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九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试精品课后复习题
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这是一份九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试精品课后复习题，共23页。试卷主要包含了1--21等内容，欢迎下载使用。
21.1 一元二次方程
1.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( )
(A)ax2+bx+c=0(B)++2=0
(C)3y2+x=1 (D)3(x+1)2=2(x+1)
2.把一元二次方程x(x+1)=3x+2化为一般形式,正确的是( )
(A)x2-2x-2=0 (B)x2-2x+2=0
(C)x2-3x-1=0 (D)x2+4x+3=0
3.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4=0的常数项是0,则( )
(A)m=4 (B)m=2
(C)m=2或m=-2(D)m=-2
4.已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1,则k的值为( )
(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4
5.(2019新疆)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛,根据题意,可列方程为( )
(A)x(x-1)=36(B)x(x+1)=36
(C)x(x-1)=36(D)x(x+1)=36
6.为创建“国家生态园林城市”,某小区在规划设计时,在小区中央设置一块面积为1 200平方米的矩形绿地,并且长比宽多40米.设绿地宽为x米,根据题意,可列方程为 .
7.(2019宜宾)某产品每件的生产成本为50元,原定销售价65元,经市场预测,从现在开始的第一季度销售价格将下降10%,第二季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变,设每个季度平均降低成本的百分率为x,根据题意可列方程是 .
8.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)2x2=1-3x;(2)5x(x-2)=-3(x2+1).
9.已知关于x的方程(m2+2)x2+(m-1)x-4=3x2.
(1)当m是何值时原方程是一元二次方程;
(2)当m是何值时原方程是一元一次方程.
10.已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是( )
(A)x=a,x=b都不是该方程的解
(B)x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解
(C)x=b是该方程的解,x=a不是该方程的解
(D)x=a,x=b都是该方程的解
11.(2019资阳)a是方程2x2=x+4的一个根,则代数式4a2-2a的值是
.
12.若关于x的方程(a-1)=1是一元二次方程,则a的值是
.
13.已知关于x的一元二次方程x2+mx+2=0与x2+2x+m=0有一个公共根,则此公共根是x= ,m= .
14.已知关于x的一元二次方程(m+1)x|m-1|+2x-n=0的一个根是1,求m,n的值.
15.(核心素养—运算能力)如图,请作答以下三个房间的问题.
第二十一章
21.1 一元二次方程
1.(2020东营期中)下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( D )
(A)ax2+bx+c=0(B)++2=0
(C)3y2+x=1 (D)3(x+1)2=2(x+1)
2.把一元二次方程x(x+1)=3x+2化为一般形式,正确的是( A )
(A)x2-2x-2=0 (B)x2-2x+2=0
(C)x2-3x-1=0 (D)x2+4x+3=0
3.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4=0的常数项是0,则( D )
(A)m=4 (B)m=2
(C)m=2或m=-2(D)m=-2
4.已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1,则k的值为( B )
(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4
5.(2019新疆)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛,根据题意,可列方程为( A )
(A)x(x-1)=36(B)x(x+1)=36
(C)x(x-1)=36(D)x(x+1)=36
6.为创建“国家生态园林城市”,某小区在规划设计时,在小区中央设置一块面积为1 200平方米的矩形绿地,并且长比宽多40米.设绿地宽为x米,根据题意,可列方程为 x(x+40)=1 200 .
7.(2019宜宾)某产品每件的生产成本为50元,原定销售价65元,经市场预测,从现在开始的第一季度销售价格将下降10%,第二季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变,设每个季度平均降低成本的百分率为x,根据题意可列方程是 65×(1-10%)×(1+5%)-
50(1-x)2=65-50 .
8.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)2x2=1-3x;(2)5x(x-2)=-3(x2+1).
解:(1)移项,得2x2+3x-1=0.
二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-1.
(2)去括号,得5x2-10x=-3x2-3.
移项,合并同类项,得8x2-10x+3=0.
二次项系数为8,一次项系数为-10,常数项为3.
9.已知关于x的方程(m2+2)x2+(m-1)x-4=3x2.
(1)当m是何值时原方程是一元二次方程;
(2)当m是何值时原方程是一元一次方程.
解:原方程可化为(m2-1)x2+(m-1)x-4=0,
(1)当m2-1≠0,即m≠±1时,
原方程是一元二次方程.
(2)当m2-1=0且m-1≠0,即m=-1时,
原方程是一元一次方程.
