【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷01 函数的图像和性质（解析版）

2021年高考数学一轮复习函数的图像和性质创优测评卷(新高考专用)  一、单选题（共60分，每题5分）1．下列关于函数的图像或性质的说法中，正确的个数为（    ）①函数的图像关于直线对称②将函数的图像向右平移个单位所得图像的函数③函数在区间上单调递增④若，则A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】【详解】令，解得，当时，则，故①正确；将函数的图像向右平移个单位得，故②错误；令，得，故③错误；若，，，故④正确.故选：B.2．若函数图像上任意一点满足条件,则称函数具有性质下列函数中具有性质的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】试题分析：表示的区域为A选项是的切线，经过原点，经过B区域；B选项经过原点，经过B区域，也是其切线；C选项，在和之间，所以其只经过A区域；D选项，经过B区域.所以最终选C.3．著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像特征，则函数的图像大致是（     ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数，排除，利用导数得到单调性，根据单调性排除、，由此可得答案.【详解】令，则，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，故排除；当时，，，由，得，令，得，所以函数在上递减，在上递增，故排除、；故选：D4．已知幂函数图像过点,则关于此函数的性质下列说法错误的是(    )A．在上单调递减B．既不是奇函数也不是偶函数C．的值域为D．图像与坐标轴没有交点【答案】C【解析】【分析】求出幂函数的解析式,从而判断函数的奇偶性和单调性,即可求得答案.【详解】设(是常数)幂函数图像过点对于A,因为,根据幂函数图像可知:在上单调递减,故A正确;对于B,因为,可得既不是奇函数也不是偶函数,故B正确;对于C,因为,可得值域为,故C错误;对于D,,根据幂函数图像可知:图像与坐标轴没有交点,故C正确.综上所述, C错误.故选:C.5．函数的周期是，将的图像向右平移个单位长度后得到函数，则具有性质（    ）.A．最大值为1，图像关于直线对称 B．在上单调递增，为奇函数C．在上单调递增，为偶函数 D．周期为，图像关于点对称【答案】B【解析】由题意可知， ,所以；令，所以，可知函数 在上单调递增，且为奇函数.点睛：三角函数图象变换：(1)振幅变(2)周期变换  (3)相位变换(4)复合变换.6．函数的图像和函数的图像的交点个数是（     ）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出与的图像如图所示：由图象可知两函数图象有2个交点，
故选B7．关于函数，下列叙述中错误的是（ ）A．函数图象经过原点 B．函数图象的最低点是C．函数图象与轴的交点为， D．函数图象的对称轴是直线【答案】D【解析】A．由解析式可得c=0，故函数图象经过原点，所以A正确；B．由顶点公式可得：﹣=2，=﹣8，所以函数图象的最低点是（2，﹣8），B正确；C．使解析式y=2x2﹣8x=0，得x1=0，x2=4，所以函数图象与x轴的交点为（0，0），（4，0），C正确；D．由对称轴x=﹣=2，则D错误．故选D．8．函数的图像与函数=-+3的图像平行,且与y轴的交点为M（0，2）,则函数表达式为（    ）A．=+3 B．=+2 C．=-+3 D．=-+2【答案】D【解析】根据题意得：k=-把（0，2）代入y=-x+b得：b=2则函数的解析式是：y=-x+2故选D．9．某二次函数图像与二次函数的图像关于轴对称，该二次函数的解析式是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】的顶点为（1，-1），与二次函数的图像关于轴对称的二次函数的图像顶点为：（-1，-1），该二次函数的解析式是故选：B10．如图，是二次函数的部分图像，有图像可知：不等式的解集是（  ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由图象可知二次函数的对称轴是x=1，
且与x轴一个交点坐标（3，0），
由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是（-1，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集为x＞3或x＜-1，
故选：D．11．若点在二次函数（、是常数）的图像上，则下列各点一定在该图像上的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】将点代入得：b=1,∴函数为,将选项逐项代入即可证明使得整式成立,故选D.12．表示关于的函数，若，在的取值范围内，且，均有对应的函数值，则称函数在取值范围内是非减函数．已知函数当时为非减函数，且满足以下三个条件：①，② ，③；则的值为（    ）A． B． C． D．1【答案】C【解析】令x＝1，则f（）＝f（1），
