北师大版3 分式的加减法第2课时教案

这是一份北师大版3 分式的加减法第2课时教案，共4页。教案主要包含了情境导入，合作探究，中先找出最简公分母分别为2，板书设计等内容，欢迎下载使用。




1．学会确定几个分式的最简公分母并进行通分；(重点)


2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点)











一、情境导入


小学我们学习过异分母分数的加减法，如eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1×2,3×2)＋eq \f(1×3,2×2)＝eq \f(5,6)，那么如何计算eq \f(1,x＋1)－eq \f(2,x－1)呢？


二、合作探究


探究点一：分式的通分


【类型一】 最简公分母


分式eq \f(1,x2－3x)与eq \f(2,x2－9)的最简公分母是________．


解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最简公分母为x(x＋3)(x－3)．


方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．


【类型二】 分母是单项式分式的通分


通分．


(1)eq \f(c,bd)，eq \f(ac,2b2)；


(2)eq \f(b,2a2c)，eq \f(2a,3bc2)；


(3)eq \f(4,5y2z)，eq \f(3,10xy2)，eq \f(5,－2xz2).


解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．


解：(1)最简公分母是2b2d，eq \f(c,bd)＝eq \f(2bc,2b2d)，eq \f(ac,2b2)＝eq \f(acd,2b2d)；


(2)最简公分母是6a2bc2，eq \f(b,2a2c)＝eq \f(3b2c,6a2bc2)，eq \f(2a,3bc2)＝eq \f(4a3,6a2bc2)；


(3)最简公分母是10xy2z2，eq \f(4,5y2z)＝eq \f(8xz,10xy2z2)，eq \f(3,10xy2)＝eq \f(3z2,10xy2z2)，eq \f(5,－2xz2)＝－eq \f(－25y2,10xy2z2).


方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．


【类型三】 分母是多项式分式的通分


通分．


(1)eq \f(a,2（a＋1）)，eq \f(1,a2－a)；


(2)eq \f(2mn,4m2－9)，eq \f(3m,4m2－6m＋9).


解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．


解：(1)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，


eq \f(a,2（a＋1）)＝eq \f(a2（a－1）,2a（a＋1）（a－1）)，


eq \f(1,a2－a)＝eq \f(2（a＋1）,2a（a＋1）（a－1）)；


(2)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2，


eq \f(2mn,4m2－9)＝eq \f(2mn（2m－3）,（2m＋3）（2m－3）2)，eq \f(3m,4m2－6m＋9)＝eq \f(3m（2m＋3）,（2m＋3）（2m－3）2).


方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．


探究点二：异分母分式的加减法


【类型一】 异分母分式的加减法运算


计算：


(1)eq \f(x,x2－4)－eq \f(2,x2＋4x＋4)；


(2)eq \f(a2－4,a＋2)＋a＋2；


(3)eq \f(m,m－n)－eq \f(n,m＋n)＋eq \f(2mn,m2－n2).


解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a＋2看成分母为1的式子进行通分．


解：(1)原式＝eq \f(x,（x＋2）（x－2）)－eq \f(2,（x＋2）2)


＝eq \f(x（x＋2）,（x＋2）2（x－2）)－eq \f(2（x－2）,（x＋2）2（x－2）)


＝eq \f(x（x＋2）－2（x－2）,（x＋2）2（x－2）)＝eq \f(x2＋4,（x＋2）2（x－2）)；


(2)原式＝eq \f(a2－4＋（a＋2）2,a＋2)＝eq \f(2a（a＋2）,a＋2)＝2a；


(3)原式＝eq \f(m（m＋n）,（m＋n）（m－n）)－eq \f(n（m－n）,（m＋n）（m－n）)＋eq \f(2mn,（m＋n）（m－n）)＝eq \f(m2＋2mn＋n2,（m＋n）（m－n）)＝eq \f(m＋n,m－n).