10.已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是( D )
(A)x=a,x=b都不是该方程的解
(B)x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解
(C)x=b是该方程的解,x=a不是该方程的解
(D)x=a,x=b都是该方程的解
11.(2019资阳)a是方程2x2=x+4的一个根,则代数式4a2-2a的值是
8 .
12.若关于x的方程(a-1)=1是一元二次方程,则a的值是
-1 .
13.已知关于x的一元二次方程x2+mx+2=0与x2+2x+m=0有一个公共根,则此公共根是x= 1 ,m= -3 .
14.已知关于x的一元二次方程(m+1)x|m-1|+2x-n=0的一个根是1,求m,n的值.
解:由一元二次方程的定义得
解得m=3,
所以原方程为4x2+2x-n=0,
把x=1代入,得4+2-n=0,解得n=6,
所以m=3,n=6.
15.(核心素养—运算能力)如图,请作答以下三个房间的问题.
21.2解一元二次方程
一．选择题（共12小题）
1．用配方法解一元二次方程x2-4x-9=0，可变形为（ ）
A．（x-2）2=9B．（x-2）2=13C．（x+2）2=9D．（x+2）2=13
2．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2-2x-3=0B．（x-5）（x+2）=0C．x2-x+1=0D．x2=1
3．一元二次方程y2+y−0.75=0配方后可化为（ ）
A．（y+0.5）2=1 B．（y-0.5）2=1 C．（y+0.5）2=0.5 D．（y-0.5）2=0.75
4．已知关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≤0.25C．m＜0.25D．m＞0.25
5．关于x的方程ax2+（1-a）x-1=0，下列结论正确的是（ ）
A．当a=0时，方程无实数根
B．当a=-1时，方程只有一个实数根
C．当a=1时，有两个不相等的实数根
D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根
6．已知a，b是方程x2+3x-5=0的两个实数根，则a2-3b+2020的值是（ ）
A．2016B．2020C．2025D．2034
7．α、β是方程2x2-2x-3=0的两根，则（α+1）（β+1）的值为（ ）
A．-0.5B．0.5 C．3.5 D．1.5
8．定义运算：a*b=2ab，若a、b是方程x2+x-m=0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的值为（ ）
A．mB．2-2mC．2m-2D．-2m-2
9．已知实数x满足（x2-2x+1）2+2（x2-2x+1）-3=0，那么x2-2x+1的值为（ ）
A．-1或3B．-3或1C．3D．1
10．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程x2-24x+140=0，则三角形周长为（ ）
A．24B．28C．24或28D．以上都不对
11．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m-1=0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22=3，则m的值是（ ）
A．0B．-2C．0 或-0.5D．-2或0
12．若整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a-1=0有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二．填空题（共5小题）
13．填空：x2-2x+3=（x- ）2+2．
14．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0．其根的判别式的值为1，则该方程的根为 ．
15．若关于x的一元二次方程ax2-x+1=0有实数根，则a的最大整数值是 ．
16．已知x1，x2是关于x的方程x2-（m-1）x-m=0的两个根，且x1+x2=3，则m的值是 ．
17．对于实数a，b，定义运算“*“，a*b=例如4*2，因为4＞2，所以4*2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-8x+16=0的两个根，则x1*x2= ．
三．解答题（共5小题）
18．解下列方程
（1）x2-8x+15=0；（2）
19．已知：关于x的一元二次方程x2+mx=3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
20．已知关于x的一元二次方程（x-m）2+2（x-m）=0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23=24，求k的值．
22．已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求的值．
参考答案
1-5：BCABC 6-10:DBDDA 11-12:CC
13、1
-1
4
0
19、（1）证明：x2+mx-3=0，
∵a=1，b=m，c=-3
∴△=b2-4ac=m2-4×1×（-3）=m2+12，
∵m2≥0，
∴m2+12＞0，
∴△＞0，
∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
-1.5
20、（1）证明：（x-m）2+2（x-m）=0，
原方程可化为x2-（2m-2）x+m2-2m=0，
∵a=1，b=-（2m-2），c=m2-2m，
∴△=b2-4ac=[-（2m-2）]2-4（m2-2m）=4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=4代入原方程，得：（4-m）2+2（4-m）=0，即m2-10m+24=0，
解得：m1=4，m2=6．
故m的值为4或6．
21、：（1）由题意可知，△=（-4）2-4×1×（-2k+8）≥0，
整理得：16+8k-32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）k=3
22、：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=4+4k＞0，
解得k＞-1．
∴k的取值范围为k＞-1；
（2）由根与系数关系得a+b=-2，a•b=-k，
21.3 实际问题与一元二次方程
一、选择题（本大题共12道小题）
1. 已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为( )
A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11
2. 某市2008年国内生产总值(GDP)比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是( )
A. 12%＋7%＝x% B. (1＋12%)(1＋7%)＝2(1＋x%)
C. 12%＋7%＝2·x% D. (1＋12%)(1＋7%)＝(1＋x%)2
3. 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )
A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900
C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900
4. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆．设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意列方程得( )
A. 10(1＋x)2＝16.9 B. 10(1＋2x)＝16.9
C. 10(1－x)2＝16.9 D. 10(1－2x)＝16.9
5. 有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患了流感，假设每轮传染中一个人传染相同数量的人，则第一轮传染后患流感的人数为( )
A．10 B．50 C．55 D．45
6. 如图，某小区有一块长为18 m，宽为 6 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x m，则可列出关于x的方程是( )
A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0
C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0
7. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是( )
A．300(1＋x)＝507
B．300(1＋x)2＝507
C．300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507
D．300＋300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507
8. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施．调查发现，每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件，若商场每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价( )
A．5元 B．10元
C．20元 D．10元或20元
9. 在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )
A．x2＋130x－1400＝0 B．x2＋65x－350＝0
C．x2－130x－1400＝0 D．x2－65x－350＝0
10. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到点C后停止运动，点P也随之停止运动．运动下列时间后，能使△PBQ的面积为15 cm2的是( )
A．2 s B．3 s
C．4 s D．5 s
11. 某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，每个月就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高25%，则这种机床每台的售价应定为( )
A．3万元 B．5万元
C．8万元 D．3万元或5万元
12. 某市2018年GDP比2017年增长了11.5%，由于受到国际因素的影响，2019年的GDP比2018年增长了7%.若这两年GDP的年平均增长率为x，则x满足的关系式是( )
A．11.5%＋7%＝x
B．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝2(1＋x)
C．11.5%＋7%＝2x
D．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x)2
二、填空题（本大题共6道小题）
13. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入为20000元，到2018年人均年收入达到39200元，则该地区居民人均年收入平均增长率为 .(用百分数表示)
14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少个小分支．如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可列方程为__________________．
15. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡每张的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，设每张贺年卡应降低x个0.1元，则所列方程为__________________________________．
16. 相邻的两个自然数，若它们的平方和比这两数中较小数的2倍大51，则这两个自然数分别为________．
17. 一个两位数，它的十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小19，则这个两位数是________．
18. 某校课外生物小组的试验园地是长32 m，宽20 m的矩形，为了便于管理，现要在试验园地开辟宽度均为x m的小道(图中的阴影部分)．
(1)如图①，在试验园地开辟一条纵向小道，则剩余部分的面积为________m2(用含x的代数式表示)；
(2)如图②，在试验园地开辟三条宽度相等的小道，其中一条是横向的，另两条互相平行．若使剩余部分的面积为570 m2，则小道的宽度为________m.
三、解答题（本大题共3道小题）
19. 某广告公司制作广告的收费标准是以面积为单位，在不超过规定的面积a(m2)的范围内，每张广告费1000元，如果超过a(m2)，那么除了要交1000元的广告费以外，超过的部分还要按每平方米50a元交费．下表是该公司对两家用户广告的收费面积和广告费情况的记录．
红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形，如果它的四周是空白，并且四周各空0.5 m，空白部分不收广告费，中间的矩形部分才是广告的收费面积．这张广告的长、宽之比为3∶2，并且红星公司为此支出110400元的广告费．
(1)求a的值；
(2)红星公司要制作的这张广告的长和宽各是多少米？
解题突破(7题)
利用烟草公司及食品公司的广告费建立方程求a的值，利用红星公司支出的广告费和收费标准求其广告的收费面积，利用收费面积和已知条件求这张广告的长与宽．
20. 三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的一个数的6倍多3，求这三个奇数．
21. 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元/件销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，每件每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元/件，设第二个月每件降低x元．
(1)填表：(不需化简)
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少？
人教版 九年级数学 21.3 实际问题与一元二次方程 课时训练-答案
一、选择题（本大题共12道小题）
1. 【答案】D 【解析】∵3是方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，∴9－3(m＋1)＋2m＝0，解得m＝6，∴方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，若等腰△ABC的腰长为3，底边长为4，则其周长为3＋3＋4＝10；若等腰△ABC的腰长为4，底边长为3，则周长为4＋4＋3＝11.
