【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷03 三角函数（解析版）

2021年高考数学一轮复习三角函数创优测评卷(新高考专用) 一、单选题（共60分，每题5分）1．现有下列三角函数：①；②；③；④．其中函数值与的值相同的是（    ）A．①② B．②④ C．①③ D．①②④【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式逐项求出函数值判断即可．【详解】①②；③；④．，则函数值与的值相同的是②④．故选：B2．下列三角函数值的符号判断正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】略3．有如下关于三角函数的四个命题：，            ，，        若，则其中假命题的是（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】【分析】：同角正余弦的平方和为1，显然错误；：取特值满足即可；：将根号张的式子利用二倍角公式化为平方形式，在注意正弦函数的符号即可；：由三角函数的周期性可判断命题错误.【详解】：，都有，故错误；：时满足式子，故正确；：，，且，所以，故正确；：，，故错误；故选A.4．依据三角函数线，作出如下四个判断：①；②；③；④.其中判断正确的有(  ) A．1个           B．2个             C．3个            D．4个【答案】B【解析】在平面直角坐标系中作单位圆，依次作相关角的三角函数线，由图（图略）可知：，，，，∴②④判断正确，答案选B.5．已知某三角函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（   ）A．            B．       C．             D．【答案】C【解析】试题分析：,所以所以它的解析式可能是，选C.6．将三角函数向左平移个单位后，得到的函数解析式为              （     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题平移后的解析式为.7．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数.平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆.问题：已知角的终边与单位圆的交点为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为角的终边与单位圆的交点为，所以，，则.故选：A.8．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因为，所以对应点，在第二象限，选B.9．数学家托勒密从公元年到年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“”所用的几何图形，已知点在以线段为直径的圆上，为弧的中点，点在线段上且点为的中点.设那么下列结论:.其中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，故①不正确；因为所以在中，，故②正确；因为，易知与全等，故，所以， 又，所以故③④正确，由，，可得，即.故选：D.10．关于三角函数的图像，有下列命题：①与的图像关于y轴对称；②与的图像关于x轴对称；③与的图像重合；④的图像关于原点对称．其中错误命题的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】对于①，的图像是将的图像在轴右侧部分保留，然后关于轴对称得到轴左侧的图像，所以与图像不关于轴对称，故①错误.对于②，的函数值有正有负，的函数值都是非负数，故与的图像不关于x轴对称，②错误.对于③，由于与化简后都为，故与的图像重合，③正确.对于④,，当时，，故不是函数的对称中心.综上所述，错误命题的个数是个.故选C.11．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从（注：此时）开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐标与时间的函数关系式为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，函数的周期为，∴.设函数解析式为（秒针是顺时针走动）.∵初始位置为，∴时，.∴，可取.∴函数的解析式为.故选：C.12．若三角函数的部分图象如下,则函数的解析式,以及的值分别为（ ）.A．,B．,C．,D．,【答案】A【解析】利用最大值为1.5，和最小值为0.5，相加除以2，即为A=1，周期为4，w=然后平衡位置上移了一个单位，因此图像可知为正弦函数，所以解析式为，而函数的周期为4，且有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,则一个周期和为4，那么共有503个周期，因此和为2012,选择A二、填空题（共20分，每题5分）13．对函数,若为某一个三角形的边长，则称为“三角函数”，已知函数为“三角函数”，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）1，①当t﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t．综上可得，t≤2，故实数t的取值范围是[，2]，故答案为：[，2]14．如图，在直三棱柱中，，，，，则异面直线与，所成角的大小是___________（结果用反三角函数表示）．【答案】【解析】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，∴平面A1C1CA，∴A1C又BC∥B1C1， ∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，∵A1B5，∴cos∠A1BC．∴∠A1BC＝arccos．∴异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos．故答案为：arccos．15．中，角所对的边分别为，向量，，且，三角函数式的取值范围是          .【答案】【解析】由且，，所以，由正弦定理，得，又因为，所以，所以，即，所以，又由，所以，因为，得，所以，可得，，即三角式的取值范围是.16．欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为（），则数列前2020项的乘积为________【答案】【解析】，.故答案为：三、解答题（共70分）17．（10分）已知;（1）求以及的值;（2）若，且，求的值（用反三角函数表示）.【答案】（1），   （2）【解析】解：（1）分子分母同除得代入得（2） 解得或18．（12分）在四棱锥中，底面正方形的边长为2，底面，为的中点，与平面所成的角为（1）求的长度；（2）求异面直线与所成角的大小．(结果用反三角函数表示)【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）底面，面，，又在正方形中，，平面，与平面所成的角为，故，又，，，，（2）以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，0，，，1，，，0，，，2，，1，，，，所以异面直线与所成角的大小为；19．（12分）如图，在梯形中，∥，，，，且，又平面，.求：（1）二面角的大小（用反三角函数表示）；（2）点到平面的距离.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）如图所示：过A作，连接PE，因为平面，平面所以，又所以平面，所以二面角的平面角，因为，所以，所以，所以，即二面角的大小.（2）如图所示：过A作，因为，所以因为平面，平面所以，又所以平面，又平面，所以平面，又平面平面，所以平面，所以为点到平面的距离，在中，.所以点到平面的距离为.20．（10分）已知角是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点.（1）写出三角函数的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）角是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点．由三角函数的定义得sinθ=，cosθ=，tanθ=﹣；（2）21．（12分）已知分别是的内角所对的边长，且，满．（1）求角的大小；（2）若点是外一点，，记，用含的三角函数式表示平面四边形面积并求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由可得：．整理得：，即，∵，∴，即，又，∴． （2）由（1）及题中得为等边三角形．设，则由余弦定理得，∴，又，∴平面四边形的面积为：，当且仅当时取等号，又即时取得最大值，故，即平面四边形面积的最大值为． 考点：1.三角函数的恒等变换；2.余弦定理的应用.22．（14分）已知向量，向量，向量，记与的夹角为． (Ⅰ)求 (Ⅱ)求向量与向量的夹角的取值范围．【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) .【解析】（Ⅰ）由向量夹角公式可求，又由， 因为 ，所以，故原式=．（Ⅱ）如图所示，向量的终点在以点为圆心、半径为的圆上，是圆的两条切线，切点分别为，在直角中，，可得，即所以，因为， 所以， ，所以向量与向量的夹角的取值范围是.