(7分)
把点A(－1，0) ，B(1，4)代入y＝kx＋b，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝－k＋b,4＝k＋b))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝2,b＝2))，
∴直线AB的解析式为： y＝2x＋2.(8分)
21. 【答案】
[解析] 先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根时k的取值范围．
解：根据题意，得y＝|ax2＋bx＋c|的图象如图所示．由图象易知，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k＞3.
22. 【答案】
解：(1)由抛物线经过点A(－1，0)，且对称轴为直线x＝2，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)＝2,1－b＋c＝0))，(2分)
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－4,c＝－5))，(3分)
解图
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x－5.(4分)
(利用抛物线对称性先求出点B的坐标，再求出解析式也可)
(2)B(5，0)，C(0，－5)．(6分)
(3)如解图，连接BC，易知△OBC是直角三角形，
∴过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，(8分)
由勾股定理得BC＝eq \r(52＋52)＝5eq \r(2)，
∴所以所求圆的面积是π×(eq \f(5\r(2),2))2＝eq \f(25,2)π.(10分)
22.2 二次函数与一元一次方程
一、选择题
1. 二次函数y＝x2－2x－2的图象与坐标轴的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2. 若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1 D．b＜1
3. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是( )
A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1
C．x＝－3 D．x＝－2
5. 下面的表格列出了函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的x与y的部分对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是( )
A.6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
6. 王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3中的一条记为x轴(向右为正方向)，三条竖直直线m4，m5，m6中的一条记为y轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2－6ax－3，则她所选择的x轴和y轴分别为( )
A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m4，m5
7. 如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(5,2) B．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(1,2)
C．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2) D．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(1,2)
8. 已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围是( )
A．－eq \f(25,4)
C．－2＜m＜3 D．－6＜m＜－2
二、填空题
9. 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝2，x2＝eq \f(1,2)，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标为______________．
10. 抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个交点坐标分别为______________．
11. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为____________．
12. 已知二次函数y＝3x2＋c与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为________．
13. 如图，已知抛物线y＝x2＋2x－3与x轴的两个交点分别是A，B(点A在点B的左侧)．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为________；
(2)利用函数图象，求得当y<5时x的取值范围为________．
14. 设A，B，C三点分别是抛物线y＝x2－4x－5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是________．
15. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．
16. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜－1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
三、解答题
17. 若关于x的函数y＝(m2－1)x2－(2m＋2)x＋2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
18. 已知函数y＝(m－1)x2＋4x＋2.
(1)当m为何值时，函数图象与x轴有两个公共点？
(2)当m为何值时，函数图象与x轴只有一个公共点？
19. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；
(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m
20. 某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝________；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；
②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；
③关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是________．
人教版 九年级数学上册 22.2 二次函数与一元一次方程 同步训练-答案
一、选择题
1. 【答案】D
2. 【答案】A 【解析】 ∵函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（－2）2－4b>0，,b≠0，))解得b＜1且b≠0.
3. 【答案】A
4. 【答案】A [解析] ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标是(1，0)，对称轴是直线x＝－1，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1.故选A.
5. 【答案】C [解析] 由表格中的数据，得在6.17＜x＜6.20范围内，y随x的增大而增大，当x＝6.18时，y＝－0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，故方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19.
6. 【答案】A [解析] ∵y＝ax2－6ax－3＝a(x－3)2－3－9a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴王芳选择的y轴为直线m4.
∵抛物线y＝ax2－6ax－3与y轴的交点为(0，－3)，
∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴王芳选择的x轴为直线m1.
7. 【答案】C 【解析】 如图．
∵抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，∴B(5，0)，A(9，0)．
∴抛物线C1向左平移4个单位长度得到C2，∴平移后抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)(x－3)2－2.
当直线y＝eq \f(1,2)x＋m过点B时，有2个交点，
∴0＝eq \f(5,2)＋m，解得m＝－eq \f(5,2)；
当直线y＝eq \f(1,2)x＋m与抛物线C2只有一个公共点时，令eq \f(1,2)x＋m＝eq \f(1,2)(x－3)2－2，∴x2－7x＋5－2m＝ 0，∴Δ＝49－20＋8m＝0，∴m＝－eq \f(29,8)，此时直线的解析式为y＝eq \f(1,2)x－eq \f(29,8)，它与x轴的交点为(eq \f(29,4)，0)，在点A左侧，∴此时直线与C1，C2有2个交点，如图所示．∴当直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点时，－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2).
8. 【答案】D 【解析】 如图，当y＝0时，－x2＋x＋6＝0，解得x1＝－2，x2＝3，则A(－2，0)，B(3，0)．
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝(x＋2)(x－3)，即y＝x2－x－6(－2≤x≤3)．
当直线y＝－x＋m经过点A(－2，0)时，2＋m＝0，解得m＝－2；
当直线y＝－x＋m与抛物线y＝x2－x－6有唯一公共点时，方程x2－x－6＝－x＋m有两个相等的实数根，解得m＝－6.
所以当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围为－6＜m＜－2.
二、填空题
9. 【答案】(2，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
10. 【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))，(2，0) [解析] 令y＝0，则3x2－8x＋4＝0，解方程得x1＝eq \f(2,3)，x2＝2，∴抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个交点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))，(2，0)．
11. 【答案】－1或2或1 【解析】 ∵函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，
∴当函数为二次函数时，16－4(a－1)×2a＝0，
解得a1＝－1，a2＝2；
当函数为一次函数时，a－1＝0，解得a＝1.
