2021江苏省仪征中学高一下学期4月学情检测数学试卷含答案
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江苏省仪征中学高一年级2020-2021学年第二学期4月学情检测
数学试卷
一．选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，则等于( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2.若为第三象限角，则等于 ( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则以向量为基底表示的结果是( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
- 若那么的值为( )
A. B. C. D.
6.若的三条边长分别为，则的最大角与最小角之和为( )
A. B. C. D.
7.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆的半径均为，均是边长为的等边三角形。设为后轮上一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值是( )
A. B. C. D.
8.在中，分别是的中点，且,若恒成立，则的最小值为( )
A． B． C． D．
二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则( )
A．的最小正周期为 B．曲线关于对称
C．的最大值为 D．曲线关于对称
10.已知锐角，内角，，的对边分别为，，，若，，则边的可能取值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
11.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的向量，向量，令，则下列说法正确的是( )
A.若与共线，则 B.
C.对任意的，有 D.
12.已知是的外心，若则的取值可能是( )
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，共计20分。
13.已知则______
14.在中，已知,则边上的中线长度为______.
15.已知均为单位向量，且，则与夹角的余弦值为______.
16、赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的面积为 .
四、解答题：本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知向量，，在同一平面上，且.
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，且与垂直，求的值.
18.（12分）如图，在中，是边上一点，
（1）求的长；
（2）若，求角的大小。
19.（12分）在中，已知．
（1）求证：；
（2）若求A的值．
- （12分）如图，有一块矩形草坪，，欲在这块草坪内铺设三条小路和，要求是的中点，点在边上，点在边上，且.
(1) 设试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；
(2) 经核算，三条路的铺设费用均为元每米，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？
- （12分）在①；②；
③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
22.（12分）已知向量，，函数，．
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
1-4 CBAB 5-8 BBCB 9.ACD 10.ABC 11.ACD 12.AB
13. 3 14. 15. 16.
17.(1) （2）
18.解：（1）在中，，，．
利用余弦定理，
解得．
（2）利用余弦定理，
所以，
在中，利用正弦定理，整理得，
故．
19.解：（1）∵，∴，即。
由正弦定理，得，∴。
又∵，∴。∴即。
（2）∵ ，∴。∴。
∴，即。∴。
由 （1） ，得，解得。
∵，∴。∴。
20.
21.（1）选①
∵，∴，
∴ 或，∵，∴，.
选②
由切化弦，正弦定理边角互化得：，
∵，∴ ，
∴ ，.
选③
由内角和定理得： ，∴，
由正弦定理边角互化得：，即：，
所以，∵，∴.
（2）由正弦定理得：，
由于，，
∴ ，
∵ ，∴，
∴ ，
∴，当且仅当时，取得
∴周长为。
- 解：
（1）
（2）令则
①即时，，解得（舍去）；
②即时，解得或（舍去）
③即时，解得（舍去）；
综上，。
（3）存在，取值范围是
由得
或
或在各有两个零点。
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