方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．


【类型二】 分式的混合运算


计算：


(1)(eq \f(x2－4x＋4,x2－4)－eq \f(x,x＋2))÷eq \f(x－1,x＋2)；


(2)eq \f(a－5,2a－6)÷(eq \f(16,a－3)－a－3)．


解：(1)原式＝[eq \f(（x－2）2,（x－2）（x＋2）)－eq \f(x,x＋2)]÷eq \f(x－1,x＋2)


＝(eq \f(x－2,x＋2)－eq \f(x,x＋2))÷eq \f(x－1,x＋2)＝eq \f(－2,x＋2)·eq \f(x＋2,x－1)＝－eq \f(2,x－1)；


(2)原式＝eq \f(a－5,2a－6)÷(eq \f(16,a－3)－eq \f(a2－9,a－3))


＝eq \f(a－5,2（a－3）)÷eq \f(（5＋a）（5－a）,a－3)


＝eq \f(a－5,2（a－3）)·eq \f(a－3,（5＋a）（5－a）)


＝－eq \f(1,10＋2a).


方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．


探究点三：分式运算的化简求值


【类型一】 先化简，再根据所给字母的值求分式的值


先化简，再求值：(eq \f(1,x－y)＋eq \f(1,x＋y))÷eq \f(2x,x2＋2xy＋y2)，其中x＝1，y＝－2.


解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算．


解：原式＝eq \f(2x,（x－y）（x＋y）)·eq \f(（x＋y）2,2x)＝eq \f(x＋y,x－y)，


当x＝1，y＝－2时，原式＝eq \f(1＋（－2）,1－（－2）)＝－eq \f(1,3).


方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺序，式子化到最简再代值计算．


【类型二】 先化简，再选择字母的值求分式的值


先化简，再选择使原式有意义的数代入求值：eq \f(2x＋6,x2－4x＋4)·eq \f(x－2,x2＋3x)－eq \f(1,x－2).


解析：先把分式化简，再选数代入，x可取除－3、0和2以外的任何数．


解：原式＝eq \f(2（x＋3）,（x－2）2)·eq \f(x－2,x（x＋3）)－eq \f(1,x－2)


＝eq \f(2,x（x－2）)－eq \f(1,x－2)


＝eq \f(2－x,x（x－2）)


＝－eq \f(1,x).


当x＝1时，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何数)


方法总结：取数代入求值时，要注意所选择的值一定满足分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义．


【类型三】 整体代入求值


已知实数a满足a2＋2a－8＝0，求eq \f(1,a＋1)－eq \f(a＋3,a2－1)·eq \f(a2－2a＋1,（a＋1）（a＋3）)的值．


解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算．


解：eq \f(1,a＋1)－eq \f(a＋3,a2－1)·eq \f(a2－2a＋1,（a＋1）（a＋3）)＝eq \f(1,a＋1)－eq \f(a＋3,（a＋1）（a－1）)·eq \f(（a－1）2,（a＋1）（a＋3）)＝eq \f(1,a＋1)－eq \f(a－1,（a＋1）2)＝eq \f(2,（a＋1）2)＝eq \f(2,a2＋2a＋1).


∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，∴原式＝eq \f(2,8＋1)＝eq \f(2,9).


方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．


探究点四：运用分式解决实际问题


有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？


解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．


解：设两次航行的路程都为s.


第一次所用时间为eq \f(s,v＋a)＋eq \f(s,v－a)＝eq \f(2vs,v2－a2)，


第二次所用时间为eq \f(s,v＋b)＋eq \f(s,v－b)＝eq \f(2vs,v2－b2)，


∵b＞a，∴b2＞a2，


∴v2－b2＜v2－a2，


∴eq \f(2vs,v2－b2)＞eq \f(2vs,v2－a2).


∴第一次的时间要短些．


方法总结：①运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；②比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小．











三、板书设计


1．分式的通分


2．异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．


3．分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的．





对于异分母分式相加减，注意强调转化思想：通过通分，把异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．对于分式混合运算，关键是要注意各种运算的先后顺序，最后结果要化为最简分式．在教学中，注意培养学生认真细致的学习态度，从运算符号到通分、约分，都应认真对待，一丝不苟.