2. 【答案】D 【解析】设2007年国内生产总值为a，依题意得a(1＋12%)×(1＋7%)＝a(1＋x%)2，即(1＋12%)(1＋7%)＝(1＋x%)2.
3. 【答案】B
4. 【答案】A 【解析】因为年平均增长率为x，从2013年到2015年连续增长两年，开始量为10万辆，结束量为16.9万辆，则可列方程10(1＋x)2＝16.9.
5. 【答案】C
6. 【答案】C 【解析】因为人行道的宽度为x米，所以阴影部分的长为(18－3x)米，宽为(6－2x)米，故阴影部分面积为(18－3x)(6－2x)＝60，化简得x2－9x＋8＝0.故选C.
7. 【答案】B
8. 【答案】C [解析] 设每件衬衫降价x元，则每天可售出(20＋2x)件，
根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，解得x1＝10，x2＝20.
∵要扩大销售，减少库存，∴x＝20.
9. 【答案】B
10. 【答案】B [解析] 设运动时间为t s，
则BP＝(8－t)cm，BQ＝2t cm，由三角形的面积公式列方程，得eq \f(1,2)·(8－t)·2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5(当t＝5时，BQ＝10 cm，不合题意，舍去)．
∴动点P，Q运动3 s后，能使△PBQ的面积为15 cm2.
11. 【答案】D [解析] 设这种机床每台的售价定为x万元，
则xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(60－\f(x－2,0.1)))＝2×60×(1＋25%)，
解得x1＝3，x2＝5.
12. 【答案】D [解析] 设2017年的GDP为1，
∵2018年的GDP比2017年增长了11.5%，
∴2018年的GDP为1＋11.5%.
∵2019年的GDP比2018年增长了7%，
∴2019年的GDP为(1＋11.5%)×(1＋7%)．
∵这两年GDP的年平均增长率为x，
∴2019年的GDP也可表示为(1＋x)2，
∴可列方程为(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x)2.
二、填空题（本大题共6道小题）
13. 【答案】40% [解析]设该地区居民人均年收入平均增长率为x，则20000(1+x)2=39200，
解得x1=0.4，x2=-2.4(舍去)，
∴该地区居民人均年收入平均增长率为40%.
故答案为:40%.
14. 【答案】x2＋x＋1＝73 [解析] 设每个支干又长出x个小分支，
根据题意，得x2＋x＋1＝73.
15. 【答案】(0.3－0.1x)(500＋100x)＝120
16. 【答案】5，6 [解析] 设较小的自然数为x，则较大的自然数为(x＋1)．
根据题意，得x2＋(x＋1)2＝2x＋51，
解得x1＝5，x2＝－5(舍去)．
则这两个自然数分别为5，6.
17. 【答案】32 [解析] 设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为x－1.根据题意，得
x2＋(x－1)2＝10x＋(x－1)－19，
解得x1＝3，x2＝3.5(舍去)，
∴10x＋(x－1)＝32.
18. 【答案】(1)20(32－x) (2)1
[解析] (1)根据题意，得剩余部分的面积为20(32－x)m2.
(2)根据题意，得(32－2x)(20－x)＝570，
解得x1＝1，x2＝35(不合题意，舍去)．
即小道的宽度为1 m.
三、解答题（本大题共3道小题）
19. 【答案】
解：(1)由题中表格可知3≤a＜6.
根据题意，得1000＋50a(6－a)＝1400，
解得a1＝4，a2＝2(舍去)，则a＝4.
(2)设这张广告的收费面积为S m2，根据题意，得
1000＋50×4(S－4)＝110400，解得S＝551.
设这张广告的长、宽分别为3x m，2x m.
根据题意，得(3x－1)(2x－1)＝551，
整理，得6x2－5x－550＝0，
解得x1＝10，x2＝－eq \f(55,6)(舍去)，
则3x＝30，2x＝20.
答：红星公司要制作的这张广告的长和宽分别是30 m和20 m.
20. 【答案】
解：设这三个连续的正奇数分别为2n－1，2n＋1，2n＋3(n为正整数)．
根据题意，得(2n＋3)(2n－1)－6(2n＋1)＝3，
解得n1＝3，n2＝－1(舍去)．
当n＝3时，2n－1＝5，2n＋1＝7，2n＋3＝9.
即这三个奇数分别为5，7，9.
21. 【答案】
解：(1)填表如下：
(2)根据题意，得
200×(80－50)＋(200＋10x)(80－x－50)＋[800－200－(200＋10x)](40－50)＝9000，
整理，得10x2－200x＋1000＝0，
解得x1＝x2＝10.