故答案为－1或2或1.
12. 【答案】eq \f(4,3) 【解析】本题考查了已知二次函数的图象与一次函数的图象的交点个数，求字母未知数的值．把y＝3x2＋c与y＝4x联立方程组并消去y得3x2＋c＝4x，化简得3x2－4x＋c＝0，由于它们的图象只有一个交点，故此方程有两个相等的实数根，所以b2－4ac＝(－4)2－4×3c＝0，解得c＝eq \f(4,3).
13. 【答案】(1)(－3，0) (1，0) (2)－4
【解析】(1)当x2＋2x－3＝0时，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．
(2)当y＝5时，x2＋2x－3＝5，x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2.
由函数图象可得，当－4
14. 【答案】15 [解析] 当x＝0时，y＝－5，∴点A的坐标为(0，－5)；当y＝0时，x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，不妨设点B在点C的左侧，
∴点B的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(5，0)，则BC＝6，
∴△ABC的面积为eq \f(1,2)×6×5＝15.
15. 【答案】．x＜－1或x＞3
16. 【答案】②③④ [解析] 由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，
∴b＝－2a，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．
①∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；
②当x＝－1时，y＝0，
∴a－b＋c＝0，∴②正确；
③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0的解是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1的交点的横坐标，
由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，
∴③正确；
④由图象可知，y＞0时，x＜－1或x＞3，
∴④正确．
三、解答题
17. 【答案】
解：①当m2－1＝0且2m＋2≠0，即m＝1时，该函数是一次函数，其图象与x轴只有一个公共点；
②当m2－1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则
Δ＝[－(2m＋2)]2－8(m2－1)＝0，
解得m1＝3，m2＝－1(舍去)．
综上所述，m的值是1或3.
18. 【答案】
解：(1)由题意得Δ＞0且m≠1，
即16－4(m－1)×2＞0且m≠1，
∴m＜3且m≠1.
故当m＜3且m≠1时，函数图象与x轴有两个公共点．
(2)由题意得Δ＝0或m＝1，
∴m＝3或m＝1.
故当m＝1或m＝3时，函数图象与x轴只有一个公共点．
19. 【答案】
【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出y1过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．
解：(1)∵函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，
∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分)
化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，
∴y1＝x2＋x－2；(4分)
(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，
①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，
把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，
得a2＝b；(6分)
②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，
把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，
得a2＋a＝－b；(8分)
(3)∵抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝eq \f(－a＋a＋1,2)＝eq \f(1,2)，m
∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，
∵m
∴点Q离对称轴x＝eq \f(1,2)的距离比P离对称轴x＝eq \f(1,2)的距离大，(10分)
∴|x0－eq \f(1,2)|<1－eq \f(1,2)，
∴0
20. 【答案】
解：(1)m＝0.(2分)
(2)如解图所示：
(4分)
(3)①函数图象有两个最低点，坐标分别是(－1，－1)以及(1，－1)．
②函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝0(y轴)．(6分)
③从图象信息直接看出：当x＜－1或0＜x＜1时，函数值随自变量的增大而减小；
当－1＜x＜0或x＞1时，函数值随自变量的增大而增大．
④在x＜－2或x＞2时，函数值大于0，在－2＜x＜0或0＜x＜2时，函数值小于0等．(答案不唯一，合理即可)
(4)①3，3；②2; ③－1＜a＜0.(10分)
【解法提示】①观察图象可知函数图象与x轴有3个交点，
∴方程x2－2|x|＝0有3个不相等的实数根；
②把抛物线y＝x2－2|x|向下平移2个单位，得抛物线y＝x2－2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－2，
则抛物线y＝x2－2|x|－2与x轴只有2个交点，
∴方程x2－2|x|－2＝0有2个不相等的实数根；
③把抛物线y＝x2－2|x|向上平移0＜h＜1时，抛物线与x轴有4个交点，
∴抛物线解析式y＝x2－2|x|－a中，0＜－a＜1，
∴－1＜a＜0.