∵f（1−0）＝1−f（0）＝1，
∴f（）＝×1＝，
当x＝时，f（1−）＝1−f（），
所以，当f（）＝1−f（）＝1−=，
所以，f（）＝f（）=，∵函数当时为非减函数，∴当≤x≤时，f(x)=，∴令x＝，f（）=，则f（）＝f（×）＝f（）=×＝，∴f（）＋f（）＝＋＝．
故选：C． 二、填空题（共20分，每题5分）13．阅读材料：如果ab＝N（a＞0，且a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN．例如23＝8，则log28＝3．根据材料填空：log39＝_____．【答案】2；【解析】∵32=9∴log39＝2故答案为：214．将二次函数y= x2﹣1的图像沿x轴向右平移3个单位再向上平移2个单位后，得到的图像对应的函数表达式为___________．【答案】【解析】根据二次函数的平移性质“左加右减，上加下减”，可直接由函数的解析式y= x2﹣1可得平移后的解析式为.15．如图，将二次函数的图像向上平移个单位得到二次函数的图像，且与二次函数的图像相交于，过作轴的平行线分别交，于点，，当时，的值是__________．【答案】【解析】∵平移后的解析式为 设AC=a，则AB=2a，∴A的横坐标为−2+a，B的横坐标为−2−a，C的横坐标为−2+2a，∵抛物线的对称轴为 解得 ∴A的横坐标为 把 代入得,  代入得, 解得 故答案为：16．如我们把函数沿轴翻折得到函数，函数与函数的图象合起来组成函数的图象．若直线与函数的图象刚好有两个交点，则满足条件的的值可以为_______________(填出一个合理的值即可)．【答案】（答案不唯一，满足k的取值范围即可）【解析】根据题意，画出如下图形函数沿轴翻折得到函数解析式为由图可知：若直线与函数的图象刚好有两个交点，则直线与y1和y2各有一个交点联立①和②解①，得x1=k＋3，x2=0（不符合取值范围，舍去）；解②，得x3=k－3，x4=0（不符合取值范围，舍去）①中，x＞0，即k＋3＞0，②中，x＜0，即k－3＜0∴-3＜k＜3∴满足条件的的值可以为（答案不唯一，满足k的取值范围即可）．故答案为：（答案不唯一，满足k的取值范围即可）． 三、解答题17．（10分）已知函数（1）m=              时，函数图像与x轴只有一个交点；（2）m为何值时，函数图像与x轴没有交点；（3）若函数图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为4，求m的值.【答案】(1) 或；(2) ；(3) .【解析】（1）分两种情况进行讨论：①当m－1＝0时，函数是一次函数，图象是直线，与x轴有一个交点；②当m－1≠0时，函数是二次函数，令根的判别式等于0，求出m的值，即可得到结果；（2）令根的判别式小于0即可求出m的范围；（3）对于二次函数解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，利用根与系数的关系求出两个之和与两根之积，表示出三角形ABC的面积，根据已知面积为4即可求出m的值．试题解析：解：（1）分两种情况进行讨论：①当m－1＝0，m＝1时，函数是一次函数y＝2x，图象是直线，与x轴有一个交点；②当m－1≠0，m≠1时，函数是二次函数，∵函数y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1图象与x轴只有一个交点，∴△＝4m2－4（m－1）2＝4m2－4m2＋8m－4＝0，解得：m＝.故答案为1或；（2）∵函数与x轴没有交点，∴△＝4m2－4（m－1）2＝4m2－4m2＋8m－4＜0，即m＜；（3）对于二次函y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1， 令x＝0，得到y＝m－1，即C（0，m－1），令y＝0，得到(m－1)x2＋2mx＋m－1＝0，设此方程的两根为a，b，∴由根与系数的关系得到a＋b＝， ab＝1，∴AB＝|a－b|＝＝＝ ，∵△ABC的面积为4，∴AB•yC纵坐标＝4，即|m－1|×＝8，两边平方得：4m2－4(m－1)2＝64，即8m＝68，解得：m＝． 18．（10分）已知二次函数（为常数）．（1）求证：不论为何值，该二次函数的图像与轴总有公共点．（2）求证：不论为何值，该二次函数的图像的顶点都在函数的图像上．（3）已知点、，线段与函数的图像有公共点，则的取值范围是__________．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）令，则．∵，，，∴．∵，∴．∴一元二次方程有实数根．故不论取何值，函数与轴总有公共点．（2）∵．∴该函数的顶点坐标为．把代入，得．∴不论为何值，该二次函数的顶点坐标都在函数上．（3）当y=-1时，y=-（x-1）2=-1，解得x1=0，x2=2，当a+2≥0且a≤2时，线段AB与函数y=-（x-1）2的图象有公共点，所以a的范围为-2≤a≤2．故答案为．19．（12分））如图①，已知点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点B在经过点（－2，1）的反比例函数（x＜0）的图像上，连结OA,OB,AB．