当x＝10时，80－x＝70＞50.
答：第二个月的单价应是70元/件．
21.1 一元二次方程
1.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( )
(A)ax2+bx+c=0(B)++2=0
(C)3y2+x=1 (D)3(x+1)2=2(x+1)
2.把一元二次方程x(x+1)=3x+2化为一般形式,正确的是( )
(A)x2-2x-2=0 (B)x2-2x+2=0
(C)x2-3x-1=0 (D)x2+4x+3=0
3.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4=0的常数项是0,则( )
(A)m=4 (B)m=2
(C)m=2或m=-2(D)m=-2
4.已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1,则k的值为( )
(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4
5.(2019新疆)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛,根据题意,可列方程为( )
(A)x(x-1)=36(B)x(x+1)=36
(C)x(x-1)=36(D)x(x+1)=36
6.为创建“国家生态园林城市”,某小区在规划设计时,在小区中央设置一块面积为1 200平方米的矩形绿地,并且长比宽多40米.设绿地宽为x米,根据题意,可列方程为 .
7.(2019宜宾)某产品每件的生产成本为50元,原定销售价65元,经市场预测,从现在开始的第一季度销售价格将下降10%,第二季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变,设每个季度平均降低成本的百分率为x,根据题意可列方程是 .
8.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)2x2=1-3x;(2)5x(x-2)=-3(x2+1).
9.已知关于x的方程(m2+2)x2+(m-1)x-4=3x2.
(1)当m是何值时原方程是一元二次方程;
(2)当m是何值时原方程是一元一次方程.
10.已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是( )
(A)x=a,x=b都不是该方程的解
(B)x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解
(C)x=b是该方程的解,x=a不是该方程的解
(D)x=a,x=b都是该方程的解
11.(2019资阳)a是方程2x2=x+4的一个根,则代数式4a2-2a的值是
.
12.若关于x的方程(a-1)=1是一元二次方程,则a的值是
.
13.已知关于x的一元二次方程x2+mx+2=0与x2+2x+m=0有一个公共根,则此公共根是x= ,m= .
14.已知关于x的一元二次方程(m+1)x|m-1|+2x-n=0的一个根是1,求m,n的值.
15.(核心素养—运算能力)如图,请作答以下三个房间的问题.
第二十一章
21.1 一元二次方程
1.(2020东营期中)下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( D )
(A)ax2+bx+c=0(B)++2=0
(C)3y2+x=1 (D)3(x+1)2=2(x+1)
2.把一元二次方程x(x+1)=3x+2化为一般形式,正确的是( A )
(A)x2-2x-2=0 (B)x2-2x+2=0
(C)x2-3x-1=0 (D)x2+4x+3=0
3.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4=0的常数项是0,则( D )
(A)m=4 (B)m=2
(C)m=2或m=-2(D)m=-2
4.已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1,则k的值为( B )
(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4
5.(2019新疆)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛,根据题意,可列方程为( A )
(A)x(x-1)=36(B)x(x+1)=36
(C)x(x-1)=36(D)x(x+1)=36
6.为创建“国家生态园林城市”,某小区在规划设计时,在小区中央设置一块面积为1 200平方米的矩形绿地,并且长比宽多40米.设绿地宽为x米,根据题意,可列方程为 x(x+40)=1 200 .
7.(2019宜宾)某产品每件的生产成本为50元,原定销售价65元,经市场预测,从现在开始的第一季度销售价格将下降10%,第二季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变,设每个季度平均降低成本的百分率为x,根据题意可列方程是 65×(1-10%)×(1+5%)-
50(1-x)2=65-50 .
8.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)2x2=1-3x;(2)5x(x-2)=-3(x2+1).
解:(1)移项,得2x2+3x-1=0.
二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-1.
(2)去括号,得5x2-10x=-3x2-3.
移项,合并同类项,得8x2-10x+3=0.
二次项系数为8,一次项系数为-10,常数项为3.
9.已知关于x的方程(m2+2)x2+(m-1)x-4=3x2.
(1)当m是何值时原方程是一元二次方程;
(2)当m是何值时原方程是一元一次方程.
解:原方程可化为(m2-1)x2+(m-1)x-4=0,
(1)当m2-1≠0,即m≠±1时,
原方程是一元二次方程.
(2)当m2-1=0且m-1≠0,即m=-1时,
原方程是一元一次方程.
10.已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是( D )
(A)x=a,x=b都不是该方程的解
(B)x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解
(C)x=b是该方程的解,x=a不是该方程的解
(D)x=a,x=b都是该方程的解
11.(2019资阳)a是方程2x2=x+4的一个根,则代数式4a2-2a的值是
8 .