22.3实际问题与二次函数
一．选择题
1．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y＝﹣x2+x+，则小强此次成绩为（ ）
A．8米B．10米C．12米D．14米
2．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则该函数的最小值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
3．用40cm的绳子围成一个的矩形，则矩形面积ycm2与一边长为xcm之间的函数关系式为（ ）
A．y＝x2B．y＝﹣x2+40xC．y＝﹣x2+20xD．y＝﹣x2+20
4．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣
5．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）
A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟
6．二次函数y＝x2﹣4x+7的最小值为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
7．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再下降1.5m，水面宽度为（ ）m．
A．4.5B．2C．2D．2
8．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（ ）
A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6
9．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A．252元/间B．256元/间C．258元/间D．260元/间
10．如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
二．填空题
11．若点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，则a﹣b的最小值为 ．
12．一台机器原价为60万元，如果每年价格的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为 ．
13．某城市规划修建一座观光人行桥，此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成，桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形，观光人行桥的正视图如图所示，已知桥面上三组拱桥都为抛物线的一部分，拱高（抛物线最高点到桥面AB的距离）都为16米，三条抛物线依次与桥面AB相交于点A，C，D，B．则桥长AB＝ 米．
14．二次函数y＝x2﹣2x+1在3≤x≤5范围内的最小值为 ．
15．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝ mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝ mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小．
三．解答题
16．已知二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，记y1、y2的最小值分别为m、n．
（1）若m+n＝0，求证：对任意的实数x，都有y1+y2≥0；
（2）若m，n均大于0，且mn＝2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值．
17．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）若设该种品牌玩具上涨x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；
（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．
18．用长12m的一根铁丝围成长方形．
（1）如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的较长的边是多少？
（2）能否围成面积是10m2的长方形？为什么？
（3）能围成的长方形的最大面积是多少？
19．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30，O、A两点相距米．
（1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点，并说明理由．
20．学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品，试销发现：该电子产品的销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，已知该产品的成本价是40元/件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求销售利润w（元）关于销售量x（件）的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？
（3）该社团继续开展科技创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，则科技创新后该产品的成本价格应低于多少？
参考答案
一．选择题
1．解：在y＝﹣x2+x+中，当y＝0时，﹣x2+x+＝0，
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝10，
即小强此次成绩为10米，
故选：B．
2．解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，﹣1），
∵此抛物线开口向上，
∴此函数有最小值，最小值为﹣1；
故选：A．
3．解：∵矩形一边长为xcm，周长为40cm，
∴另一边长为＝20﹣x（cm），
∴矩形的面积y＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x，
故选：C．
4．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，
∴m≤﹣；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；
∴﹣2≤m≤﹣．
故选：C．
5．解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
，
解得，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
t＝﹣＝﹣＝3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故选：C．
6．解：∵原式可化为y＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3，
∴最小值为3．
故选：C．
7．解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则由题意可知A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），
设该抛物线的解析式为y＝ax2+2，将B（2，0）代入得：
0＝a×4+2，
解得：a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2，
∴若水面再下降1.5m，则有﹣1.5＝﹣x2+2，
解得：x＝±．
∵﹣（﹣）＝2，
∴水面宽度为2m．
故选：D．
8．解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一：∵AB＝DE＝1.5m，
∴点B与点D关于对称轴对称，
∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，
将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，
当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，
解得x＝0（舍）或x＝3.2，
所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，
故选：A．
9．解：设每天的利润为W元，根据题意，得：
W＝（x﹣28）（80﹣y）﹣5000
＝（x﹣28）[80﹣（x﹣42）]﹣5000
＝﹣x2+129x﹣8416
＝﹣（x﹣258）2+8225，
∵当x＝258时，y＝×258﹣42＝22.5，不是整数，
∴x＝258舍去，
∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x＝260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选：B．
10．解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A没错；
B、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，
解得：，
∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故B没错；
C、在A点的速度为＝105m/min，在B点的速度为＝＝45m/min，故C错误；
D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，将t＝20代入S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得S＝1200，故D没错．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，
∴b＝﹣2a2+2a+1，
∴a﹣b＝a﹣（﹣2a2+2a+1）＝2a2﹣a﹣1，
∵a﹣b＝2a2﹣a﹣1＝2（a﹣）2﹣，
∴a﹣b的最小值为﹣，
故答案为﹣．
12．解：由题意知：两年后的价格是为：y＝60×（1﹣x）×（1﹣x）＝60（1﹣x）2，
则函数解析式是：y＝60（1﹣x）2，
故答案为：y＝60（1﹣x）2．
13．解：如图，以线段AC的中垂线为y轴，AB为x轴，建立平面直角坐标系，
则抛物线AC的顶点坐标为（0，16），
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+16，
当y＝0时，x1＝16，x2＝﹣16，
∴点A的坐标为（﹣16，0），点C的坐标为（16，0），
∴AC＝16﹣（﹣16）＝16+16＝32，
∴AB＝3AC＝96，
即桥长AB为96米；
故答案为：96．
14．解：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
所以，该二次函数图象的对称轴是x＝1，且在3≤x≤5范围内y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y最小＝（3﹣1）2＝4．
故答案为4．
15．解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，
∵a＝3＞0，
∴当x＝﹣＝10.0时，y有最小值，
设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+（x12+x22+…+xn2），
∵n＞0，
∴当x＝﹣＝时，w有最小值．
故答案为10.0，．
三．解答题
16．解：（1）∵二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，y1、y2的最小值分别为m、n，
∴y1+y2≥m+n，
∵m+n＝0，
∴y1+y2≥0；
（2））∵y1＝ax2+4x+b＝a（x+）2+，
∴m＝，
∵y2＝bx2+4x+a＝b（x+）2+，
∴n＝，
∵mn＝2，m，n均大于0，
∴•＝2，
解得，ab＝2（舍去）或ab＝8，
∴，
∴m＝，n＝，
∵M为m，n中的最大者，
∴当0＜a＜2时，M＝＞，
当a＝2时，M＝，
当a＞2时，M＝
由上可得，M的最小值是．
17．解：（1）根据题意得：w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000；
（2）w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∵a＝﹣10＜0，