（1）求k的值；（2）若∠AOB＝90°，求∠OAB的度数；（3）将反比例函数（x＞0）的图像绕坐标原点O逆时针旋转45°得到曲线l，过点E ，F的直线与曲线l相交于点M,N，如图②所示，求△OMN的面积.【答案】（1）-2；（2）30°；（3）8【解析】（1）∵把点（-2,1）代入反比例函数（x＜0），∴k=-2×1=-2，（2）如图，过点B作BC⊥x轴，过点A作AD⊥x轴，设点B（a,-），点A（b，）∴CO=-a,BC=-,AD=,OD=b∵∠AOB=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，且∠BOC+∠CBO=90°，∴∠AOD=∠CBO，且∠BCO=∠ADO=90°∴△BCO∽△ODA∴∴∴ab=-2∴∴tan∠BAO=∴∠BAO=30°（3）∵点E ，F∴OE⊥OF建立如图2新的坐标系，OF为x’轴，OE为y’轴，在新的坐标系中，E（0,8），F（4,0）代入y’=kx’+b求得直线EF的解析式为y’=-2x’+8由解得或∴M（1,6），N（3,2）∴S△OMN= S△OFM- S△OFN=20．（12分）已知关于的二次函数（1）当时，求该函数图像的顶点坐标.（2）在（1）条件下，为该函数图像上的一点，若关于原点的对称点也落在该函数图像上，求的值（3）当函数的图像经过点（1，0）时，若是该函数图像上的两点，试比较与的大小.【答案】（1） ，顶点坐标（1，-4）；（2）m=1；（3）①当a＞0时，y2＞y1 ，②当a＜0时，y1＞y2 .【解析】（1）把a=2，b=4代入并配方，即可求出此时二次函数图象的顶点坐标；（2）由题意把（m，t）和（-m，-t）代入（1）中所得函数的解析式，解方程组即可求得m的值；（3）把点（1，0）代入可得b=a-2，由此可得抛物线的对称轴为直线：，再分a>0和a<0两种情况分别讨论即可y1和y2的大小关系了.试题解析：（1）把a=2，b=4代入得：，∴此时二次函数的图象的顶点坐标为（1，-4）；（2）由题意，把（m，t）和（-m，-t）代入得：①，②，由①+②得：，解得：；（3）把点（1，0）代入得a-b-2=0，∴b=a-2，∴此时该二次函数图象的对称轴为直线：，①当a>0时，，，∵此时，且抛物线开口向上，∴中，点B距离对称轴更远，∴y1<y2；②当a<0时，，，∵此时，且抛物线开口向下，∴中，点B距离对称轴更远，∴y1>y2；综上所述，当a>0时，y1<y2；当a<0时，y1>y2.21．（12分）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）又∵m+n＝logaM+logaN∴loga（M•N）＝logaM+logaN解决以下问题：（1）将指数式53＝125转化为对数式　   　；（2）log24＝　   　，log381＝　   　，log464=　   　．（直接写出结果）（3）证明：证明loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．（写出证明过程）（4）拓展运用：计算计算log34+log312﹣log316＝　   　．（直接写出结果）【答案】（1）3＝log5125；（2）2，4，3；（3）见解析；（4）1.【解析】（1）∵一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x＝logaN．∴3＝log5125，故答案为：3＝log5125；（2）∵22＝4，34＝81，43＝64，∴log24＝2，log381＝4，log464＝3，故答案为：2；4；3；（3）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴＝＝am﹣n，∴由对数的定义得m﹣n＝loga，又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，∴loga＝logaM﹣logaN；（4）根据公式：loga（M•N）＝logaM+logaN以及loga＝logaM﹣logaN得到：log34+log312﹣log316＝log3（4×12÷16）＝log33＝1．故答案为：1．22．（14分）阅读下面的材料：如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若，都有，则称f(x)是增函数；（2）若，都有，则称f(x)是减函数．例题：证明函数f(x)＝是减函数．证明：设，∵，∴．∴．即．∴．∴函数是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f(x)＝（x＜0），例如f(－1)＝＝－3，f(－2)＝＝－（1）计算：f(－3)＝       ；（2）猜想：函数f(x)＝（x＜0）是       函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【答案】（1）；（2）减；（3）详见解析【解析】（1）计算：f（－3）＝=，故答案为：；（2）由（1）知，f（－3）=，当时，f（-2）＝，∵，，∴猜想：函数f(x)＝（x＜0）是减函数故答案为：减；（3）证明：设，＝，∵，∴，，，∴，即，∴，∴函数f(x)＝（x＜0）是减函数，猜想得证．