12.若关于x的方程(a-1)=1是一元二次方程,则a的值是
-1 .
13.已知关于x的一元二次方程x2+mx+2=0与x2+2x+m=0有一个公共根,则此公共根是x= 1 ,m= -3 .
14.已知关于x的一元二次方程(m+1)x|m-1|+2x-n=0的一个根是1,求m,n的值.
解:由一元二次方程的定义得
解得m=3,
所以原方程为4x2+2x-n=0,
把x=1代入,得4+2-n=0,解得n=6,
所以m=3,n=6.
15.(核心素养—运算能力)如图,请作答以下三个房间的问题.
21.2解一元二次方程
一．选择题（共12小题）
1．用配方法解一元二次方程x2-4x-9=0，可变形为（ ）
A．（x-2）2=9B．（x-2）2=13C．（x+2）2=9D．（x+2）2=13
2．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2-2x-3=0B．（x-5）（x+2）=0C．x2-x+1=0D．x2=1
3．一元二次方程y2+y−0.75=0配方后可化为（ ）
A．（y+0.5）2=1 B．（y-0.5）2=1 C．（y+0.5）2=0.5 D．（y-0.5）2=0.75
4．已知关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≤0.25C．m＜0.25D．m＞0.25
5．关于x的方程ax2+（1-a）x-1=0，下列结论正确的是（ ）
A．当a=0时，方程无实数根
B．当a=-1时，方程只有一个实数根
C．当a=1时，有两个不相等的实数根
D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根
6．已知a，b是方程x2+3x-5=0的两个实数根，则a2-3b+2020的值是（ ）
A．2016B．2020C．2025D．2034
7．α、β是方程2x2-2x-3=0的两根，则（α+1）（β+1）的值为（ ）
A．-0.5B．0.5 C．3.5 D．1.5
8．定义运算：a*b=2ab，若a、b是方程x2+x-m=0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的值为（ ）
A．mB．2-2mC．2m-2D．-2m-2
9．已知实数x满足（x2-2x+1）2+2（x2-2x+1）-3=0，那么x2-2x+1的值为（ ）
A．-1或3B．-3或1C．3D．1
10．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程x2-24x+140=0，则三角形周长为（ ）
A．24B．28C．24或28D．以上都不对
11．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m-1=0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22=3，则m的值是（ ）
A．0B．-2C．0 或-0.5D．-2或0
12．若整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a-1=0有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二．填空题（共5小题）
13．填空：x2-2x+3=（x- ）2+2．
14．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0．其根的判别式的值为1，则该方程的根为 ．
15．若关于x的一元二次方程ax2-x+1=0有实数根，则a的最大整数值是 ．
16．已知x1，x2是关于x的方程x2-（m-1）x-m=0的两个根，且x1+x2=3，则m的值是 ．
17．对于实数a，b，定义运算“*“，a*b=例如4*2，因为4＞2，所以4*2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-8x+16=0的两个根，则x1*x2= ．
三．解答题（共5小题）
18．解下列方程
（1）x2-8x+15=0；（2）
19．已知：关于x的一元二次方程x2+mx=3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
20．已知关于x的一元二次方程（x-m）2+2（x-m）=0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23=24，求k的值．
22．已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求的值．
参考答案
1-5：BCABC 6-10:DBDDA 11-12:CC
13、1
-1
4
0
19、（1）证明：x2+mx-3=0，
∵a=1，b=m，c=-3
∴△=b2-4ac=m2-4×1×（-3）=m2+12，
∵m2≥0，
∴m2+12＞0，
∴△＞0，
∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
-1.5
20、（1）证明：（x-m）2+2（x-m）=0，
原方程可化为x2-（2m-2）x+m2-2m=0，
∵a=1，b=-（2m-2），c=m2-2m，
∴△=b2-4ac=[-（2m-2）]2-4（m2-2m）=4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=4代入原方程，得：（4-m）2+2（4-m）=0，即m2-10m+24=0，
解得：m1=4，m2=6．
故m的值为4或6．
21、：（1）由题意可知，△=（-4）2-4×1×（-2k+8）≥0，
整理得：16+8k-32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）k=3
22、：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=4+4k＞0，
解得k＞-1．
∴k的取值范围为k＞-1；
（2）由根与系数关系得a+b=-2，a•b=-k，
21.3 实际问题与一元二次方程
一、选择题（本大题共12道小题）
1. 已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为( )
A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11
2. 某市2008年国内生产总值(GDP)比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是( )
A. 12%＋7%＝x% B. (1＋12%)(1＋7%)＝2(1＋x%)
C. 12%＋7%＝2·x% D. (1＋12%)(1＋7%)＝(1＋x%)2
3. 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )
A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900
C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900
4. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆．设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意列方程得( )
A. 10(1＋x)2＝16.9 B. 10(1＋2x)＝16.9