∴对称轴为x＝25，
∴当销售价格定为40+25＝65时，W最大值＝12250（元）
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．
18．解：设长方形的宽为xm则长为（12﹣2x）m，
即为（6﹣x）m，则6﹣x≥x，得0＜x≤3，
（1）根据题意，得x（6﹣x）＝5，
即 x2﹣6x+5＝0，
x1＝5，x2＝1（舍去），
∴此时长方形较长的边为5m．
（2）当面积为10m2时，x（6﹣x）＝10，即 x2﹣6x+10＝0，
此时b2﹣4ac＝36﹣40＝﹣4＜0，
故此方程无实数根．
所以这样的长方形不存在．
（3）设围成的长方形面积为k，则有x（6﹣x）＝k．
即 x2﹣6x+k＝0，
要使该方程有解，
必须（﹣6）2﹣4k≥0，即k≤9，
∴最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，
此时x＝3m，6﹣x＝3m，这时所围成的图形是正方形．
19．解：（1）∵顶点B的坐标是（9，12），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣9）2+12，
∵点O的坐标是（0，0）
∴把点O的坐标代入得：0＝a（0﹣9）2+12，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣9）2+12
即y＝﹣x2+x；
（2）在Rt△AOC中，
∵∠AOC＝30°，OA＝8，
∴AC＝OA•sin30°＝8×＝4，
OC＝OA•cs30°＝8×＝12．
∴点A的坐标为（12，4），
∵当x＝12时，y＝≠4，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
20．解：（1）设销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间的函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可得，
解得：，
∴销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间的函数关系式为：y＝﹣x+80（x＞0）；
（2）∵w＝（y﹣40）x，
∴w＝（﹣x+80﹣40）x＝﹣x2+40x＝﹣（x﹣100）2+2000，
∴当x＝100时，销售利润最大，最大值为2000元．
答：当销售量为100件时，销售利润最大，最大值是2000元；
（3）设科技创新后该产品的成本价格为a元，
∵w＝（y﹣a）x＝﹣x2+（80﹣a）x，
∵当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，
∴﹣＞120，
∴a＜32，
答：科技创新后该产品的成本价格应低于32元．（1）y＝﹣x+80（x＞0）； （2）2000元； （3）32元；
x
…
6.17
6.18
6.19
6.20
…
y
…
－0.03
－0.01
0.02
0.04
…
x
…
－3
－eq \f(5,2)
－2
－1
0
1
2
eq \f(5,2)
3
…
y
…
3
eq \f(5,4)
m
－1
0
－1
0
eq \f(5,4)
3
…
22.1 二次函数的图象和性质
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( )
A．2>y1>y2 B．2>y2>y1
C．y1>y2>2 D．y2>y1>2
2. 抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，则此抛物线的解析式为( )
A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－3
3. 某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：
根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的( )
A．3.2
4. 2019·丹东 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－2，0)，对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a＋c＞0；③若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x＋2)(4－x)＝－2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则－2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5. 矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为( )
A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14
C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋3
6. 2019·资阳 如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是( )
A．m≥1 B．m≤0
C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0
7. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1
A．c<-3B．c<-2
C．c
10. 如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外(点B′与C重合)停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是( )
eq \a\vs4\al()
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的关系式为s＝5t2＋2t，则当物体运动时间为4 s时，该物体所经过的路程为________．
12. 【2018·淮安】将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________．
13. (2019•武汉)抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是__________．
14. 已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝________，c＝________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于D，C两点．若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为________．(用含a的代数式表示)
16. (2019•天水)二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为__________．(填“”、“”或“”)
17. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点为P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c＜0；②若(－eq \f(3,2)，y1)，(－eq \f(1,2)，y2)，(eq \f(1,2)，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③若关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n；④当n＝－eq \f(1,a)时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)
18. 如图，平行于x轴的直线AC与函数y1＝x2(x≥0)，y2＝eq \f(1,3)x2(x≥0)的图象分别交于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC交y2的图象于点E，则eq \f(DE,AB)＝________．
三、解答题（本大题共4道小题）
19. 已知抛物线的顶点坐标是(2，3)，并且经过点(0，－1)，求它的解析式．
20. 如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)求直线AB对应的函数解析式．
21. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若关于x的方程|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
22. 如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出B、C两点的坐标；
(3)求过O，B，C三点的圆的面积．(结果用含π的代数式表示)
注：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－eq \f(b,2a)，eq \f(4ac－b2,4a))
人教版 九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】A [解析] 根据题意，可得抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．∵－1＜1＜2，∴2＞y1＞y2，故选A.
2. 【答案】B [解析] 由抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)．
又因为抛物线与y轴交于点(0，－3)，把x＝0，y＝－3代入y＝a(x＋1)(x－3)，得－3＝a(0＋1)(0－3)，即－3a＝－3，解得a＝1，故此抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3.故选B.
3. 【答案】B [解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y随x的增大而增大，且x＝3.3时，y＝－0.17<0，x＝3.4时，y＝0.08>0，故y＝0一定在3.3
4. 【答案】A
5. 【答案】A [解析] 因为矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，所以矩形ABCD关于坐标原点成中心对称．因为A，C是矩形对角线上的两个点，所以点A，C关于原点对称，所以点C的坐标为(－2，－1)，所以抛物线向左平移了4个单位长度，向下平移了2个单位长度，所以平移后抛物线的函数解析式为y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.
6. 【答案】C
7. 【答案】D [解析] 由一次函数y＝ax＋a可知，其图象与x轴交于点(－1，0)，排除A，B；
当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限；当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象开口向下，一次函数y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限．排除C.
8. 【答案】C [解析] ①∵抛物线开口向上，∴a＞0.
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0.
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，所以①错误．
②当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.
∵－eq \f(b,2a)＝1，∴b＝－2a.
把b＝－2a代入a－b＋c＞0中，得3a＋c＞0，所以②正确．
③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0.
当x＝－1时，y>0，∴a－b＋c>0，
∴(a＋b＋c)(a－b＋c)<0，
即(a＋c)2－b2＜0，所以③正确．
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c，
∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c(m为实数)，
即a＋b≤m(am＋b)，所以④正确．
故选C.
9. 【答案】B
【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，
所以x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等的实数根，
整理，得：x2+x+c=0，
所以=1–4c>0，
又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1
所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0，
即1+1+c<0，
综上则，
解得c<-2，
故选B．
10. 【答案】B 【解析】由题意知：在△A′B′C′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x≤1时，边长为x，此时y＝eq \f(1,2)x×eq \f(\r(3),2)x＝eq \f(\r(3),4)x2；当1＜x≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),4)；当2＜x≤3时，边长为3－x，此时y＝eq \f(1,2)(3－x)×eq \f(\r(3),2)(3－x)．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为eq \f(\r(3),4).故选B.
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 【答案】88 m [解析] 把t＝4代入函数解析式，得s＝5×16＋2×4＝88.故填88 m.
12. 【答案】y＝x2＋2 [解析] 二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，平移后的纵坐标增加3，即y＝x2－1＋3＝x2＋2.
13. 【答案】，
【解析】依题意，得：，
解得：，
所以，关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx为：，
即：，
化为：，
解得：，，
故答案为：，．
14. 【答案】3 2
15. 【答案】8a [解析] ∵抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，
∴BD＝BC＝2，
∴DC＝4.
∵y＝a(x－2)2＝ax2－4ax＋4a，
∴E(0，4a)，
∴S四边形ACED＝S△ACD＋S△CDE＝eq \f(1,2)DC·OE＝eq \f(1,2)×4×4a＝8a.
16. 【答案】<
【解析】当时，，
当时，，
，
即，
故答案为：．
17. 【答案】②④ [解析] (1)当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0.由x＝－eq \f(b,2a)＜eq \f(1,2)和a＞0可得－b＜a.∴0＜a－b＋c＜a＋a＋c＝2a＋c，即2a＋c＞0，①错误；
(2)结合图象易知②正确；
(3)方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，即ax2＋bx＋c＝c－k有实数解．∵y＝ax2＋bx＋c≥n，∴c－k≥n，即k≤c－n，③错误；
(4)设抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,n)(x－m)2＋n(n＜0)．令y＝0，得－eq \f(1,n)(x－m)2＋n＝0.
∴n2－(x－m)2＝0，∴(n－x＋m)(n＋x－m)＝0.
∴x1＝m＋n，x2＝m－n.AB＝|x1－x2|＝－2n.设对称轴交x轴于点H，则AH＝BH＝PH＝－n，∴△ABP为等腰直角三角形，④正确．
18. 【答案】3－eq \r(3) [解析] 设点A的坐标为(0，b)，则B(eq \r(b)，b)，C(eq \r(3b)，b)，D(eq \r(3b)，3b)，E(3 eq \r(b)，3b)．所以AB＝eq \r(b)，DE＝3 eq \r(b)－eq \r(3b)＝(3－eq \r(3))eq \r(b).所以eq \f(DE,AB)＝eq \f(（3－\r(3)）\r(b),\r(b))＝3－eq \r(3).
三、解答题（本大题共4道小题）
19. 【答案】
解：根据题意，设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3.
∵抛物线经过点(0，－1)，
∴－1＝a(0－2)2＋3，解得a＝－1，
∴y＝－(x－2)2＋3.
20. 【答案】
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个交点，
∴b2－4ac＝(2a)2－4a＝0，解得a＝1，a＝0(舍去)，
∴抛物线的解析式：y＝x2＋2x＋1.(3分)
(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
∵抛物线解析式y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
∴A(－1，0)，(4分)
过点B作BD⊥x轴于点D，如解图，
∵OC⊥x轴，
∴OC∥BD，
∵C是AB中点，
∴O是AD中点，
∴AO＝OD＝1，(6分)
∴点B的横坐标为1，
把x＝1代入抛物线中，得y＝(x＋1)2＝(1＋1)2＝4，
∴B的坐标为(1，4)．(7分)
把点A(－1，0) ，B(1，4)代入y＝kx＋b，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝－k＋b,4＝k＋b))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝2,b＝2))，
∴直线AB的解析式为： y＝2x＋2.(8分)
21. 【答案】
[解析] 先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根时k的取值范围．
解：根据题意，得y＝|ax2＋bx＋c|的图象如图所示．由图象易知，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k＞3.
22. 【答案】
解：(1)由抛物线经过点A(－1，0)，且对称轴为直线x＝2，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)＝2,1－b＋c＝0))，(2分)
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－4,c＝－5))，(3分)
解图
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x－5.(4分)
(利用抛物线对称性先求出点B的坐标，再求出解析式也可)
(2)B(5，0)，C(0，－5)．(6分)
(3)如解图，连接BC，易知△OBC是直角三角形，
∴过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，(8分)
由勾股定理得BC＝eq \r(52＋52)＝5eq \r(2)，
∴所以所求圆的面积是π×(eq \f(5\r(2),2))2＝eq \f(25,2)π.(10分)
22.2 二次函数与一元一次方程
一、选择题
1. 二次函数y＝x2－2x－2的图象与坐标轴的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2. 若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1 D．b＜1
3. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是( )
A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1
C．x＝－3 D．x＝－2
5. 下面的表格列出了函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的x与y的部分对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是( )
A.6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
6. 王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3中的一条记为x轴(向右为正方向)，三条竖直直线m4，m5，m6中的一条记为y轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2－6ax－3，则她所选择的x轴和y轴分别为( )
A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m4，m5
7. 如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(5,2) B．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(1,2)
C．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2) D．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(1,2)
8. 已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围是( )
A．－eq \f(25,4)
C．－2＜m＜3 D．－6＜m＜－2
二、填空题
9. 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝2，x2＝eq \f(1,2)，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标为______________．
10. 抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个交点坐标分别为______________．
11. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为____________．
12. 已知二次函数y＝3x2＋c与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为________．
13. 如图，已知抛物线y＝x2＋2x－3与x轴的两个交点分别是A，B(点A在点B的左侧)．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为________；
(2)利用函数图象，求得当y<5时x的取值范围为________．
14. 设A，B，C三点分别是抛物线y＝x2－4x－5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是________．
15. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．
16. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜－1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
三、解答题
17. 若关于x的函数y＝(m2－1)x2－(2m＋2)x＋2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
18. 已知函数y＝(m－1)x2＋4x＋2.