C. 10(1－x)2＝16.9 D. 10(1－2x)＝16.9
5. 有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患了流感，假设每轮传染中一个人传染相同数量的人，则第一轮传染后患流感的人数为( )
A．10 B．50 C．55 D．45
6. 如图，某小区有一块长为18 m，宽为 6 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x m，则可列出关于x的方程是( )
A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0
C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0
7. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是( )
A．300(1＋x)＝507
B．300(1＋x)2＝507
C．300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507
D．300＋300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507
8. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施．调查发现，每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件，若商场每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价( )
A．5元 B．10元
C．20元 D．10元或20元
9. 在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )
A．x2＋130x－1400＝0 B．x2＋65x－350＝0
C．x2－130x－1400＝0 D．x2－65x－350＝0
10. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到点C后停止运动，点P也随之停止运动．运动下列时间后，能使△PBQ的面积为15 cm2的是( )
A．2 s B．3 s
C．4 s D．5 s
11. 某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，每个月就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高25%，则这种机床每台的售价应定为( )
A．3万元 B．5万元
C．8万元 D．3万元或5万元
12. 某市2018年GDP比2017年增长了11.5%，由于受到国际因素的影响，2019年的GDP比2018年增长了7%.若这两年GDP的年平均增长率为x，则x满足的关系式是( )
A．11.5%＋7%＝x
B．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝2(1＋x)
C．11.5%＋7%＝2x
D．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x)2
二、填空题（本大题共6道小题）
13. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入为20000元，到2018年人均年收入达到39200元，则该地区居民人均年收入平均增长率为 .(用百分数表示)
14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少个小分支．如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可列方程为__________________．
15. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡每张的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，设每张贺年卡应降低x个0.1元，则所列方程为__________________________________．
16. 相邻的两个自然数，若它们的平方和比这两数中较小数的2倍大51，则这两个自然数分别为________．
17. 一个两位数，它的十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小19，则这个两位数是________．
18. 某校课外生物小组的试验园地是长32 m，宽20 m的矩形，为了便于管理，现要在试验园地开辟宽度均为x m的小道(图中的阴影部分)．
(1)如图①，在试验园地开辟一条纵向小道，则剩余部分的面积为________m2(用含x的代数式表示)；
(2)如图②，在试验园地开辟三条宽度相等的小道，其中一条是横向的，另两条互相平行．若使剩余部分的面积为570 m2，则小道的宽度为________m.
三、解答题（本大题共3道小题）
19. 某广告公司制作广告的收费标准是以面积为单位，在不超过规定的面积a(m2)的范围内，每张广告费1000元，如果超过a(m2)，那么除了要交1000元的广告费以外，超过的部分还要按每平方米50a元交费．下表是该公司对两家用户广告的收费面积和广告费情况的记录．
红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形，如果它的四周是空白，并且四周各空0.5 m，空白部分不收广告费，中间的矩形部分才是广告的收费面积．这张广告的长、宽之比为3∶2，并且红星公司为此支出110400元的广告费．
(1)求a的值；
(2)红星公司要制作的这张广告的长和宽各是多少米？
解题突破(7题)
利用烟草公司及食品公司的广告费建立方程求a的值，利用红星公司支出的广告费和收费标准求其广告的收费面积，利用收费面积和已知条件求这张广告的长与宽．
20. 三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的一个数的6倍多3，求这三个奇数．
21. 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元/件销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，每件每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元/件，设第二个月每件降低x元．
(1)填表：(不需化简)
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少？
人教版 九年级数学 21.3 实际问题与一元二次方程 课时训练-答案
一、选择题（本大题共12道小题）
1. 【答案】D 【解析】∵3是方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，∴9－3(m＋1)＋2m＝0，解得m＝6，∴方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，若等腰△ABC的腰长为3，底边长为4，则其周长为3＋3＋4＝10；若等腰△ABC的腰长为4，底边长为3，则周长为4＋4＋3＝11.
2. 【答案】D 【解析】设2007年国内生产总值为a，依题意得a(1＋12%)×(1＋7%)＝a(1＋x%)2，即(1＋12%)(1＋7%)＝(1＋x%)2.