(1)当m为何值时，函数图象与x轴有两个公共点？
(2)当m为何值时，函数图象与x轴只有一个公共点？
19. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；
(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m
20. 某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝________；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；
②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；
③关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是________．
人教版 九年级数学上册 22.2 二次函数与一元一次方程 同步训练-答案
一、选择题
1. 【答案】D
2. 【答案】A 【解析】 ∵函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（－2）2－4b>0，,b≠0，))解得b＜1且b≠0.
3. 【答案】A
4. 【答案】A [解析] ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标是(1，0)，对称轴是直线x＝－1，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1.故选A.
5. 【答案】C [解析] 由表格中的数据，得在6.17＜x＜6.20范围内，y随x的增大而增大，当x＝6.18时，y＝－0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，故方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19.
6. 【答案】A [解析] ∵y＝ax2－6ax－3＝a(x－3)2－3－9a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴王芳选择的y轴为直线m4.
∵抛物线y＝ax2－6ax－3与y轴的交点为(0，－3)，
∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴王芳选择的x轴为直线m1.
7. 【答案】C 【解析】 如图．
∵抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，∴B(5，0)，A(9，0)．
∴抛物线C1向左平移4个单位长度得到C2，∴平移后抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)(x－3)2－2.
当直线y＝eq \f(1,2)x＋m过点B时，有2个交点，
∴0＝eq \f(5,2)＋m，解得m＝－eq \f(5,2)；
当直线y＝eq \f(1,2)x＋m与抛物线C2只有一个公共点时，令eq \f(1,2)x＋m＝eq \f(1,2)(x－3)2－2，∴x2－7x＋5－2m＝ 0，∴Δ＝49－20＋8m＝0，∴m＝－eq \f(29,8)，此时直线的解析式为y＝eq \f(1,2)x－eq \f(29,8)，它与x轴的交点为(eq \f(29,4)，0)，在点A左侧，∴此时直线与C1，C2有2个交点，如图所示．∴当直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点时，－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2).
8. 【答案】D 【解析】 如图，当y＝0时，－x2＋x＋6＝0，解得x1＝－2，x2＝3，则A(－2，0)，B(3，0)．
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝(x＋2)(x－3)，即y＝x2－x－6(－2≤x≤3)．
当直线y＝－x＋m经过点A(－2，0)时，2＋m＝0，解得m＝－2；
当直线y＝－x＋m与抛物线y＝x2－x－6有唯一公共点时，方程x2－x－6＝－x＋m有两个相等的实数根，解得m＝－6.
所以当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围为－6＜m＜－2.
二、填空题
9. 【答案】(2，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
10. 【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))，(2，0) [解析] 令y＝0，则3x2－8x＋4＝0，解方程得x1＝eq \f(2,3)，x2＝2，∴抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个交点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))，(2，0)．
11. 【答案】－1或2或1 【解析】 ∵函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，
∴当函数为二次函数时，16－4(a－1)×2a＝0，
解得a1＝－1，a2＝2；
当函数为一次函数时，a－1＝0，解得a＝1.
故答案为－1或2或1.
12. 【答案】eq \f(4,3) 【解析】本题考查了已知二次函数的图象与一次函数的图象的交点个数，求字母未知数的值．把y＝3x2＋c与y＝4x联立方程组并消去y得3x2＋c＝4x，化简得3x2－4x＋c＝0，由于它们的图象只有一个交点，故此方程有两个相等的实数根，所以b2－4ac＝(－4)2－4×3c＝0，解得c＝eq \f(4,3).
13. 【答案】(1)(－3，0) (1，0) (2)－4
【解析】(1)当x2＋2x－3＝0时，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．
(2)当y＝5时，x2＋2x－3＝5，x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2.
由函数图象可得，当－4
14. 【答案】15 [解析] 当x＝0时，y＝－5，∴点A的坐标为(0，－5)；当y＝0时，x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，不妨设点B在点C的左侧，
∴点B的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(5，0)，则BC＝6，
∴△ABC的面积为eq \f(1,2)×6×5＝15.
15. 【答案】．x＜－1或x＞3
16. 【答案】②③④ [解析] 由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，
∴b＝－2a，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．
①∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；
②当x＝－1时，y＝0，
∴a－b＋c＝0，∴②正确；
③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0的解是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1的交点的横坐标，
由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，
∴③正确；
④由图象可知，y＞0时，x＜－1或x＞3，
∴④正确．
三、解答题
17. 【答案】
解：①当m2－1＝0且2m＋2≠0，即m＝1时，该函数是一次函数，其图象与x轴只有一个公共点；
②当m2－1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则
Δ＝[－(2m＋2)]2－8(m2－1)＝0，
解得m1＝3，m2＝－1(舍去)．
综上所述，m的值是1或3.
18. 【答案】
解：(1)由题意得Δ＞0且m≠1，
即16－4(m－1)×2＞0且m≠1，
∴m＜3且m≠1.
故当m＜3且m≠1时，函数图象与x轴有两个公共点．
(2)由题意得Δ＝0或m＝1，
∴m＝3或m＝1.
故当m＝1或m＝3时，函数图象与x轴只有一个公共点．
19. 【答案】
【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出y1过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．
解：(1)∵函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，
∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分)
化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，
∴y1＝x2＋x－2；(4分)
(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，
①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，
把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，
得a2＝b；(6分)
②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，
把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，
得a2＋a＝－b；(8分)
(3)∵抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝eq \f(－a＋a＋1,2)＝eq \f(1,2)，m
∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，
∵m
∴点Q离对称轴x＝eq \f(1,2)的距离比P离对称轴x＝eq \f(1,2)的距离大，(10分)
∴|x0－eq \f(1,2)|<1－eq \f(1,2)，
∴0
20. 【答案】
解：(1)m＝0.(2分)
(2)如解图所示：
(4分)
(3)①函数图象有两个最低点，坐标分别是(－1，－1)以及(1，－1)．
②函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝0(y轴)．(6分)
③从图象信息直接看出：当x＜－1或0＜x＜1时，函数值随自变量的增大而减小；
当－1＜x＜0或x＞1时，函数值随自变量的增大而增大．
④在x＜－2或x＞2时，函数值大于0，在－2＜x＜0或0＜x＜2时，函数值小于0等．(答案不唯一，合理即可)
(4)①3，3；②2; ③－1＜a＜0.(10分)
【解法提示】①观察图象可知函数图象与x轴有3个交点，
∴方程x2－2|x|＝0有3个不相等的实数根；
②把抛物线y＝x2－2|x|向下平移2个单位，得抛物线y＝x2－2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－2，
则抛物线y＝x2－2|x|－2与x轴只有2个交点，
∴方程x2－2|x|－2＝0有2个不相等的实数根；
③把抛物线y＝x2－2|x|向上平移0＜h＜1时，抛物线与x轴有4个交点，
∴抛物线解析式y＝x2－2|x|－a中，0＜－a＜1，
∴－1＜a＜0.
22.3实际问题与二次函数
一．选择题
1．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y＝﹣x2+x+，则小强此次成绩为（ ）
A．8米B．10米C．12米D．14米
2．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则该函数的最小值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
3．用40cm的绳子围成一个的矩形，则矩形面积ycm2与一边长为xcm之间的函数关系式为（ ）
A．y＝x2B．y＝﹣x2+40xC．y＝﹣x2+20xD．y＝﹣x2+20
4．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣
5．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）
A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟
6．二次函数y＝x2﹣4x+7的最小值为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
7．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再下降1.5m，水面宽度为（ ）m．
A．4.5B．2C．2D．2
8．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（ ）
A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6
9．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A．252元/间B．256元/间C．258元/间D．260元/间
10．如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
二．填空题
11．若点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，则a﹣b的最小值为 ．
12．一台机器原价为60万元，如果每年价格的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为 ．
13．某城市规划修建一座观光人行桥，此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成，桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形，观光人行桥的正视图如图所示，已知桥面上三组拱桥都为抛物线的一部分，拱高（抛物线最高点到桥面AB的距离）都为16米，三条抛物线依次与桥面AB相交于点A，C，D，B．则桥长AB＝ 米．
14．二次函数y＝x2﹣2x+1在3≤x≤5范围内的最小值为 ．
15．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝ mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝ mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小．
三．解答题
16．已知二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，记y1、y2的最小值分别为m、n．
（1）若m+n＝0，求证：对任意的实数x，都有y1+y2≥0；
（2）若m，n均大于0，且mn＝2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值．
17．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）若设该种品牌玩具上涨x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；
（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．
18．用长12m的一根铁丝围成长方形．
（1）如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的较长的边是多少？
（2）能否围成面积是10m2的长方形？为什么？
（3）能围成的长方形的最大面积是多少？
19．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30，O、A两点相距米．
（1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点，并说明理由．
20．学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品，试销发现：该电子产品的销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，已知该产品的成本价是40元/件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求销售利润w（元）关于销售量x（件）的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？
（3）该社团继续开展科技创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，则科技创新后该产品的成本价格应低于多少？
参考答案
一．选择题
1．解：在y＝﹣x2+x+中，当y＝0时，﹣x2+x+＝0，
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝10，
即小强此次成绩为10米，
故选：B．
2．解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，﹣1），
∵此抛物线开口向上，
∴此函数有最小值，最小值为﹣1；
故选：A．
3．解：∵矩形一边长为xcm，周长为40cm，
∴另一边长为＝20﹣x（cm），
∴矩形的面积y＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x，