3. 【答案】B
4. 【答案】A 【解析】因为年平均增长率为x，从2013年到2015年连续增长两年，开始量为10万辆，结束量为16.9万辆，则可列方程10(1＋x)2＝16.9.
5. 【答案】C
6. 【答案】C 【解析】因为人行道的宽度为x米，所以阴影部分的长为(18－3x)米，宽为(6－2x)米，故阴影部分面积为(18－3x)(6－2x)＝60，化简得x2－9x＋8＝0.故选C.
7. 【答案】B
8. 【答案】C [解析] 设每件衬衫降价x元，则每天可售出(20＋2x)件，
根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，解得x1＝10，x2＝20.
∵要扩大销售，减少库存，∴x＝20.
9. 【答案】B
10. 【答案】B [解析] 设运动时间为t s，
则BP＝(8－t)cm，BQ＝2t cm，由三角形的面积公式列方程，得eq \f(1,2)·(8－t)·2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5(当t＝5时，BQ＝10 cm，不合题意，舍去)．
∴动点P，Q运动3 s后，能使△PBQ的面积为15 cm2.
11. 【答案】D [解析] 设这种机床每台的售价定为x万元，
则xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(60－\f(x－2,0.1)))＝2×60×(1＋25%)，
解得x1＝3，x2＝5.
12. 【答案】D [解析] 设2017年的GDP为1，
∵2018年的GDP比2017年增长了11.5%，
∴2018年的GDP为1＋11.5%.
∵2019年的GDP比2018年增长了7%，
∴2019年的GDP为(1＋11.5%)×(1＋7%)．
∵这两年GDP的年平均增长率为x，
∴2019年的GDP也可表示为(1＋x)2，
∴可列方程为(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x)2.
二、填空题（本大题共6道小题）
13. 【答案】40% [解析]设该地区居民人均年收入平均增长率为x，则20000(1+x)2=39200，
解得x1=0.4，x2=-2.4(舍去)，
∴该地区居民人均年收入平均增长率为40%.
故答案为:40%.
14. 【答案】x2＋x＋1＝73 [解析] 设每个支干又长出x个小分支，
根据题意，得x2＋x＋1＝73.
15. 【答案】(0.3－0.1x)(500＋100x)＝120
16. 【答案】5，6 [解析] 设较小的自然数为x，则较大的自然数为(x＋1)．
根据题意，得x2＋(x＋1)2＝2x＋51，
解得x1＝5，x2＝－5(舍去)．
则这两个自然数分别为5，6.
17. 【答案】32 [解析] 设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为x－1.根据题意，得
x2＋(x－1)2＝10x＋(x－1)－19，
解得x1＝3，x2＝3.5(舍去)，
∴10x＋(x－1)＝32.
18. 【答案】(1)20(32－x) (2)1
[解析] (1)根据题意，得剩余部分的面积为20(32－x)m2.
(2)根据题意，得(32－2x)(20－x)＝570，
解得x1＝1，x2＝35(不合题意，舍去)．
即小道的宽度为1 m.
三、解答题（本大题共3道小题）
19. 【答案】
解：(1)由题中表格可知3≤a＜6.
根据题意，得1000＋50a(6－a)＝1400，
解得a1＝4，a2＝2(舍去)，则a＝4.
(2)设这张广告的收费面积为S m2，根据题意，得
1000＋50×4(S－4)＝110400，解得S＝551.
设这张广告的长、宽分别为3x m，2x m.
根据题意，得(3x－1)(2x－1)＝551，
整理，得6x2－5x－550＝0，
解得x1＝10，x2＝－eq \f(55,6)(舍去)，
则3x＝30，2x＝20.
答：红星公司要制作的这张广告的长和宽分别是30 m和20 m.
20. 【答案】
解：设这三个连续的正奇数分别为2n－1，2n＋1，2n＋3(n为正整数)．
根据题意，得(2n＋3)(2n－1)－6(2n＋1)＝3，
解得n1＝3，n2＝－1(舍去)．
当n＝3时，2n－1＝5，2n＋1＝7，2n＋3＝9.
即这三个奇数分别为5，7，9.
21. 【答案】
解：(1)填表如下：
(2)根据题意，得
200×(80－50)＋(200＋10x)(80－x－50)＋[800－200－(200＋10x)](40－50)＝9000，
整理，得10x2－200x＋1000＝0，
解得x1＝x2＝10.
当x＝10时，80－x＝70＞50.
答：第二个月的单价应是70元/件．
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