故选：C．
4．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，
∴m≤﹣；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；
∴﹣2≤m≤﹣．
故选：C．
5．解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
，
解得，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
t＝﹣＝﹣＝3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故选：C．
6．解：∵原式可化为y＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3，
∴最小值为3．
故选：C．
7．解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则由题意可知A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），
设该抛物线的解析式为y＝ax2+2，将B（2，0）代入得：
0＝a×4+2，
解得：a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2，
∴若水面再下降1.5m，则有﹣1.5＝﹣x2+2，
解得：x＝±．
∵﹣（﹣）＝2，
∴水面宽度为2m．
故选：D．
8．解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一：∵AB＝DE＝1.5m，
∴点B与点D关于对称轴对称，
∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，
将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，
当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，
解得x＝0（舍）或x＝3.2，
所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，
故选：A．
9．解：设每天的利润为W元，根据题意，得：
W＝（x﹣28）（80﹣y）﹣5000
＝（x﹣28）[80﹣（x﹣42）]﹣5000
＝﹣x2+129x﹣8416
＝﹣（x﹣258）2+8225，
∵当x＝258时，y＝×258﹣42＝22.5，不是整数，
∴x＝258舍去，
∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x＝260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选：B．
10．解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A没错；
B、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，
解得：，
∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故B没错；
C、在A点的速度为＝105m/min，在B点的速度为＝＝45m/min，故C错误；
D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，将t＝20代入S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得S＝1200，故D没错．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，
∴b＝﹣2a2+2a+1，
∴a﹣b＝a﹣（﹣2a2+2a+1）＝2a2﹣a﹣1，
∵a﹣b＝2a2﹣a﹣1＝2（a﹣）2﹣，
∴a﹣b的最小值为﹣，
故答案为﹣．
12．解：由题意知：两年后的价格是为：y＝60×（1﹣x）×（1﹣x）＝60（1﹣x）2，
则函数解析式是：y＝60（1﹣x）2，
故答案为：y＝60（1﹣x）2．
13．解：如图，以线段AC的中垂线为y轴，AB为x轴，建立平面直角坐标系，
则抛物线AC的顶点坐标为（0，16），
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+16，
当y＝0时，x1＝16，x2＝﹣16，
∴点A的坐标为（﹣16，0），点C的坐标为（16，0），
∴AC＝16﹣（﹣16）＝16+16＝32，
∴AB＝3AC＝96，
即桥长AB为96米；
故答案为：96．
14．解：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
所以，该二次函数图象的对称轴是x＝1，且在3≤x≤5范围内y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y最小＝（3﹣1）2＝4．
故答案为4．
15．解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，
∵a＝3＞0，
∴当x＝﹣＝10.0时，y有最小值，
设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+（x12+x22+…+xn2），
∵n＞0，
∴当x＝﹣＝时，w有最小值．
故答案为10.0，．
三．解答题
16．解：（1）∵二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，y1、y2的最小值分别为m、n，
∴y1+y2≥m+n，
∵m+n＝0，
∴y1+y2≥0；
（2））∵y1＝ax2+4x+b＝a（x+）2+，
∴m＝，
∵y2＝bx2+4x+a＝b（x+）2+，
∴n＝，
∵mn＝2，m，n均大于0，
∴•＝2，
解得，ab＝2（舍去）或ab＝8，
∴，
∴m＝，n＝，
∵M为m，n中的最大者，
∴当0＜a＜2时，M＝＞，
当a＝2时，M＝，
当a＞2时，M＝
由上可得，M的最小值是．
17．解：（1）根据题意得：w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000；
（2）w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∵a＝﹣10＜0，
∴对称轴为x＝25，
∴当销售价格定为40+25＝65时，W最大值＝12250（元）
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．
18．解：设长方形的宽为xm则长为（12﹣2x）m，
即为（6﹣x）m，则6﹣x≥x，得0＜x≤3，
（1）根据题意，得x（6﹣x）＝5，
即 x2﹣6x+5＝0，
x1＝5，x2＝1（舍去），
∴此时长方形较长的边为5m．
（2）当面积为10m2时，x（6﹣x）＝10，即 x2﹣6x+10＝0，
此时b2﹣4ac＝36﹣40＝﹣4＜0，
故此方程无实数根．
所以这样的长方形不存在．
（3）设围成的长方形面积为k，则有x（6﹣x）＝k．
即 x2﹣6x+k＝0，
要使该方程有解，
必须（﹣6）2﹣4k≥0，即k≤9，
∴最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，
此时x＝3m，6﹣x＝3m，这时所围成的图形是正方形．
19．解：（1）∵顶点B的坐标是（9，12），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣9）2+12，
∵点O的坐标是（0，0）
∴把点O的坐标代入得：0＝a（0﹣9）2+12，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣9）2+12
即y＝﹣x2+x；
（2）在Rt△AOC中，
∵∠AOC＝30°，OA＝8，
∴AC＝OA•sin30°＝8×＝4，
OC＝OA•cs30°＝8×＝12．
∴点A的坐标为（12，4），
∵当x＝12时，y＝≠4，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
20．解：（1）设销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间的函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可得，
解得：，
∴销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间的函数关系式为：y＝﹣x+80（x＞0）；
（2）∵w＝（y﹣40）x，
∴w＝（﹣x+80﹣40）x＝﹣x2+40x＝﹣（x﹣100）2+2000，
∴当x＝100时，销售利润最大，最大值为2000元．
答：当销售量为100件时，销售利润最大，最大值是2000元；
（3）设科技创新后该产品的成本价格为a元，
∵w＝（y﹣a）x＝﹣x2+（80﹣a）x，
∵当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，
∴﹣＞120，
∴a＜32，
答：科技创新后该产品的成本价格应低于32元．（1）y＝﹣x+80（x＞0）； （2）2000元； （3）32元；
x
…
6.17
6.18
6.19
6.20
…
y
…
－0.03
－0.01
0.02
0.04
…
x
…
－3
－eq \f(5,2)
－2
－1
0
1
2
eq \f(5,2)
3
…
y
…
3
eq \f(5,4)
m
－1
0
－1
0
eq \f(5,4)
3
…
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